Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen)

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk van deze lichamen is GEEN regelmatig veelvlak?
1. a)Vierzijdige piramide
2. b)Twintigvlak
3. c)Kubus
4. d)Achtvlak
Antwoord: Vierzijdige piramide
Een vierzijdige piramide heeft één vierkant vlak en vier driehoekige vlakken. De vlakken zijn niet allemaal dezelfde veelhoek, dus het is geen regelmatig veelvlak.
2.
Hoeveel vlakken heeft een twintigvlak?
Antwoord: 20
Een twintigvlak heeft $20$ vlakken, allemaal gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in elk hoekpunt 5 samenkomen.
3.
Bepaal het aantal ribben van een kubus door de zijden van zijn vlakken te tellen.
Antwoord: 12
1. Hoeveel vlakken heeft een kubus? 6
2. Hoeveel zijden heeft elk vlak (een vierkant)? 4
3. Hoeveel zijden van vlakken zijn dat in totaal? 24
4. Elke ribbe hoort bij 2 vlakken. Hoeveel ribben zijn er? 12
4.
Welke vorm hebben de vlakken van een twaalfvlak?
1. a)Gelijkzijdige driehoeken
2. b)Regelmatige vijfhoeken
3. c)Regelmatige zeshoeken
4. d)Vierkanten
Antwoord: Regelmatige vijfhoeken
Een twaalfvlak heeft 12 regelmatige vijfhoeken, 3 in elk hoekpunt. Zeshoeken zijn onmogelijk, want $3 \times 120° = 360°$ ligt plat.
5.
Een viervlak heeft 4 vlakken, elk een gelijkzijdige driehoek. Hoeveel ribben heeft het?
Antwoord: 6
$4 \times 3 = 12$ driehoekszijden, en elke ribbe hoort bij twee vlakken: $12 \div 2 = 6$ ribben.
6.
Wat is het grootste aantal vierkanten dat in een hoekpunt van een ruimtefiguur kan samenkomen?
Antwoord: 3
1. Hoeveel graden is één hoek van een vierkant? 90
2. Wat is de hoekensom van 3 vierkanten in een hoekpunt? 270
3. Wat is de hoekensom van 4 vierkanten in een hoekpunt? 360
4. De som moet kleiner zijn dan 360°. Wat is het grootste aantal vierkanten? 3
7.
Je gooit met een eerlijke dobbelsteen met 8 vlakken (een achtvlak), genummerd van 1 tot en met 8. Hoe groot is de kans op een even getal?
Antwoord: 1/2
1. Hoeveel vlakken (mogelijke uitkomsten) heeft de dobbelsteen? 8
2. Hoeveel van de getallen 1 tot en met 8 zijn even? 4
3. Wat is de kans als vereenvoudigde breuk? 1/2
8.
Waarom kunnen er nooit 6 gelijkzijdige driehoeken samenkomen in een hoekpunt van een regelmatig veelvlak?
1. a)Het lichaam zou te veel ribben hebben
2. b)De driehoeken zouden te klein zijn
3. c)De formule van Euler staat geen 6 vlakken toe
4. d)Hun hoeken zijn samen 360°, dus ze liggen plat
Antwoord: Hun hoeken zijn samen 360°, dus ze liggen plat
$6 \times 60° = 360°$ , een volledige draai. De zes driehoeken vullen het vlak rond het punt (zoals een zeshoek), dus er steekt geen hoekpunt uit.
9.
In elk hoekpunt van een twaalfvlak komen 3 regelmatige vijfhoeken samen. Elke hoek van een regelmatige vijfhoek is $108°$ . Wat is de hoekensom in één hoekpunt, in graden?
Antwoord: 324
$3 \times 108° = 324°$ , en dat is minder dan $360°$ , dus de vijfhoeken vormen een echt hoekpunt. Met 4 vijfhoeken zou het $432°$ zijn, te veel.
10.
Laat zien dat er in een hoekpunt van een ruimtefiguur hoogstens 3 regelmatige vijfhoeken kunnen samenkomen.
Antwoord: 3
1. Wat is de som van de hoeken van een vijfhoek, $(5 - 2) \times 180$ ? 540
2. Hoeveel graden is één hoek van een regelmatige vijfhoek? 108
3. Wat is de hoekensom van 3 vijfhoeken in een hoekpunt? 324
4. Wat is de hoekensom van 4 vijfhoeken in een hoekpunt? 432
5. De som moet kleiner zijn dan 360°. Wat is het grootste aantal vijfhoeken? 3
11.
Welk paar regelmatige veelvlakken is duaal (hoekpunten en vlakken ruilen)?
1. a)Achtvlak en twintigvlak
2. b)Viervlak en kubus
3. c)Kubus en achtvlak
4. d)Twaalfvlak en kubus
Antwoord: Kubus en achtvlak
De kubus heeft 8 hoekpunten, 12 ribben, 6 vlakken; het achtvlak heeft 6 hoekpunten, 12 ribben, 8 vlakken. Hoekpunten en vlakken ruilen en de ribben blijven gelijk, dus ze zijn duaal.
12.
De oppervlakte van een achtvlak is $2\sqrt{3}\,a^2$ . Bij ribbe $a = 5$ cm is de oppervlakte $k\sqrt{3}$ cm². Hoeveel is $k$ ?
Antwoord: 50
$2\sqrt{3} \times 25 = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ cm², dus $k = 50$ . Controle: 8 driehoeken van elk $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25$ .
13.
Bereken de oppervlakte van een viervlak met ribbe $a = 6$ cm. Rond af op één decimaal.
Antwoord: 62.4
1. Wat is $a^2$ ? 36
2. Eén vlak heeft oppervlakte $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = k\sqrt{3}$ . Hoeveel is $k$ ? 9
3. De 4 vlakken samen hebben oppervlakte $m\sqrt{3}$ . Hoeveel is $m$ ? 36
4. Schrijf $36\sqrt{3}$ als kommagetal, afgerond op één decimaal. 62.4
14.
Een twintigvlak heeft 20 driehoekige vlakken, en in elk hoekpunt komen 5 vlakken samen. Bepaal het aantal ribben en het aantal hoekpunten.
Antwoord: 30, 12
1. Hoeveel driehoekszijden zijn er in totaal? 60
2. Elke ribbe hoort bij 2 vlakken. Hoeveel ribben? 30
3. Er zijn ook 60 driehoekshoeken, en elk hoekpunt verzamelt er 5. Hoeveel hoekpunten? 12
4. Controle: hoekpunten - ribben + vlakken = ? 2
15.
Plak twee regelmatige viervlakken aan één vlak aan elkaar. Het nieuwe lichaam heeft 6 gelijke gelijkzijdige driehoeken als vlakken. Is het een regelmatig veelvlak?
1. a)Ja, omdat alle vlakken gelijke gelijkzijdige driehoeken zijn
2. b)Nee, omdat driehoeken geen gesloten lichaam kunnen vormen
3. c)Ja, het is het achtvlak
4. d)Nee, omdat in sommige hoekpunten 3 en in andere 4 vlakken samenkomen
Antwoord: Nee, omdat in sommige hoekpunten 3 en in andere 4 vlakken samenkomen
Deze driezijdige dubbelpiramide heeft 5 hoekpunten: in elk van de twee punten komen 3 vlakken samen, in elk van de drie middelste hoekpunten 4. De tweede voorwaarde klopt niet, dus het is geen regelmatig veelvlak (het achtvlak heeft 8 vlakken, niet 6).
16.
Zet een punt in het midden van elk vlak van een twintigvlak en verbind de punten van aangrenzende vlakken tot het duale lichaam. Hoeveel hoekpunten heeft het duale lichaam?
Antwoord: 20
Het twintigvlak heeft 20 vlakken, dus het duale lichaam heeft $20$ hoekpunten. Het heeft ook 12 vlakken (één per hoekpunt van het twintigvlak) en 30 ribben: het is het twaalfvlak.
17.
Het twaalfvlak heeft 20 hoekpunten, 30 ribben en 12 vlakken. Bepaal het aantal vlakken, hoekpunten en ribben van het duale lichaam en controleer de formule van Euler.
Antwoord: 20, 12, 30
1. Elk hoekpunt van het twaalfvlak wordt een vlak van het duale lichaam. Hoeveel vlakken heeft het? 20
2. Elk vlak van het twaalfvlak wordt een hoekpunt van het duale lichaam. Hoeveel hoekpunten? 12
3. Hoeveel ribben heeft het duale lichaam? 30
4. Controle voor het duale lichaam: hoekpunten - ribben + vlakken = ? 2
18.
Het hoekdefect in een hoekpunt is $360°$ min de hoekensom daar. Bepaal het totale hoekdefect van de kubus en van het twintigvlak.
Antwoord: 720
1. In een hoekpunt van de kubus komen 3 vierkanten samen. Wat is het defect, $360 - 3 \times 90$ ? 90
2. De kubus heeft 8 hoekpunten. Wat is het totale defect? 720
3. In een hoekpunt van het twintigvlak komen 5 driehoeken samen. Wat is het defect, $360 - 5 \times 60$ ? 60
4. Het twintigvlak heeft 12 hoekpunten. Wat is het totale defect? 720