Coefficiente di determinazione (R²)

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Il coefficiente di correlazione di un insieme di dati è $r = 0{,}6$ . Quanto vale $R^2$ ?
1. a)1,2
2. b)0,36
3. c)0,6
4. d)0,06
Risposta: 0,36
$R^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36$ . Un errore tipico è lasciare $0{,}6$ o raddoppiarlo; devi elevare $r$ al quadrato.
2.
La correlazione tra due variabili è $r = -0{,}5$ . Quanto vale $R^2$ ? Scrivi la risposta come numero decimale (per esempio 0,3).
Risposta: 0.25
$R^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$ . $R^2$ non è mai negativo, anche quando $r$ lo è.
3.
Una regressione dell'altezza di una pianta sulle ore di sole ha $R^2 = 0{,}72$ . Quale affermazione è corretta?
1. a)Il sole causa il 72% dell'altezza di una pianta
2. b)Il 72% dei punti sta esattamente sulla retta di regressione
3. c)Il 72% della variabilità dell'altezza è spiegato dalla relazione lineare con le ore di sole
4. d)La pendenza della retta di regressione è 0,72
Risposta: Il 72% della variabilità dell'altezza è spiegato dalla relazione lineare con le ore di sole
Il 72% della variabilità dell'altezza è spiegato dalla relazione lineare con le ore di sole. $R^2$ non conta i punti sulla retta, non dimostra la causalità e non è la pendenza.
4.
Per una retta di regressione, $SS_{\text{tot}} = 200$ e $SS_{\text{res}} = 50$ . Quanto vale $R^2$ ? Scrivi la risposta come numero decimale.
Risposta: 0.75
$R^2 = 1 - \frac{50}{200} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ , quindi la retta spiega il 75% della variabilità.
5.
La correlazione tra le ore di allenamento e i punti segnati è $r = 0{,}9$ . Trova $R^2$ e la percentuale di variabilità spiegata.
Risposta: 81
1. Quanto fa $R^2 = 0{,}9^2$ ? (numero decimale) 0.81
2. Quale percentuale della variabilità è spiegata? (solo il numero, per esempio 25) 81
6.
Nella regressione delle vendite giornaliere di pane di un panificio sulla temperatura, $SS_{\text{tot}} = 60$ e $SS_{\text{res}} = 21$ . Trova $R^2$ .
Risposta: 0.65
1. Quanto fa $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{21}{60}$ come numero decimale? 0.35
2. Quanto fa $R^2 = 1 - 0{,}35$ ? 0.65
7.
Quale di questi valori NON è possibile per l' $R^2$ di una retta di regressione dei minimi quadrati?
1. a)1
2. b)0,5
3. c)0
4. d)1,2
Risposta: 1,2
$R^2$ è sempre tra $0$ e $1$ . $0$ (nessun adattamento lineare) e $1$ (adattamento perfetto) sono possibili, ma $1{,}2$ vorrebbe dire che è spiegato più del 100% della variabilità, il che è impossibile.
8.
Una retta di regressione ha pendenza negativa e $R^2 = 0{,}49$ . Quanto vale il coefficiente di correlazione $r$ ? Scrivi la risposta come numero decimale.
Risposta: -0.7
$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , e poiché la pendenza è negativa, $r = -0{,}7$ .
9.
Un modello ha $R^2 = 0{,}64$ . Quale percentuale della variabilità di $y$ NON è spiegata dalla relazione lineare con $x$ ? Scrivi la percentuale solo come numero (per esempio 25).
Risposta: 36
È spiegato $0{,}64 = 64\%$ , quindi $100\% - 64\% = 36\%$ non è spiegato.
10.
Una regressione della carica della batteria di un telefono sulle ore di utilizzo ha pendenza $-2{,}5$ e $R^2 = 0{,}36$ . Trova il coefficiente di correlazione $r$ .
Risposta: -0.6
1. Quanto fa $\sqrt{0{,}36}$ ? 0.6
2. La pendenza è negativa. Quanto vale $r$ ? -0.6
11.
I valori di $y$ di un insieme di dati sono $5, 9, 6, 12, 8$ . La retta di regressione su $x$ ha $SS_{\text{res}} = 12$ . Trova $R^2$ .
Risposta: 0.6
1. Quanto vale la media $\bar{y}$ ? 8
2. Quanto vale $SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ ? 30
3. Quanto fa $R^2 = 1 - \frac{12}{30}$ ? (numero decimale) 0.6
12.
I residui di una retta di regressione sono $2, -2, 1, 0, -1$ e $SS_{\text{tot}} = 40$ . Trova $R^2$ .
Risposta: 0.75
1. Quanto vale $SS_{\text{res}}$ , la somma dei quadrati dei residui? 10
2. Quanto fa $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ come numero decimale? 0.25
3. Quanto vale $R^2$ ? 0.75
13.
In uno studio estivo su 30 città, una regressione dei casi di scottature solari sulle vendite di gelato dà $R^2 = 0{,}85$ . Qual è la conclusione migliore?
1. a)La retta spiega l'85% della variabilità, ma una terza variabile come il tempo soleggiato può influenzare entrambe
2. b)Vendere meno gelato eviterebbe le scottature
3. c)Mangiare gelato causa l'85% delle scottature
4. d)L'85% delle città sta esattamente sulla retta di regressione
Risposta: La retta spiega l'85% della variabilità, ma una terza variabile come il tempo soleggiato può influenzare entrambe
La retta spiega l'85% della variabilità, ma $R^2$ non può mostrare la causalità. Il tempo caldo e soleggiato è una variabile confondente che fa aumentare sia le vendite di gelato sia le scottature.
14.
I residui di una retta di regressione sono $3, -1, -2, 1, -1$ e $SS_{\text{tot}} = 80$ . Quanto vale $R^2$ ? Scrivi la risposta come numero decimale.
Risposta: 0.8
$SS_{\text{res}} = 9 + 1 + 4 + 1 + 1 = 16$ , quindi $R^2 = 1 - \frac{16}{80} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
15.
Una retta adattata a dei dati ha $R^2 = 0{,}95$ , ma il grafico dei residui mostra una U evidente. Che cosa dovresti concludere?
1. a)La retta è un modello perfetto perché $R^2$ è molto alto
2. b)Il calcolo di $R^2$ deve essere sbagliato
3. c) $x$ causa il 95% delle variazioni di $y$
4. d)I dati seguono una curva, quindi un modello non lineare si adatterebbe meglio
Risposta: I dati seguono una curva, quindi un modello non lineare si adatterebbe meglio
Un grafico dei residui a U significa che i dati sono curvi, quindi un modello non lineare si adatterebbe meglio, anche se $R^2$ è alto. $R^2$ non sostituisce il controllo dei residui e non dimostra mai la causalità.
16.
I dati $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 6)$ , $(4, 10)$ , $(5, 9)$ hanno la retta di regressione $\hat{y} = 2x$ . Calcola $R^2$ .
Risposta: 0.8
1. Quanto vale la media $\bar{y}$ ? 6
2. Quanto vale $SS_{\text{tot}}$ ? 50
3. Quanto vale $SS_{\text{res}}$ ? 10
4. Quanto vale $R^2$ ? (numero decimale) 0.8
17.
Il modello A ha $r = -0{,}8$ e il modello B ha $r = 0{,}7$ per la stessa variabile risposta. Quale modello spiega più variabilità di $y$ , e di quanti punti percentuali?
Risposta: 15
1. Quanto vale $R^2$ per il modello A? (numero decimale) 0.64
2. Quanto vale $R^2$ per il modello B? (numero decimale) 0.49
3. Il modello A spiega di più. Di quanti punti percentuali? (solo il numero) 15
18.
Una regressione ha $SS_{\text{tot}} = 250$ e $R^2 = 0{,}92$ . Trova $SS_{\text{res}}$ e la variabilità spiegata $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ .
Risposta: 230
1. Quanto fa $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - R^2$ ? (numero decimale) 0.08
2. Quanto vale $SS_{\text{res}}$ ? 20
3. Quanto vale la variabilità spiegata $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ ? 230