Dimostrare identità trigonometriche

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Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale affermazione è un'identità (vera per ogni angolo $x$ ammesso)?
1. a) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. b) $\sin x = \cos x$
3. c) $\sin x + \cos x = 1$
4. d) $\tan x = 1$
2.
Verifica l'identità $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1$ per $x = 60°$ . Quanto vale il primo membro? Usa $\tan 60° = \sqrt{3}$ e $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .
3.
Verifica numericamente che $\tan x \cos x = \sin x$ vale per $x = 30°$ .
4.
Quale passaggio NON è permesso quando si dimostra un'identità?
1. a)Scrivere $\tan x$ come $\frac{\sin x}{\cos x}$ in un membro
2. b)Semplificare un fattore comune in una frazione
3. c)Dividere entrambi i membri per $\cos x$
4. d)Moltiplicare un membro per $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$
5.
Mostra che $\sin(2x) = 2\sin x$ NON è un'identità: calcola il primo membro meno il secondo per $x = 90°$ .
6.
Dimostra che $\sin x \cot x = \cos x$ .
7.
Qual è il miglior primo passaggio per dimostrare $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$ partendo dal primo membro?
1. a)Elevare al quadrato entrambi i membri
2. b)Sommare $\cos x$ a entrambi i membri
3. c)Moltiplicare numeratore e denominatore per $1 - \cos x$
4. d)Moltiplicare numeratore e denominatore per $1 + \cos x$
8.
Calcola il secondo membro di $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ per $x = 60°$ . Usa $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\tan 60° = \sqrt{3}$ .
9.
Dimostra che $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$ .
10.
Dimostra che $\dfrac{1}{1 - \cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} = 2\csc^2 x$ .
11.
Quale angolo è un controesempio che mostra che $\sin x + \cos x = 1$ non è un'identità?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $45°$
4. d) $0°$
12.
Calcola $\dfrac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$ per $x = 30°$ .
13.
Confuta l'affermazione $(\sin x + \cos x)^2 = 1$ e trova a che cosa è davvero uguale il primo membro.
14.
A quale espressione è uguale $\dfrac{1}{1 - \sin x} - \dfrac{1}{1 + \sin x}$ ?
1. a) $2\tan x \sec x$
2. b) $2\sin x$
3. c) $2\sec^2 x$
4. d) $2\tan^2 x$
15.
$\sec^4 x - \tan^4 x = 1 + A\tan^2 x$ è un'identità. Qual è il numero $A$ ?
16.
Dimostra che $\dfrac{\cos x}{1 + \sin x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ .
17.
Dimostra che $\cot^2 x - \cos^2 x = \cot^2 x \cos^2 x$ .
18.
Dimostra che $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ .