Booglengte

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de booglengte van een volledige cirkel met straal $5$ cm?
1. a) $10\pi$ cm
2. b) $20\pi$ cm
3. c) $25\pi$ cm
4. d) $5\pi$ cm
Antwoord: $10\pi$ cm
De booglengte van een volledige cirkel is gelijk aan de omtrek: $O = 2\pi r = 2\pi \times 5 = 10\pi$ cm.
2.
Welke formule wordt gebruikt om de booglengte te vinden als de hoek in radialen is?
1. a) $s = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
2. b) $s = 2\pi r$
3. c) $s = \theta \times r$
4. d) $s = \pi r^2$
Antwoord: $s = \theta \times r$
Als de hoek in radialen is, gebruiken we $s = \theta \times r$ . Dit is eenvoudiger omdat één radiaal wordt gedefinieerd als de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal.
3.
Een halve cirkel heeft een straal van $6$ cm. Wat is de booglengte? Geef je antwoord uitgedrukt in $\pi$ .
Antwoord: 6pi
Een halve cirkel heeft een middelpuntshoek van $180°$ , dat is de helft van $360°$ . Booglengte = $\frac{180}{360} \times 2\pi \times 6 = \frac{1}{2} \times 12\pi = 6\pi$ cm.
4.
Reken $90°$ om naar radialen. Geef je antwoord uitgedrukt in $\pi$ .
Antwoord: pi/2
$90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ radialen.
5.
Bereken de booglengte van een sector met middelpuntshoek $45°$ en straal $8$ cm.
1. a) $2\pi$ cm
2. b) $4\pi$ cm
3. c) $\pi$ cm
4. d) $8\pi$ cm
Antwoord: $2\pi$ cm
$s = \frac{45}{360} \times 2\pi \times 8 = \frac{1}{8} \times 16\pi = 2\pi$ cm.
6.
Een cirkel heeft straal $10$ m. Bereken de booglengte voor een middelpuntshoek van $\frac{\pi}{5}$ radialen. Geef je antwoord uitgedrukt in $\pi$ .
Antwoord: 2pi
Met $s = \theta \times r = \frac{\pi}{5} \times 10 = \frac{10\pi}{5} = 2\pi$ m.
7.
Bereken de booglengte van een sector met middelpuntshoek $120°$ en straal $9$ cm.
Antwoord: 6pi
1. Welk deel van de volledige cirkel is $120°$ ? 1/3
2. Wat is de omtrek van de volledige cirkel ( $2\pi r$ )? 18pi
3. Vermenigvuldig de breuk met de omtrek om de booglengte te krijgen 6pi
8.
De grote wijzer van een klok is $15$ cm lang. Hoever beweegt de punt in $20$ minuten?
Antwoord: 10pi
1. Welk deel van een uur is 20 minuten? 1/3
2. Welke hoek bestrijkt de grote wijzer in 20 minuten? 120
3. Bereken de booglengte met $s = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$ 10pi
9.
Als de booglengte $4\pi$ cm is en de middelpuntshoek $90°$ , wat is de straal?
1. a) $4$ cm
2. b) $8$ cm
3. c) $16$ cm
4. d) $2$ cm
Antwoord: $8$ cm
$4\pi = \frac{90}{360} \times 2\pi r$ . Dus $4\pi = \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{\pi r}{2}$ . Daarom $r = 8$ cm.
10.
Een boog heeft lengte $5\pi$ m en de straal is $10$ m. Bereken de middelpuntshoek in graden.
Antwoord: 90
$\theta = \frac{5\pi \times 360}{2\pi \times 10} = \frac{5\pi \times 360}{20\pi} = \frac{5 \times 360}{20} = \frac{1800}{20} = 90°$ .
11.
Een atletiekbaan heeft halfronde bochten. De binnenste baan heeft een straal van $30$ m en de buitenste baan een straal van $32$ m. Hoeveel langer is de buitenste baan dan de binnenste in één bocht?
Antwoord: 2pi
1. Wat is de booglengte van de buitenste halve cirkel ( $r = 32$ m)? 32pi
2. Wat is de booglengte van de binnenste halve cirkel ( $r = 30$ m)? 30pi
3. Wat is het verschil? 2pi
12.
Een pizza heeft een straal van $14$ cm. Als een punt een booglengte van $7\pi$ cm langs de korst heeft, wat is de middelpuntshoek van de punt in graden?
Antwoord: 90
$\theta = \frac{7\pi \times 360}{2\pi \times 14} = \frac{7\pi \times 360}{28\pi} = \frac{7 \times 360}{28} = \frac{2520}{28} = 90°$ . Het pizzapunt is een kwart van de pizza!
13.
Een auto rijdt door een cirkelvormige bocht met straal $50$ m. Als de auto een boog van $\frac{2\pi}{3}$ radialen aflegt, hoever rijdt hij? Reken dan deze hoek om naar graden.
Antwoord: 100pi/3
1. Gebruik $s = \theta \times r$ . Wat is de booglengte? 100pi/3
2. Reken $\frac{2\pi}{3}$ radialen om naar graden 120
3. Benader de booglengte met $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op hele meters 105
14.
Twee cirkels hebben stralen $r$ en $2r$ . Als beide bogen hebben met dezelfde middelpuntshoek, wat is de verhouding van hun booglengtes?
1. a) $1:4$
2. b) $1:2$
3. c) $2:1$
4. d) $1:1$
Antwoord: $1:2$
Uit $s = \theta \times r$ volgt: als $\theta$ constant is, dan is $s$ recht evenredig met $r$ . Dus $s_1 : s_2 = r : 2r = 1:2$ .
15.
Een sector heeft een booglengte van $12\pi$ cm en een middelpuntshoek van $\frac{3\pi}{4}$ radialen. Bereken eerst de straal en daarna de oppervlakte van de sector.
Antwoord: 96pi
1. Gebruik $s = \theta r$ om de straal te vinden. Wat is $r$ ? 16
2. Reken de hoek om naar graden 135
3. Bereken de sectoroppervlakte met $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$ (uitgedrukt in pi) 96pi