ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke driehoek is gelijkvormig met een driehoek met zijden $2$ , $3$ en $4$ ?
1. a)4; 6; 8
2. b)4; 5; 6
3. c)3; 4; 5
4. d)4; 6; 9
Antwoord: 4; 6; 8
$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , dus de driehoek met zijden $4$ , $6$ , $8$ is gelijkvormig volgens ZZZ-gelijkvormigheid met $k = 2$ . Bij $3$ , $4$ , $5$ zijn de verhoudingen $1{,}5$ , $1{,}33$ , $1{,}25$ , bij $4$ , $5$ , $6$ zijn ze $2$ , $1{,}67$ , $1{,}5$ en bij $4$ , $6$ , $9$ zijn ze $2$ , $2$ , $2{,}25$ .
2.
$\triangle ABC$ heeft zijden $5$ , $7$ , $8$ en $\triangle DEF$ heeft zijden $15$ , $21$ , $24$ . De driehoeken zijn gelijkvormig. Wat is de vergrotingsfactor $k$ van $\triangle ABC$ naar $\triangle DEF$ ?
Antwoord: 3
$\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{24}{8} = 3$ , dus $k = 3$ .
3.
Een driehoek heeft zijden $3$ , $5$ , $6$ en een andere heeft zijden $9$ , $15$ , $18$ . Controleer alle drie verhoudingen met ZZZ-gelijkvormigheid en bepaal de vergrotingsfactor.
Antwoord: 3
1. Hoe groot is de verhouding van de kortste zijden, $\frac{9}{3}$ ? 3
2. Hoe groot is de verhouding van de middelste zijden, $\frac{15}{5}$ ? 3
3. Hoe groot is de verhouding van de langste zijden, $\frac{18}{6}$ ? 3
4. Zijn alle drie verhoudingen gelijk, zodat de driehoeken gelijkvormig zijn? Typ 1 voor ja of 0 voor nee. 1
4.
Van $\triangle ABC$ en $\triangle DEF$ weet je dat $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$ en $\angle A = \angle D$ . Welk kenmerk bewijst dat de driehoeken gelijkvormig zijn?
1. a)ZHZ-gelijkvormigheid
2. b)AA-gelijkvormigheid
3. c)ZZZ-gelijkvormigheid
4. d)Te weinig gegevens
Antwoord: ZHZ-gelijkvormigheid
Twee paren zijden hebben dezelfde verhouding $2$ , en $\angle A$ is de ingesloten hoek van $AB$ en $AC$ ( $\angle D$ van $DE$ en $DF$ ). Dat is ZHZ-gelijkvormigheid. AA vraagt twee hoeken, ZZZ drie zijden.
5.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ met vergrotingsfactor $k = 2$ van $\triangle ABC$ naar $\triangle DEF$ . Als $AB = 6$ , hoe lang is $DE$ dan?
Antwoord: 12
$DE = k \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ .
6.
$\triangle ABC$ heeft zijden $8$ , $4$ , $6$ en $\triangle DEF$ heeft zijden $9$ , $12$ , $6$ . Koppel de zijden goed en bepaal de vergrotingsfactor van $\triangle ABC$ naar $\triangle DEF$ .
Antwoord: 1.5
1. Wat is de kortste zijde van $\triangle ABC$ ? 4
2. Wat is de kortste zijde van $\triangle DEF$ ? 6
3. Hoe groot is de verhouding van de kortste zijden, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
4. Controleer met de langste zijden: hoeveel is $\frac{12}{8}$ ? 1.5
7.
Twee driehoeken zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $k = 3$ . De kleinste heeft een oppervlakte van $5$ cm². Wat is de oppervlakte van de grootste?
1. a)45 cm²
2. b)30 cm²
3. c)15 cm²
4. d)9 cm²
Antwoord: 45 cm²
De oppervlakteverhouding is $k^2 = 3^2 = 9$ , dus de oppervlakte is $5 \cdot 9 = 45$ cm². $15$ cm² zou de fout zijn om $k$ te gebruiken in plaats van $k^2$ .
8.
Twee gelijkvormige driehoeken hebben vergrotingsfactor $k = 2{,}5$ van de kleinste naar de grootste. De kleinste driehoek heeft een omtrek van $18$ cm. Wat is de omtrek van de grootste driehoek in cm?
Antwoord: 45
Omtrekken groeien met dezelfde factor als de zijden: $18 \cdot 2{,}5 = 45$ cm.
9.
$\triangle ABC$ : $AB = 3$ , $AC = 5$ , $\angle A = 120°$ , $BC = 7$ . $\triangle DEF$ : $DE = 9$ , $DF = 15$ , $\angle D = 120°$ . Laat zien dat de driehoeken gelijkvormig zijn en bereken $EF$ .
Antwoord: 21
1. Hoeveel is $\frac{DE}{AB}$ ? 3
2. Hoeveel is $\frac{DF}{AC}$ ? 3
3. Is $\angle A$ de ingesloten hoek van $AB$ en $AC$ ? Typ 1 voor ja of 0 voor nee. 1
4. De driehoeken zijn gelijkvormig volgens ZHZ met $k = 3$ . Hoeveel is $EF = 3 \cdot BC$ ? 21
10.
$\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $AC = 9$ , $\angle A = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $DF = 12$ , $\angle D = 40°$ . Wat kun je concluderen?
1. a)Te weinig gegevens
2. b)Gelijkvormig volgens ZZZ-gelijkvormigheid, $k = \frac{4}{3}$
3. c)Gelijkvormig volgens ZHZ-gelijkvormigheid, $k = \frac{4}{3}$
4. d)Niet gelijkvormig, de verhoudingen van de zijden zijn verschillend
Antwoord: Gelijkvormig volgens ZHZ-gelijkvormigheid, $k = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ en $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ , en de hoeken van $40°$ liggen tussen deze zijden. Dus de driehoeken zijn gelijkvormig volgens ZHZ-gelijkvormigheid met $k = \frac{4}{3}$ . ZZZ kan niet, want de derde zijden zijn niet gegeven.
11.
$\triangle ABC$ heeft zijden $6$ , $8$ , $10$ . Een gelijkvormige driehoek heeft zijden $9$ , $12$ en $x$ , waarbij $x$ de langste zijde is. Bereken $x$ .
Antwoord: 15
$k = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ , dus $x = 10 \cdot 1{,}5 = 15$ .
12.
De driehoeken met zijden $4$ , $6$ , $9$ en $6$ , $x$ , $13{,}5$ zijn gelijkvormig (zijden van kortste naar langste). Bereken $x$ .
Antwoord: 9
1. Hoe groot is $k$ uit de kortste zijden, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
2. Controleer met de langste zijden: hoeveel is $\frac{13{,}5}{9}$ ? 1.5
3. Hoe lang is de middelste zijde $x = 6 \cdot k$ ? 9
13.
In $\triangle ABC$ ligt punt $D$ op $AB$ en punt $E$ op $AC$ . $AD = 3$ , $AB = 9$ , $AE = 4$ , $AC = 12$ en $DE = 5$ . Bereken $BC$ .
Antwoord: 15
1. Hoeveel is $\frac{AD}{AB}$ ? Schrijf het als breuk. 1/3
2. Hoeveel is $\frac{AE}{AC}$ ? Schrijf het als breuk. 1/3
3. Volgens ZHZ geldt $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . Wat is de vergrotingsfactor van $\triangle ADE$ naar $\triangle ABC$ ? 3
4. Hoeveel is $BC = 3 \cdot DE$ ? 15
14.
$\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $\angle C = 30°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $EF = 12$ , $\angle F = 30°$ . Zijn de driehoeken gelijkvormig?
1. a)Ja, volgens ZHZ-gelijkvormigheid
2. b)Nee, de verhoudingen van de zijden zijn verschillend
3. c)Niet te beslissen: de hoek ligt niet tussen de twee gegeven zijden
4. d)Ja, volgens ZZZ-gelijkvormigheid
Antwoord: Niet te beslissen: de hoek ligt niet tussen de twee gegeven zijden
Beide verhoudingen zijn $2$ , maar de hoek tussen $AB$ en $BC$ is $\angle B$ , niet $\angle C$ . Twee zijden en een niet-ingesloten hoek (ZZH) leggen de vorm niet vast: hier kan $\angle A$ ongeveer $49°$ of ongeveer $131°$ zijn. ZHZ-gelijkvormigheid geldt dus niet en je kunt het niet beslissen.
15.
$\triangle ABC$ : $AB = 8$ , $BC = 12$ , $\angle B = 55°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 6$ , $EF = x$ , $\angle E = 55°$ . Voor welke waarde van $x$ zijn de driehoeken gelijkvormig volgens ZHZ-gelijkvormigheid (met $AB \leftrightarrow DE$ en $BC \leftrightarrow EF$ )?
Antwoord: 9
$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = 0{,}75$ . De ingesloten hoeken $B$ en $E$ zijn gelijk, dus moet $\frac{x}{12} = 0{,}75$ , dat geeft $x = 9$ .
16.
$\triangle ABC$ heeft zijden $5$ , $12$ , $13$ en een rechte hoek tussen de zijden $5$ en $12$ . Een gelijkvormige driehoek $\triangle DEF$ heeft als kortste zijde $15$ . Bereken de omtrek en daarna de oppervlakte van $\triangle DEF$ .
Antwoord: 270
1. Wat is de vergrotingsfactor $k$ van $\triangle ABC$ naar $\triangle DEF$ ? 3
2. Wat is de omtrek van $\triangle ABC$ ? 30
3. Wat is de omtrek van $\triangle DEF$ ? 90
4. Wat is de oppervlakte van $\triangle ABC$ ? (De rechthoekszijden $5$ en $12$ zijn basis en hoogte.) 30
5. Wat is de oppervlakte van $\triangle DEF$ ? 270
17.
In $\triangle ABC$ ligt punt $D$ op $AB$ en punt $E$ op $AC$ . $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ , $EC = 6$ en $DE = 12$ . Laat zien dat $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ en bereken $BC$ .
Antwoord: 20
1. Hoe lang is de hele zijde $AB$ ? 10
2. Hoe lang is de hele zijde $AC$ ? 15
3. Hoeveel is $\frac{AD}{AB}$ als kommagetal? 0.6
4. Hoeveel is $\frac{AE}{AC}$ als kommagetal? 0.6
5. Dezelfde verhouding en gemeenschappelijke hoek $A$ : ZHZ. Hoeveel is $BC = \frac{DE}{0{,}6}$ ? 20
18.
Twee gelijkvormige driehoeken hebben oppervlaktes van $20$ cm² en $45$ cm². De kortste zijde van de kleinste driehoek is $4$ cm. Hoe lang is de kortste zijde van de grootste driehoek in cm?
Antwoord: 6
1. Hoe groot is de oppervlakteverhouding $\frac{45}{20}$ ? 2.25
2. De oppervlakteverhouding is $k^2$ . Hoe groot is $k$ ? 1.5
3. Hoe lang is de kortste zijde van de grootste driehoek, $4 \cdot k$ ? 6