Docentenhandleiding: Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen)

Maak kennis met de vijf regelmatige veelvlakken, tel hun vlakken, ribben en hoekpunten en ontdek waarom er nooit een zesde kan bestaan.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over 3D-vormen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Een regelmatig veelvlak definiëren met de drie voorwaarden: gelijke regelmatige vlakken, evenveel vlakken in elk hoekpunt, convex
De vijf regelmatige veelvlakken benoemen en de vorm van hun vlakken en hun $H$ , $R$ en $V$ geven
Met de hoekensom in een hoekpunt uitleggen waarom er precies vijf regelmatige veelvlakken bestaan
Ribben en hoekpunten uit de vlakken berekenen en de uitkomst controleren met de formule van Euler
Duale paren herkennen en de oppervlakte van een regelmatig veelvlak berekenen uit de lengte van de ribbe

Vereisten

• Vlakken, ribben en hoekpunten van ruimtefiguren (Introductie tot 3D-vormen)
• De formule van Euler voor veelvlakken: $H - R + V = 2$
• Hoeken van regelmatige veelhoeken (driehoek $60°$ , vierkant $90°$ , vijfhoek $108°$ )
• Oppervlakte van een driehoek en wortels

Discussiestarters

1. Waarom denk je dat er in 2D oneindig veel regelmatige veelhoeken zijn, maar in 3D maar vijf regelmatige veelvlakken?
2. Wat gebeurt er met een hoekpunt als je 6 gelijkzijdige driehoeken rond één punt probeert te leggen?
3. Waarom moet bij een eerlijke dobbelsteen elk vlak dezelfde vorm hebben? Ken je een eerlijke dobbelsteen die geen platonisch lichaam is?
4. De kubus heeft 8 hoekpunten en 6 vlakken, het achtvlak 6 hoekpunten en 8 vlakken. Is dat toeval?

Veelvoorkomende misvattingen

Elk lichaam dat uit gelijkzijdige driehoeken bestaat, is een regelmatig veelvlak

Herstel: Laat leerlingen een driezijdige dubbelpiramide bouwen uit twee papieren viervlakken. Tel de vlakken in elk hoekpunt (3 in de punten, 4 rondom het midden) en vergelijk met het achtvlak, waar elk hoekpunt er 4 heeft.

Er moeten meer regelmatige veelvlakken zijn, we hebben ze alleen nog niet gevonden

Herstel: Loop het argument met de hoekensom stap voor stap door. Leerlingen leggen papieren veelhoeken rond een punt en zien dat 6 driehoeken, 4 vierkanten en 3 zeshoeken plat liggen, dus voorbij de vijf is niets mogelijk.

Ribben tel je door het aantal vlakken met het aantal zijden te vermenigvuldigen

Herstel: Tel de ribben van een echte kubus met stickers, één sticker per ribbe. Leerlingen komen op 12, niet op 24, en zien dat elke ribbe twee vlakken raakt.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Echte modellen of gevouwen uitslagen geven, zodat leerlingen vlakken, ribben en hoekpunten kunnen voelen en tellen
• De hoekentabel (60°, 90°, 108°, 120°) geven in plaats van de hoek van de vijfhoek te laten afleiden
• Eerst alleen het viervlak, de kubus en het achtvlak behandelen

Voor leerlingen op niveau:

• De tabel H, R, V invullen voor alle vijf lichamen en voor elk de formule van Euler controleren
• Met de hoekensom in een hoekpunt bewijzen dat er maar vijf lichamen bestaan
• De duale paren vinden en uitleggen waarom $R$ gelijk blijft

Voor gevorderde leerlingen:

• Het hoekdefect in elk hoekpunt berekenen ( $360°$ min de hoekensom) en laten zien dat het totaal bij alle vijf lichamen $720°$ is
• De inhoud van het viervlak, $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ , afleiden uit een in stukken gesneden kubus
• Onderzoek doen naar de archimedische lichamen (zoals de voetbal) en welke voorwaarde zij loslaten

Standaarduitlijning

6.G.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.G.A.4)
Ruimtefiguren weergeven met uitslagen van rechthoeken en driehoeken en de uitslagen gebruiken om de oppervlakte te bepalen
7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Eigenschappen van supplementaire, complementaire, overstaande en aanliggende hoeken gebruiken in meerstapsproblemen om vergelijkingen voor een onbekende hoek op te stellen en op te lossen
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Praktische en wiskundige problemen oplossen over oppervlakte, inhoud en totale oppervlakte van figuren en lichamen opgebouwd uit driehoeken, vierhoeken, veelhoeken, kubussen en rechte prisma's
HSG.MG.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.MG.A.1)
Meetkundige vormen, hun afmetingen en hun eigenschappen gebruiken om voorwerpen te beschrijven

Lesbronnen

visualInteractieve viewer voor regelmatige veelvlakken
De vijf lichamen draaien, op vlakken tikken om ze te tellen en elk lichaam openvouwen tot zijn uitslag
activityDe vijf bouwen uit uitslagen
Leerlingen knippen en vouwen papieren uitslagen en proberen (tevergeefs) een zesde lichaam te bouwen met 6 driehoeken of 4 vierkanten in een hoekpunt
worksheetTabel H, R, V en dualen
De tabel invullen voor alle vijf lichamen, de duale paren vinden en oppervlakten berekenen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een regelmatig veelvlak (ook platonisch lichaam genoemd) is een ruimtefiguur die aan drie voorwaarden voldoet:

1.Elk vlak is dezelfde regelmatige veelhoek (alle zijden en alle hoeken gelijk).
2.In elk hoekpunt komen evenveel vlakken samen.
3.Het is convex: geen deuken, elk hoekpunt wijst naar buiten.

Er zijn er precies vijf:

Viervlak (tetraëder): 4 gelijkzijdige driehoeken, 3 in elk hoekpunt. $H = 4$ , $R = 6$ , $V = 4$
Kubus: 6 vierkanten, 3 in elk hoekpunt. $H = 8$ , $R = 12$ , $V = 6$
Achtvlak (octaëder): 8 gelijkzijdige driehoeken, 4 in elk hoekpunt. $H = 6$ , $R = 12$ , $V = 8$
Twaalfvlak (dodecaëder): 12 regelmatige vijfhoeken, 3 in elk hoekpunt. $H = 20$ , $R = 30$ , $V = 12$
Twintigvlak (icosaëder): 20 gelijkzijdige driehoeken, 5 in elk hoekpunt. $H = 12$ , $R = 30$ , $V = 20$

Alle vijf voldoen aan de formule van Euler

H - R + V = 2

. Dat er maar vijf zijn, komt door de hoekensom in een hoekpunt: de hoeken van de vlakken die in een hoekpunt samenkomen, moeten samen minder dan

360°

zijn, anders ontstaat er geen hoekpunt: bij precies

360°

liggen de vlakken plat en bij meer dan

360°

passen ze niet rond het punt.

\text{(vlakken in een hoekpunt)} \times \text{(een hoek van een vlak)} < 360°

Uitgewerkte voorbeelden

Een achtvlak heeft 8 vlakken, elk een gelijkzijdige driehoek, en in elk hoekpunt komen 4 vlakken samen. Bepaal het aantal ribben en hoekpunten.

Tel alle zijden van de driehoeken

8 \text{ vlakken} \times 3 \text{ zijden} = 24

→ 24 zijden in totaal

Elke ribbe hoort bij 2 vlakken

R = 24 \div 2

→

R = 12

Tel alle hoeken van de driehoeken: elk hoekpunt verzamelt er 4

8 \times 3 = 24

hoeken,

H = 24 \div 4

→

H = 6

Controleer met de formule van Euler

H - R + V = 6 - 12 + 8

→

2

, klopt

Antwoord: Het achtvlak heeft $12$ ribben en $6$ hoekpunten.

Veelgemaakte fouten

Elk lichaam met gelijke vlakken een regelmatig veelvlak noemen

Waarom het fout is: De driezijdige dubbelpiramide (twee aan elkaar geplakte viervlakken) heeft 6 gelijke gelijkzijdige driehoeken, maar in twee hoekpunten komen 3 vlakken samen en in de drie andere 4.

Correct: Controleer beide voorwaarden: dezelfde regelmatige veelhoek voor elk vlak EN evenveel vlakken in elk hoekpunt.

De ribben van een kubus tellen als $6 \times 4 = 24$

Waarom het fout is: Elke ribbe hoort bij twee vlakken, dus als je de zijden van alle vlakken telt, tel je elke ribbe twee keer.

Correct: Deel door 2: $R = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ . Algemeen geldt $R = \frac{V \times n}{2}$ , waarbij $n$ het aantal zijden van één vlak is.

Denken dat 6 driehoeken of 4 vierkanten in een hoekpunt een nieuw lichaam geven

Waarom het fout is: $6 \times 60° = 360°$ en $4 \times 90° = 360°$ : de vlakken vullen de hele draai rond het punt en liggen plat, zoals tegels.

Correct: De hoekensom in een hoekpunt moet echt kleiner zijn dan $360°$ .

Denken dat elke dobbelsteen een regelmatig veelvlak is

Waarom het fout is: De tienzijdige dobbelsteen (d10) heeft vliegervormige vlakken, en dat zijn geen regelmatige veelhoeken. Ook zien niet al zijn hoekpunten er hetzelfde uit.

Correct: Alleen d4, d6, d8, d12 en d20 zijn platonische lichamen. De d10 is toch eerlijk, omdat al zijn vlakken dezelfde vorm en dezelfde ligging hebben.

Waarom het belangrijk is

Regelmatige veelvlakken fascineren mensen al meer dan 2000 jaar, en je komt ze nog steeds overal tegen:

Spellen: de dobbelstenen d4, d6, d8, d12 en d20 zijn precies de vijf platonische lichamen. Omdat elk vlak hetzelfde is en op dezelfde manier ligt, heeft elk getal dezelfde kans.
Biologie: veel virussen (zoals het herpesvirus en het adenovirus) bouwen hun eiwitmantel in de vorm van een twintigvlak, omdat 20 gelijke driehoeken uit veel kopieën van hetzelfde kleine bouwsteentje een stevige, gesloten mantel vormen.
Scheikunde en kristallen: een methaanmolecuul heeft de vorm van een viervlak, keukenzout en pyriet groeien als kubussen, en fluoriet en diamant vaak als achtvlakken.
Architectuur: geodetische koepels beginnen bij een twintigvlak waarvan de vlakken in kleinere driehoeken worden verdeeld.
Geschiedenis: Plato koppelde vier lichamen aan vuur, aarde, lucht en water en het twaalfvlak aan het hele heelal. Euclides bewees dat er maar vijf zijn, en Johannes Kepler (1596) probeerde de banen van de planeten te verklaren door de lichamen in elkaar te schuiven.

Het bewijs dat er maar vijf zijn, is een van de oudste en mooiste redeneringen uit de wiskunde, en je kunt het volgen met alleen hoeken.

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijke dobbelstenen voor bordspellen

Rollenspellen gebruiken alle vijf platonische lichamen als dobbelsteen. Omdat elk vlak dezelfde regelmatige veelhoek is en elk hoekpunt er hetzelfde uitziet, komt geen enkel vlak vaker boven.

Voorbeeld:

Bij een d20 (twintigvlak) heeft elk getal kans $\frac{1}{20} = 0{,}05$ , dus 15 of hoger gooien (15 tot en met 20, zes getallen) heeft kans $\frac{6}{20} = 0{,}3$ .

1Probeer het zelf

Je gooit met een eerlijke dobbelsteen met 12 vlakken (een twaalfvlak), genummerd van 1 tot en met 12.

Hoe groot is de kans dat je een getal groter dan 9 gooit?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gunstige uitkomsten gedeeld door alle uitkomsten:

Virusmantels

Veel virussen verpakken hun erfelijk materiaal in een mantel (capside) in de vorm van een twintigvlak. De natuur gebruikt die vorm omdat 20 gelijke driehoeken zich sluiten tot een stevige mantel uit veel kopieën van hetzelfde kleine eiwit.

Voorbeeld:

Een capside in de vorm van een twintigvlak heeft 12 hoekpunten waar 5 driehoeken samenkomen. Wetenschappers beschrijven de bouw met deze 12 punten van vijfvoudige symmetrie.

2Probeer het zelf

Een wetenschapsmuseum bouwt een reuzenmodel van een viruscapside uit 20 driehoekige panelen die langs de ribben met metalen staven verbonden zijn.

Hoeveel staven (ribben) heeft het model nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel alle zijden van de panelen en bedenk dat elke staaf gedeeld wordt:

Papieren lampen en modellen

Ontwerpers vouwen lampen, cadeaudoosjes en versieringen uit uitslagen van platonische lichamen. De oppervlakte vertelt hun hoeveel papier of materiaal ze nodig hebben.

Voorbeeld:

Een kubuslamp met ribben van 20 cm heeft $6 \times 20^2 = 2400$ cm² papier nodig (plus de plakrandjes).

3Probeer het zelf

Je vouwt een lamp in de vorm van een achtvlak van papier. Elke ribbe is 10 cm lang.

Hoeveel papier bedekken de 8 vlakken? Rond af op één decimaal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $O = 2\sqrt{3}\,a^2$ :

Belangrijke punten

1Een regelmatig veelvlak heeft gelijke regelmatige veelhoeken als vlakken, evenveel vlakken in elk hoekpunt en geen deuken (convex)
2Er zijn er precies vijf: viervlak (4 driehoeken), kubus (6 vierkanten), achtvlak (8 driehoeken), twaalfvlak (12 vijfhoeken), twintigvlak (20 driehoeken)
3Er zijn er maar vijf omdat de hoeken van de vlakken in een hoekpunt samen minder dan $360°$ moeten zijn: 3, 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3 vijfhoeken
4Ribben en hoekpunten volgen uit de vlakken: $R = \frac{V \times n}{2}$ en $H = \frac{V \times n}{k}$ ( $n$ zijden per vlak, $k$ vlakken per hoekpunt), en $H - R + V = 2$
5Dualen ruilen $H$ en $V$ : kubus en achtvlak, twaalfvlak en twintigvlak; het viervlak is duaal met zichzelf
6Oppervlakte bij ribbe $a$ : viervlak $\sqrt{3}a^2$ , kubus $6a^2$ , achtvlak $2\sqrt{3}a^2$ , twintigvlak $5\sqrt{3}a^2$

Veelgestelde vragen

Waarom heten ze platonische lichamen?

De Griekse filosoof Plato beschreef ze rond 360 v.Chr. in zijn dialoog Timaeus. Hij koppelde het viervlak aan vuur, de kubus aan aarde, het achtvlak aan lucht, het twintigvlak aan water en het twaalfvlak aan het heelal. Ze waren al vóór hem bekend, en Euclides bewees later dat er precies vijf zijn.

Is de tienzijdige dobbelsteen (d10) een platonisch lichaam?

Nee. Zijn vlakken zijn vliegers, geen regelmatige veelhoeken, en in sommige hoekpunten komen 3 vlakken samen, terwijl dat er in de twee punten 5 zijn. Toch is hij eerlijk, omdat al zijn vlakken gelijk zijn en op dezelfde manier liggen.

Welk lichaam is duaal met het viervlak?

Het viervlak zelf. Het heeft

H = 4

V = 4

, dus als je hoekpunten en vlakken ruilt, krijg je weer een viervlak (ondersteboven).

Bestaan er regelmatige lichamen in hogere dimensies?

Ja. In vier dimensies zijn er zes regelmatige figuren (polytopen genoemd), en in vijf of meer dimensies zijn er nog maar drie. Onze 3D-wereld heeft er vijf.

Woordenlijst

Regelmatig veelvlak (platonisch lichaam): Een convex veelvlak waarvan de vlakken gelijke regelmatige veelhoeken zijn, met evenveel vlakken in elk hoekpunt
Regelmatige veelhoek: Een veelhoek met alle zijden gelijk en alle hoeken gelijk, zoals een gelijkzijdige driehoek, een vierkant of een regelmatige vijfhoek
Convex: Zonder deuken: het lijnstuk tussen twee willekeurige punten van het lichaam blijft binnen het lichaam
Hoekensom in een hoekpunt: De som van de hoeken van de vlakken die in één hoekpunt samenkomen; bij een ruimtefiguur moet die kleiner zijn dan $360°$
Duaal lichaam: Het lichaam dat je krijgt door in het midden van elk vlak een hoekpunt te zetten; hoekpunten en vlakken ruilen
Uitslag: Een plat patroon van alle vlakken dat je tot het lichaam kunt vouwen

Formulekaart

Voorwaarde in een hoekpunt

k \times \alpha < 360°

$k$ = vlakken in een hoekpunt, $\alpha$ = één hoek van een vlak

Ribben uit vlakken

R = \frac{V \times n}{2}

$n$ = zijden van één vlak; elke ribbe hoort bij 2 vlakken

Hoekpunten uit vlakken

H = \frac{V \times n}{k}

$k$ = vlakken die in elk hoekpunt samenkomen

Formule van Euler

H - R + V = 2

Geldt voor alle vijf regelmatige veelvlakken

Oppervlakten (ribbe $a$)

\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Viervlak, kubus, achtvlak, twintigvlak

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen)

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijke dobbelstenen voor bordspellen

Virusmantels

Papieren lampen en modellen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Voorwaarde in een hoekpunt

Ribben uit vlakken

Hoekpunten uit vlakken

Formule van Euler

Oppervlakten (ribbe $a$)

Meer over dit onderwerp

Introductie tot 3D-vormen

Prisma's

De formule van Euler voor veelvlakken