Entrambi gli assi devono partire da 0?

No. Se tutte le altezze sono tra 148 e 182 cm, far partire l'asse da 140 usa meglio lo spazio. Mantieni solo i passi uguali e indica chiaramente il valore di partenza sull'asse.

E se nessuna variabile spiega l'altra?

A volte, come per l'altezza e l'apertura delle braccia, nessuna delle due causa l'altra. Allora puoi scegliere l'una o l'altra per l'asse $x$. Prendi quella che useresti più volentieri per stimare l'altra.

Devo cancellare un valore anomalo?

Non automaticamente. Prima controlla se è un errore nei dati. Se è un valore reale, tienilo e citalo nella tua descrizione: i valori anomali spesso raccontano la storia più interessante.

Risorse per insegnanti

Diagrammi di dispersione

Impara a costruire un diagramma di dispersione da una tabella e a descriverne l'andamento: forma, direzione, forza, gruppi, vuoti e valori anomali.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un diagramma di dispersione è un grafico che mostra la relazione tra due variabili numeriche misurate sugli stessi individui. Ogni individuo diventa un punto

(x, y)

La variabile esplicativa (quella che può spiegare o influenzare l'altra) va sull'**asse orizzontale $x$ **.
La variabile risposta (quella che risponde) va sull'**asse verticale $y$ **.

Per costruire un diagramma di dispersione da una tabella:

1.Decidi quale variabile è $x$ e quale è $y$ .
2.Scegli per ogni asse una scala con passi uguali che copra tutti i valori.
3.Scrivi su ogni asse il nome della variabile e l'unità di misura.
4.Disegna un punto per ogni riga della tabella. Non unire i punti.

Per descrivere un diagramma di dispersione, osserva:

Forma: i punti seguono una retta (lineare) o una curva (non lineare)?
Direzione: salgono da sinistra a destra (positiva) o scendono (negativa)?
Forza: i punti sono vicini all'andamento (forte), un po' sparsi intorno (moderata) o molto dispersi (debole)?
Caratteristiche particolari: gruppi (punti raccolti insieme), vuoti (zone senza punti) e valori anomali (punti lontani dall'andamento).

Esempi svolti

Un allenatore di basket registra quante ore si allenano a settimana sette giocatori e quanti tiri liberi (su 20) segna ciascuno:

Giocatore	A	B	C	D	E	F	G
Ore	1	2	3	4	5	6	7
Tiri liberi	6	8	9	11	12	14	15

Quale variabile va su ciascun asse e quali scale conviene usare?

Trova la variabile esplicativa

L'allenamento può influenzare il numero di tiri liberi, non il contrario →

x

= ore di allenamento,

y

= tiri liberi segnati

Trova il campo di variazione di ogni variabile

Ore: da

1

7

. Tiri liberi: da

6

15

→

x

deve arrivare almeno a

7

y

almeno a

15

Scegli passi uguali

Asse

x

: da

0

8

con passo

1

. Asse

y

: da

0

20

con passo

2

(nessuno può segnare più di 20 tiri liberi, e

20 \div 2 = 10

passi uguali) → Entrambi gli assi hanno spaziature uguali

Etichetta gli assi

x

: allenamento a settimana (ore).

y

: tiri liberi segnati (su 20) → Gli assi sono pronti per i punti

Risposta: Metti le **ore di allenamento sull'asse $x$ (da 0 a 8, passo 1) e i tiri liberi sull'asse $y$ ** (da 0 a 20, passo 2), con etichetta e unità di misura su ogni asse.

Errori comuni

Mettere la variabile risposta sull'asse $x$

Perché è sbagliato: Gli assi hanno compiti diversi. Se metti i tiri liberi sull'asse $x$ e l'allenamento sull'asse $y$ , il grafico fa pensare che i tiri liberi spieghino il tempo di allenamento.

Corretto: Chiediti: quale variabile potrebbe influenzare l'altra? Quella è la variabile esplicativa e va sull'asse $x$ .

Usare passi disuguali su un asse (per esempio 0, 5, 10, 20, 50)

Perché è sbagliato: Le spaziature disuguali stringono alcuni punti e ne allontanano altri, quindi l'andamento che vedi è falso.

Corretto: Usa lo stesso passo lungo tutto l'asse, per esempio 0, 10, 20, 30, 40, 50. I due assi possono avere passi diversi.

Unire i punti con delle linee come in un grafico a linee

Perché è sbagliato: Le righe della tabella sono individui separati, non momenti nel tempo. Unirli inventa un percorso che non esiste.

Corretto: Lascia i punti separati. Descrivi l'andamento generale a parole (nella prossima lezione traccerai una sola retta di migliore approssimazione).

Pensare che un andamento ripido sia un andamento forte

Perché è sbagliato: La pendenza dice quanto velocemente cambia $y$ . La forza dice quanto i punti seguono da vicino l'andamento. Un andamento poco inclinato può essere molto forte, uno ripido può essere debole.

Corretto: Giudica la forza da quanto i punti stanno vicini alla retta o alla curva, non da quanto è ripida.

Visuale interattivo

Grafico a dispersione

Ore di allenamento e tiri liberi segnati

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico a dispersione

Tempo dei compiti e voto: gruppi, un vuoto e un valore anomalo

Tocca un punto per vedere le sue coordinate.

Grafico della funzione

Disegna questi punti:

(1; 2)
(2; 3)
(3; 5)
(4; 6)
(5; 7)
(6; 9)

Tocca la griglia per mettere un punto. Toccalo di nuovo per toglierlo.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Una giardiniera studia come le ore di sole al giorno influenzano la crescita delle piante di pomodoro. Quale variabile va sull'asse

x

del diagramma di dispersione?

Esercizi pratici: Diagrammi di dispersione

1. Una giardiniera studia come le ore di sole al giorno influenzano la crescita delle piante di pomodoro. Quale variabile va sull'asse x del diagramma di dispersione?
2. In un diagramma di dispersione i punti scendono da sinistra a destra. Qual è la direzione dell'associazione?
3. Un diagramma di dispersione mostra i punti (1, 50), (2, 58), (3, 65), (4, 70) e (5, 78), con le ore di studio sull'asse x e il punteggio sull'asse y. Quale punteggio ha ottenuto lo studente che ha studiato 3 ore?
4. Una tabella riporta l'altezza e il peso di 24 studenti, una riga per studente. Quanti punti avrà il diagramma di dispersione?
5. Una classe mette le ore di sonno (x) contro il punteggio (y). Lena ha dormito 7 ore e ha ottenuto 82. Disegna il suo punto passo dopo passo.
6. I valori di y di una tabella vanno da 12 a 47. Il tuo asse y parte da 0 e ha 10 quadretti. Scegli un passo per un quadretto.
7. Si disegnano i punti (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) e (5, 25). Che forma ha l'andamento?
8. I valori di y di un insieme di dati vanno da 0 a 120. L'asse y è diviso in 6 intervalli uguali. Quale valore rappresenta ogni intervallo?
9. I punti di un diagramma di dispersione sono molto vicini a una retta che scende da sinistra a destra. Come descrivi l'associazione?
10. Un diagramma di dispersione ha i punti (2, 14), (3, 18), (5, 21), (6, 25), (8, 30) e (9, 33). Quanti punti hanno un valore di y maggiore di 20?
11. Descrivi il diagramma di dispersione di (1, 30), (2, 26), (3, 23), (4, 19), (5, 15): trova direzione e forma, poi la variazione totale di y da x = 1 a x = 5.
12. L'andamento dei punti (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) è lineare o non lineare? Confronta gli aumenti.
13. Un diagramma di dispersione mostra, per nove persone, la distanza dal lavoro (km, x) e il tempo di viaggio (minuti, y): (2, 8), (3, 10), (3, 12), (4, 11), (15, 35), (16, 37), (16, 38), (17, 36), (18, 40). Descrivi i gruppi e il vuoto.
14. Un diagramma di dispersione mostra i punti (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 2) e (6, 13). Quale punto è un valore anomalo?
15. I valori di x dei punti di un diagramma di dispersione sono 1, 2, 3, 4, 11, 12, 13. Formano due gruppi. Quanto è largo il vuoto tra loro (dal valore di x più grande del gruppo di sinistra a quello più piccolo del gruppo di destra)?
16. Verifica se (5, 15) è un valore anomalo nel diagramma di dispersione di (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 15).
17. Metti l'altezza (x) contro il numero di scarpe (y) per una classe. Le altezze vanno da 150 a 190 cm e i numeri di scarpe da 36 a 46. L'asse x parte da 150 con 8 quadretti, l'asse y parte da 36 con 5 quadretti. Trova i due passi.
18. Un diagramma di dispersione delle ore di esercizio contro il punteggio di 20 studenti mostra 12 punti in un gruppo vicino a (2, 60), 7 punti in un gruppo vicino a (6, 85) e un punto in (6, 30). Analizza i gruppi e il valore anomalo.

Perché è importante

Il diagramma di dispersione è la prima cosa che disegnano uno scienziato, un allenatore o un analista quando due misure potrebbero essere collegate:

Sport: un allenatore mette le ore di allenamento contro i punti segnati per vedere se l'allenamento rende
Salute: i medici mettono l'età contro la pressione sanguigna per vedere come cambia nel corso della vita
Meteo: i meteorologi mettono l'altitudine contro la temperatura (scende di circa $6°C$ per ogni chilometro di salita)
Commercio: un negozio mette la temperatura contro le vendite di gelati per programmare gli ordini
Scienze: i fisici mettono la velocità contro lo spazio di frenata e scoprono una curva, non una retta

Un diagramma di dispersione mostra tutto il quadro in una volta: l'andamento generale, i punti che se ne allontanano e i gruppi nascosti nei dati. È il punto di partenza per la correlazione e per la retta di migliore approssimazione delle prossime lezioni.

Applicazioni nel mondo reale

Scienze motorie: altezza e apertura delle braccia

Gli allenatori di nuoto e basket mettono l'altezza contro l'apertura delle braccia, perché un'apertura ampia è un vantaggio in entrambi gli sport.

Esempio:

Nella maggior parte delle persone l'apertura delle braccia è quasi uguale all'altezza, quindi i punti stanno vicini a una retta che sale: un andamento forte, positivo e lineare.

1Provaci tu stesso

Vuoi rappresentare l'apertura delle braccia di una squadra. I valori vanno da $148$ cm a $182$ cm. Il tuo asse $y$ parte da $140$ cm e ha $10$ quadretti.

Quale passo deve rappresentare ogni quadretto (scegli tra i passi tondi 1, 2, 5 o 10)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il passo di un quadretto:

Meteo: altitudine e temperatura

Le guide alpine e i piloti sanno che l'aria diventa più fredda salendo. Un diagramma di dispersione di altitudine e temperatura mostra quanto in fretta.

Esempio:

I palloni sonda misurano la temperatura ogni poche centinaia di metri durante la salita. Messe insieme, le misure stanno quasi su una retta che scende.

2Provaci tu stesso

Un'escursionista registra la temperatura a quattro altitudini: $(0, 20)$ , $(1, 14)$ , $(2, 7)$ , $(3, 1)$ , con l'altitudine in km e la temperatura in °C.

Come descriveresti il diagramma di dispersione?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli la descrizione migliore:

Commercio: trovare un valore anomalo

I negozi mettono il numero di post sui social a settimana contro il numero di nuovi clienti per vedere se la pubblicità funziona e individuare le settimane che non tornano.

Esempio:

Una settimana con molti post ma pochissimi clienti risalta come valore anomalo. Spesso c'è un motivo: un giorno festivo, un guasto del sito o il brutto tempo.

3Provaci tu stesso

Una panetteria registra cinque settimane come (post, nuovi clienti): $(2, 30)$ , $(4, 42)$ , $(6, 54)$ , $(8, 66)$ , $(10, 20)$ .

Quanti post ci sono stati nella settimana che è un valore anomalo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il valore di $x$ del valore anomalo:

Punti chiave

1Un diagramma di dispersione mostra due variabili numeriche: ogni individuo è un punto $(x, y)$
2La variabile esplicativa va sull'asse $x$ , la variabile risposta sull'asse $y$
3Ogni asse ha bisogno di passi uguali, di un'etichetta e di un'unità di misura; i due assi possono avere scale diverse
4Disegna un punto per riga e non unire mai i punti
5Descrivi l'andamento per forma (lineare o non lineare), direzione (positiva o negativa) e forza (forte, moderata, debole)
6Cerca le caratteristiche particolari: gruppi, vuoti e valori anomali

Domande frequenti

Un grafico a linee segue una grandezza nel tempo, quindi ha senso unire i punti. Un diagramma di dispersione confronta due variabili per molti individui separati, quindi i punti restano staccati.

Glossario

Diagramma di dispersione: Un grafico di punti $(x, y)$ che mostra la relazione tra due variabili numeriche
Variabile esplicativa: La variabile che può spiegare o influenzare l'altra; va sull'asse $x$
Variabile risposta: La variabile che risponde alla variabile esplicativa; va sull'asse $y$
Forma: La figura dell'andamento: lineare (retta) o non lineare (curva)
Gruppo (cluster): Un insieme di punti vicini tra loro e separati dagli altri
Valore anomalo (outlier): Un punto lontano dall'andamento generale degli altri punti

Scheda formule

Un punto per individuo

(x, y) = (\text{esplicativa}, \text{risposta})

Ogni riga della tabella diventa un punto: il primo valore va verso destra, il secondo verso l'alto

Campo di variazione di una variabile

\text{campo} = \text{valore massimo} - \text{valore minimo}

Ti dice quanto spazio sull'asse serve ai valori

Ampiezza di un passo

\text{passo} \geq \frac{\text{valore massimo} - \text{inizio}}{\text{numero di quadretti}}

Arrotonda per eccesso a un passo tondo come 1, 2, 5 o 10

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Scienze motorie: altezza e apertura delle braccia

Meteo: altitudine e temperatura

Commercio: trovare un valore anomalo

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Un punto per individuo

Campo di variazione di una variabile

Ampiezza di un passo

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Introduzione alla regressione

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Retta di migliore approssimazione

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