Semplificare espressioni trigonometriche

Risposta: $\sin x$

$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$: il fattore $\cos x$ si semplifica.

Risposta: $\cos^2 x$

Sottrai $\sin^2 x$ da entrambi i membri di $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Risposta: 5

$\tan x \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$, quindi l'espressione vale $1 + 4 = 5$.

Risposta: $\sec x$

1. Con seno e coseno: $\csc x \tan x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. Quale fattore si semplifica? $\sin x$
2. Che cosa resta dopo la semplificazione? $\frac{1}{\cos x}$
3. Quale funzione è uguale a $\frac{1}{\cos x}$? $\sec x$

Risposta: 1

1. Scrivi $\cot x$ con seno e coseno. $\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Riscrivi $\sec x$. $\frac{1}{\cos x}$
3. Moltiplica: $\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ 1

Risposta: $\cos x$

1. Calcola l'espressione di partenza: $\dfrac{\sin 60°}{\tan 60°} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = ?$ 0.5
2. Calcola la risposta dello studente: $\sin^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ?$ 0.75
3. I valori sono diversi, quindi lo studente ha sbagliato. La forma corretta è $\cos x$. Quanto vale $\cos 60°$? 0.5

Risposta: $\tan x$

$\dfrac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Risposta: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ e $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$, quindi la somma è $1 + 1 = 2$.

Risposta: 1

1. Dividere per $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ significa moltiplicare per $\sin x$. Che cosa diventa $\dfrac{\sin x}{\csc x}$? $\sin^2 x$
2. Allo stesso modo, che cosa diventa $\dfrac{\cos x}{\sec x}$? $\cos^2 x$
3. Quanto vale $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1

Risposta: $\tan^2 x$

$\dfrac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$.

Risposta: 4

$\dfrac{4(1 - \cos^2 x)}{\sin x} = \dfrac{4\sin^2 x}{\sin x} = 4\sin x$, quindi $k = 4$.

Risposta: $1 + \cos x$

1. Sostituisci $\sin^2 x$ con un'identità pitagorica. $1 - \cos^2 x$
2. Scomponi $1 - \cos^2 x$ come differenza di quadrati. $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$
3. Semplifica $1 - \cos x$: il risultato è $1 + \cos x$. Quanto vale per $x = 60°$? 1.5

Risposta: $\sin^3 x$

1. Raccogli il fattore comune. $\sin x(1 - \cos^2 x)$
2. Sostituisci $1 - \cos^2 x$ con $\sin^2 x$. L'espressione diventa $\sin^n x$: quanto vale $n$? 3
3. Calcola $\sin^3 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ in forma decimale. 0.125

Risposta: $2\tan x$

Numeratore: $\cos x(1 + \sin x) - \cos x(1 - \sin x) = 2\sin x\cos x$. Denominatore: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Quindi $\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.

Risposta: 8

$\dfrac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$. Per $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, quindi $\sec^2 60° = 4$ e il valore è $2 \cdot 4 = 8$.

Risposta: $\sec x - 1$

1. Sostituisci $\tan^2 x$ con un'identità pitagorica. $\sec^2 x - 1$
2. Scomponi il numeratore $\sec^2 x - 1$. $(\sec x - 1)(\sec x + 1)$
3. Semplifica $\sec x + 1$: il risultato è $\sec x - 1$. Calcolalo per $x = 60°$. 1

Risposta: 2

1. Sviluppa $(\sin x + \cos x)^2$. $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$
2. $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$. Sommando i due sviluppi, che cosa danno i termini centrali $2\sin x\cos x$ e $-2\sin x\cos x$? 0
3. Ciò che resta: $2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = ?$ 2

Risposta: 1

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$ e $\sec x \csc x = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$, quindi il quoziente è $1$.