Problemi sulla correlazione

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un sondaggio tra adolescenti trova $r = -0{,}85$ tra il tempo giornaliero davanti allo schermo e le ore di sonno. Quale descrizione è corretta?
1. a)Correlazione positiva debole
2. b)Correlazione negativa molto forte
3. c)Correlazione negativa moderata
4. d)Nessuna correlazione
Risposta: Correlazione negativa molto forte
$r$ è negativo, quindi più tempo davanti allo schermo va con meno sonno. $|r| = 0{,}85$ è tra $0{,}80$ e $1{,}00$ , quindi la correlazione è molto forte.
2.
Quattro studi riportano queste correlazioni. Quale mostra la relazione lineare più forte?
1. a) $r = 0{,}78$
2. b) $r = 0{,}45$
3. c) $r = -0{,}91$
4. d) $r = 0{,}05$
Risposta: $r = -0{,}91$
I valori assoluti sono $0{,}91$ , $0{,}45$ , $0{,}78$ e $0{,}05$ . Il più grande è $0{,}91$ , quindi $r = -0{,}91$ è la più forte (correlazione negativa molto forte).
3.
Per un insieme di dati, $S_{xy} = 27$ , $S_{xx} = 20$ e $S_{yy} = 45$ . Calcola $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ .
Risposta: 0.9
$r = \frac{27}{\sqrt{20 \cdot 45}} = \frac{27}{\sqrt{900}} = \frac{27}{30} = 0{,}9$ , una correlazione positiva molto forte.
4.
Cinque studenti hanno provato una canzone per 2, 3, 4, 5 e 6 ore e hanno ottenuto questi punteggi: $50$ , $55$ , $65$ , $70$ , $80$ . Il primo passo per trovare $r$ sono le medie. Quanto vale $\bar{y}$ , il punteggio medio?
Risposta: 64
$\bar{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ .
5.
Un panificio registra le ore di apertura in cinque giorni: $2, 4, 6, 8, 10$ . Trova la media e gli scarti necessari per calcolare $r$ .
Risposta: 0
1. Quanto vale la media $\bar{x}$ ? 6
2. Qual è lo scarto di $10$ , cioè $10 - \bar{x}$ ? 4
3. Qual è lo scarto di $2$ ? -4
4. Quanto vale la somma dei cinque scarti? 0
6.
Un bar trova $r = -0{,}72$ tra la temperatura esterna e il numero di cioccolate calde vendute al giorno. Interpreta questo valore.
Risposta: -0.72
1. Quanto vale $|r|$ ? 0.72
2. Qual è la direzione? negativa
3. Quanto è forte la correlazione? forte
4. Quando la temperatura sale, le vendite di cioccolata calda tendono a... scendere
7.
I dati di molte città danno $r = 0{,}90$ tra il numero di farmacie e il numero di parrucchieri di una città. Quale conclusione è giustificata?
1. a)Le città più grandi hanno sia più farmacie sia più parrucchieri, quindi un'affermazione causale non è giustificata
2. b)Aprire una farmacia attira più parrucchieri
3. c)Una città può ridurre i suoi parrucchieri chiudendo delle farmacie
4. d) $r = 0{,}90$ dimostra la causalità perché è vicino a $1$
Risposta: Le città più grandi hanno sia più farmacie sia più parrucchieri, quindi un'affermazione causale non è giustificata
La dimensione della città (la sua popolazione) è una variabile confondente: nelle città grandi vivono più persone che hanno bisogno sia di farmacie sia di parrucchieri. La correlazione è reale, ma non mostra che una cosa causi l'altra, e nessun valore di $r$ da solo dimostra la causalità.
8.
Un'azienda vuole dimostrare che il suo nuovo fertilizzante causa una crescita più rapida delle piante. Quale studio potrebbe giustificare questa affermazione causale?
1. a)Un sondaggio che chiede ai giardinieri quale fertilizzante usano
2. b)Assegnare a caso piante identiche a ricevere o no il fertilizzante, tenendo uguale tutto il resto
3. c)Calcolare $r$ per sei aziende agricole che hanno scelto da sole il fertilizzante
4. d)Un sondaggio online tra i clienti
Risposta: Assegnare a caso piante identiche a ricevere o no il fertilizzante, tenendo uguale tutto il resto
Solo un esperimento controllato e randomizzato può giustificare un'affermazione causale. L'assegnazione casuale distribuisce in modo equilibrato le variabili confondenti (terreno, luce, cure) tra i due gruppi. Le aziende che scelgono da sole il fertilizzante possono differire in molti altri aspetti.
9.
Per cinque punti gli scarti sono $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ e $y_i - \bar{y}$ : $-4, -2, 1, 3, 2$ . Calcola $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
Risposta: 17
$8 + 2 + 0 + 3 + 4 = 17$ . La somma è positiva, quindi anche $r$ sarà positivo.
10.
Uno studio su età delle auto ed efficienza nei consumi dà $S_{xy} = -36$ , $S_{xx} = 40$ e $S_{yy} = 45$ . Calcola $r$ e arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: -0.85
$r = \frac{-36}{\sqrt{1800}} \approx \frac{-36}{42{,}43} \approx -0{,}85$ . Le auto più vecchie tendono a consumare di più (correlazione negativa molto forte).
11.
Un allenatore di calcio registra allenamenti e gol di cinque giocatori: $(1, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 5)$ , $(5, 8)$ . Calcola $r$ con 2 cifre decimali.
Risposta: 0.78
1. Quanto vale $\bar{x}$ ? 3
2. Quanto vale $\bar{y}$ ? 5
3. Gli scarti di $y$ sono $-3, 1, -1, 0, 3$ . Quanto vale $S_{xy}$ ? 11
4. Quanto vale $S_{xx}$ ? 10
5. Quanto vale $S_{yy}$ ? 20
6. Quanto vale $r$ , arrotondato a 2 cifre decimali? 0.78
12.
Un'insegnante confronta i giorni di assenza con i voti (su 10) di quattro studenti: $(1, 9)$ , $(3, 8)$ , $(5, 4)$ , $(7, 3)$ . Calcola $r$ con 2 cifre decimali.
Risposta: -0.96
1. Quanto vale $\bar{x}$ ? 4
2. Quanto vale $\bar{y}$ ? 6
3. Gli scarti sono $x$ : $-3, -1, 1, 3$ e $y$ : $3, 2, -2, -3$ . Quanto vale $S_{xy}$ ? -22
4. Quanto vale $S_{xx}$ ? 20
5. Quanto vale $S_{yy}$ ? 26
6. Quanto vale $r$ , arrotondato a 2 cifre decimali? -0.96
13.
In una scuola primaria con bambini dai 6 ai 12 anni, il numero di scarpe e il punteggio di lettura hanno $r = 0{,}88$ . Un genitore dice: "I piedi più grandi fanno leggere meglio i bambini." Valuta questa affermazione.
Risposta: 0.88
1. Qual è la direzione della correlazione? positiva
2. Quanto è forte? molto forte
3. Quale variabile confondente influenza sia il numero di scarpe sia la lettura? l'età
4. L'affermazione causale è giustificata? no
14.
Cinque punti sono vicini a una retta crescente e hanno $r = 0{,}95$ . Si aggiunge un sesto punto molto a destra e molto sotto la retta. Cosa succede a $r$ ?
1. a) $r$ diventa molto più debole e può perfino diventare negativo
2. b) $r$ sale esattamente a $1$
3. c) $r$ diventa maggiore di $1$
4. d) $r$ resta $0{,}95$ , un punto non conta
Risposta: $r$ diventa molto più debole e può perfino diventare negativo
Il nuovo punto ha un grande scarto positivo in $x$ e un grande scarto negativo in $y$ , quindi aggiunge un grande prodotto negativo a $S_{xy}$ . $r$ diventa molto più debole e può perfino diventare negativo, come nella lezione in cui un valore anomalo ha portato $r$ da $1$ a $0$ . $r$ non può mai superare $1$ .
15.
Un negozio vende quattro modelli di ombrello e confronta ogni prezzo (in decine di euro) con il numero venduto a settimana: $(2, 9)$ , $(4, 7)$ , $(6, 3)$ , $(8, 1)$ . Calcola $r$ e arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: -0.99
$\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 5$ . Scarti: $x$ : $-3, -1, 1, 3$ ; $y$ : $4, 2, -2, -4$ . $S_{xy} = -12 - 2 - 2 - 12 = -28$ , $S_{xx} = 20$ , $S_{yy} = 40$ . $r = \frac{-28}{\sqrt{800}} \approx \frac{-28}{28{,}28} \approx -0{,}99$ : una correlazione negativa molto forte.
16.
Un allenatore di basket registra le ore di allenamento extra e i punti segnati da cinque giocatori: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ , $(4, 8)$ , $(10, 0)$ . L'ultimo giocatore si è infortunato all'inizio della partita. Calcola $r$ con e senza quel giocatore.
Risposta: -0.45
1. Quanto vale $\bar{x}$ per tutti e cinque i giocatori? 4
2. Quanto vale $\bar{y}$ per tutti e cinque i giocatori? 4
3. Gli scarti sono $x$ : $-3, -2, -1, 0, 6$ e $y$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ . Quanto vale $S_{xy}$ ? -20
4. Quanto vale $S_{xx}$ ? 50
5. Quanto vale $S_{yy}$ ? 40
6. Quanto vale $r$ con tutti e cinque i giocatori, arrotondato a 2 cifre decimali? -0.45
7. Gli altri quattro punti stanno su $y = 2x$ . Quanto vale $r$ senza il giocatore infortunato? 1
17.
Un'urbanista confronta la distanza dal centro città (km) con il numero di bar raggiungibili a piedi: $(2, 8)$ , $(4, 10)$ , $(6, 5)$ , $(8, 5)$ . Calcola $r$ e arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: -0.74
1. Quanto vale $\bar{x}$ ? 5
2. Quanto vale $\bar{y}$ ? 7
3. Gli scarti sono $x$ : $-3, -1, 1, 3$ e $y$ : $1, 3, -2, -2$ . Quanto vale $S_{xy}$ ? -14
4. Quanto vale $S_{xx}$ ? 20
5. Quanto vale $S_{yy}$ ? 18
6. Quanto vale $r$ , arrotondato a 2 cifre decimali? -0.74
18.
Per le ore di studio e i voti di cinque studenti, $S_{xy} = 45$ , $S_{xx} = 10$ e $S_{yy} = 250$ . Calcola $r$ , poi guarda cosa succede quando i dati vengono modificati.
Risposta: 0.9
1. Quanto vale $\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ ? 50
2. Quanto vale $r$ ? 0.9
3. L'insegnante aggiunge 5 punti bonus a ogni voto. Quanto vale il nuovo $r$ ? 0.9
4. Il tempo di studio ora è registrato in minuti invece che in ore. Quanto vale il nuovo $r$ ? 0.9