Guida per l'insegnante: Coefficiente di determinazione (R²)

Scopri che cosa dice R² su una retta di regressione, come calcolarlo da r o dalle somme dei quadrati e perché un R² alto non dimostra un rapporto di causalità.

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10 domande su Regressione. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Calcolare $R^2$ dal coefficiente di correlazione con $R^2 = r^2$
Calcolare $R^2$ da $SS_{\text{res}}$ e $SS_{\text{tot}}$ con $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$
Interpretare $R^2$ nel contesto come la percentuale della variabilità di $y$ spiegata dalla relazione lineare con $x$
Trovare $r$ da $R^2$ usando il segno della pendenza
Spiegare perché un $R^2$ alto non dimostra né la causalità né un modello corretto, e usare i residui per controllare l'adattamento

Prerequisiti

• Coefficiente di correlazione: che cosa misura $r$ e perché $-1 \le r \le 1$
• Regressione lineare: trovare e usare una retta di migliore approssimazione $\hat{y} = mx + b$
• Residui: valori osservati meno valori previsti e grafici dei residui
• Diagrammi di dispersione, oltre a quadrati di numeri decimali, radici quadrate e percentuali

Spunti di discussione

1. Due modelli hanno $R^2 = 0{,}64$ , uno con $r = 0{,}8$ e uno con $r = -0{,}8$ . In che cosa sono uguali e in che cosa diversi?
2. Secondo te, perché eleviamo al quadrato i residui prima di sommarli invece di sommarli e basta?
3. Un modello con $R^2 = 0{,}30$ è inutile? Quando potrebbe comunque servire?
4. Le vendite di gelato e le scottature solari hanno un $R^2$ alto. Il gelato causa le scottature? Che cos'altro potrebbe spiegarlo?
5. Come possono dei dati curvi dare comunque un $R^2$ alto per una retta?

Idee sbagliate comuni

$R^2$ è la percentuale di punti che stanno sulla retta di regressione

Rimedio: Mostra un insieme di dati in cui nessun punto sta esattamente sulla retta ma $R^2 = 0{,}81$ . Spiega che $R^2$ confronta la variabilità che rimane con la variabilità totale, non conta i punti.

$R^2 = r$ , quindi $r = 0{,}7$ significa che è spiegato il 70%

Rimedio: Fai calcolare $0{,}7^2 = 0{,}49$ e confrontare 49% con 70%. Ripeti con $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ ) per mostrare quanto in fretta cala la parte spiegata.

Un $R^2$ alto significa che $x$ causa $y$ e che la retta è il modello giusto

Rimedio: Usa i dati curvi $y = x^2$ ( $R^2$ alto, residui a U) e un esempio con variabile confondente come gelato e scottature. Chiedi che cosa $R^2$ non riesce a vedere.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire solo da $R^2 = r^2$ , usando la calcolatrice per i quadrati
• Usare una frase guida: "Il ___% della variabilità di ___ è spiegato dalla relazione lineare con ___"
• Dare direttamente $SS_{\text{res}}$ e $SS_{\text{tot}}$ prima di chiedere agli studenti di calcolarli

Per studenti a livello:

• Calcolare $SS_{\text{tot}}$ , $SS_{\text{res}}$ e $R^2$ per piccoli insiemi di 5 punti
• Tornare da $R^2$ a $r$ usando il segno della pendenza
• Confrontare due modelli degli stessi dati e decidere quale spiega più variabilità

Per studenti avanzati:

• Mostrare che per la retta dei minimi quadrati $SS_{\text{tot}} = SS_{\text{res}} + SS_{\text{reg}}$ e che $R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}$
• Studiare come un solo valore anomalo cambia $R^2$
• Adattare una curva ai dati $y = x^2$ e confrontare il suo $R^2$ e i suoi residui con quelli della retta

Allineamento agli standard

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calcolare (con la tecnologia) e interpretare il coefficiente di correlazione di un adattamento lineare
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Valutare in modo informale l'adattamento di una funzione rappresentando e analizzando i residui
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguere tra correlazione e causalità

Risorse della lezione

visualDiagrammi di dispersione: adattamento forte e debole
Due diagrammi di dispersione con linea di tendenza e residui: uno con $r = 0{,}9$ ( $R^2 = 0{,}81$ ) e uno con $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ )
activitySpiegato o no?
Gli studenti raccolgono dati della classe (apertura delle braccia e altezza, numero di scarpe e voto), trovano $R^2$ con la calcolatrice e argomentano quale relazione è più forte
worksheetEsercizi su R²
Passare da $r$ a $R^2$ e viceversa, calcolare $R^2$ dalle somme dei quadrati e scrivere interpretazioni nel contesto

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Il coefficiente di determinazione, indicato con

R^2

, ti dice quale parte della variabilità della variabile risposta

y

è spiegata dalla relazione lineare con la variabile esplicativa

x

Nella regressione lineare semplice (una

x

, una

y

) è il quadrato del coefficiente di correlazione:

R^2 = r^2

Si può calcolare anche a partire da due somme di quadrati:

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ è la variabilità totale dei valori di $y$ attorno alla loro media
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ è la variabilità che rimane dopo aver usato la retta di regressione (la somma dei quadrati dei residui, indicata con SQR nella lezione Residui)

R^2

è sempre compreso tra

0

1

. Se

R^2 = 0{,}81

, allora **l'81% della variabilità di

y

è spiegato dalla relazione lineare con

x

**, e il restante 19% non è spiegato dalla retta.

Esempi svolti

In un gruppo di studenti, la correlazione tra il tempo giornaliero davanti allo schermo (

x

, ore) e le ore di sonno (

y

) è

r = -0{,}7

. Trova

R^2

e interpretalo.

Eleva al quadrato il coefficiente di correlazione

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Scrivilo in percentuale

0{,}49 = 49\%

→ 49%

Interpreta nel contesto

Il 49% della variabilità delle ore di sonno è spiegato dalla relazione lineare con il tempo davanti allo schermo. Il restante 51% dipende da altri fattori. → 49% spiegato, 51% non spiegato

Risposta: $R^2 = 0{,}49$ : il 49% della variabilità del sonno è spiegato dalla relazione lineare con il tempo davanti allo schermo. Elevando al quadrato il segno meno sparisce, perciò $R^2$ non è mai negativo.

Errori comuni

Usare $r$ come percentuale: " $r = 0{,}5$ , quindi è spiegato il 50% della variabilità"

Perché è sbagliato: La percentuale di variabilità spiegata viene da $R^2$ , non da $r$ . Prima devi elevare al quadrato.

Corretto: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , quindi è spiegato solo il 25% della variabilità.

Dimenticare il segno quando si passa da $R^2$ a $r$

Perché è sbagliato: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ è sempre positivo, ma $r$ può essere negativo. $R^2$ nasconde il verso della relazione.

Corretto: Prendi il segno della pendenza: se la pendenza è negativa, $r = -\sqrt{R^2}$ , per esempio $r = -0{,}7$ .

Pensare che un $R^2$ alto dimostri che $x$ causa $y$

Perché è sbagliato: $R^2$ misura solo quanto bene una retta si adatta ai dati. Una variabile confondente può influenzare sia $x$ sia $y$ .

Corretto: Di' "l'81% della variabilità di $y$ è spiegato dalla relazione lineare con $x$ ", mai " $x$ causa l'81% di $y$ ". Per la causalità serve un esperimento controllato.

Pensare che un $R^2$ alto significhi che una retta è il modello giusto

Perché è sbagliato: Anche dati curvi possono dare $R^2 = 0{,}96$ . $R^2$ non mostra gli andamenti nei residui.

Corretto: Guarda sempre il grafico dei residui. Una dispersione casuale sostiene la retta; una U o un altro andamento significa che un altro modello si adatta meglio.

Perché è importante

Una volta che hai una retta di regressione, la domanda successiva è: quanto è buona?

R^2

risponde con un solo numero.

Scienza: i ricercatori riportano $R^2$ per mostrare quanto bene un modello descrive le loro misure
Economia aziendale: gli analisti confrontano modelli di vendita e tengono quello che spiega più variabilità
Sport: gli allenatori controllano quanta parte della variabilità dei tempi di sprint è spiegata dalle ore di allenamento
Medicina: i medici vedono quanto una dose è legata a una variazione della pressione sanguigna

Sapere che cosa

R^2

non dice è altrettanto importante: un

R^2

alto non dimostra che

x

causi

y

, e non dimostra che una retta sia il modello giusto. Devi comunque guardare i residui.

Applicazioni nel mondo reale

Analisi sportiva

Gli allenatori confrontano i dati di allenamento con i risultati in gara per vedere quanta parte della differenza di prestazione è legata all'allenamento.

Esempio:

Se la correlazione tra le ore di allenamento settimanali e il tempo sui 100 m è $r = -0{,}85$ , allora $R^2 = 0{,}7225$ : circa il 72% della variabilità dei tempi è spiegato dalla relazione lineare con le ore di allenamento.

1Provaci tu stesso

In una società di nuoto, la correlazione tra le ore di allenamento settimanali e il tempo sui 50 m è $r = -0{,}9$ .

Quanto vale $R^2$ ? Scrivilo come numero decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Eleva al quadrato il coefficiente di correlazione:

Prezzi degli immobili

Gli analisti immobiliari costruiscono modelli di regressione per i prezzi delle case e usano $R^2$ per giudicare se un modello è abbastanza buono per fare stime.

Esempio:

Un modello del prezzo in funzione della superficie con $R^2 = 0{,}70$ spiega il 70% della variabilità dei prezzi; il restante 30% dipende da posizione, stato dell'immobile e altri fattori.

2Provaci tu stesso

Per un modello dei prezzi degli appartamenti in funzione della superficie, la variabilità totale è $SS_{\text{tot}} = 500$ e la somma dei quadrati dei residui è $SS_{\text{res}} = 75$ (entrambe in migliaia di euro al quadrato).

Quanto vale $R^2$ ? Scrivilo come numero decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Medicina e dosaggio

Negli studi clinici i ricercatori verificano quanto la dose di un farmaco è legata alla variazione di una misura come la pressione sanguigna.

Esempio:

Se una dose più alta va con una pressione più bassa (pendenza negativa) e $R^2 = 0{,}36$ , allora $r = -0{,}6$ : una relazione lineare negativa moderata.

3Provaci tu stesso

Uno studio mostra che una dose più alta va con una pressione sanguigna più bassa. La retta di regressione ha pendenza negativa e $R^2 = 0{,}64$ .

Quanto vale il coefficiente di correlazione $r$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola la radice quadrata e scegli il segno in base alla pendenza:

Punti chiave

1Il coefficiente di determinazione $R^2$ è la parte della variabilità di $y$ spiegata dalla relazione lineare con $x$
2Nella regressione lineare semplice $R^2 = r^2$ : elevando al quadrato il coefficiente di correlazione si ottiene $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ confronta la variabilità che rimane con la variabilità totale
4 $R^2$ è compreso tra $0$ e $1$ : $R^2 = 0{,}81$ significa che è spiegato l'81% della variabilità di $y$
5Per tornare da $R^2$ a $r$ , prendi $\sqrt{R^2}$ con il segno della pendenza
6Un $R^2$ alto non dimostra né la causalità né che il modello sia corretto: controlla sempre il grafico dei residui

Domande frequenti

R² può essere negativo?

Non per una retta di regressione ottenuta con il metodo dei minimi quadrati come quelle di questa lezione:

SS_{\text{res}}

non è mai più grande di

SS_{\text{tot}}

, quindi

R^2

resta tra

0

1

. Anche elevare

r

al quadrato dà sempre un numero uguale a

0

o maggiore.

Che cosa si considera un buon R²?

Dipende dal campo. Negli esperimenti di fisica sono comuni valori sopra

0{,}95

. Quando si studiano le persone (comportamento, salute, economia), un

R^2

0{,}30

può già essere utile, perché le persone sono influenzate da molti fattori.

R² è sempre uguale a r²?

Sì nella regressione lineare semplice con una sola variabile esplicativa, che è l'argomento di questa lezione. Con più variabili esplicative non c'è un unico

r

, ma

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

funziona ancora.

Perché R² non dice nulla sul verso della relazione?

Perché elevando al quadrato si perde il segno:

r = 0{,}8

r = -0{,}8

danno entrambi

R^2 = 0{,}64

. Per conoscere il verso, guarda la pendenza della retta di regressione oppure

r

stesso.

Glossario

Coefficiente di determinazione ( $R^2$ ): La parte della variabilità di $y$ spiegata dalla relazione lineare con $x$ ; un numero da $0$ a $1$
Somma totale dei quadrati ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : la variabilità totale dei valori di $y$ attorno alla loro media
Somma dei quadrati dei residui ( $SS_{\text{res}}$ , anche SQR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : la variabilità che rimane dopo aver usato la retta di regressione
Residuo: La differenza tra un valore osservato e un valore previsto: $y_i - \hat{y}_i$
Variabilità spiegata: La parte della variabilità totale di $y$ colta dalla retta di regressione: $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Scheda formule

R² da r

R^2 = r^2

Nella regressione lineare semplice, eleva al quadrato il coefficiente di correlazione

R² dalle somme dei quadrati

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Uno meno la parte della variabilità che rimane

Somma totale dei quadrati

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Quadrati delle distanze dei valori di y dalla loro media

Somma dei quadrati dei residui

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Quadrati delle distanze dei valori di y dalla retta di regressione

r da R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Usa il segno della pendenza della retta di regressione

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Analisi sportiva

Prezzi degli immobili

Medicina e dosaggio

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

R² da r

R² dalle somme dei quadrati

Somma totale dei quadrati

Somma dei quadrati dei residui

r da R²

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