Docentenhandleiding: ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid

Bewijs dat driehoeken gelijkvormig zijn met de verhoudingen van de zijden (ZZZ) of met twee verhoudingen en de ingesloten hoek (ZHZ), en gebruik de vergrotingsfactor.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Congruentie & Gelijkvormigheid. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De kenmerken ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid formuleren en ermee bewijzen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn
Overeenkomstige zijden goed koppelen door ze op volgorde van kortste naar langste te zetten
De vergrotingsfactor bepalen en daarmee ontbrekende zijdelengtes berekenen
De omtrekverhouding $k$ en de oppervlakteverhouding $k^2$ van gelijkvormige driehoeken gebruiken
Beslissen of AA-, ZZZ- of ZHZ-gelijkvormigheid geldt, ook bij geneste driehoeken met een gemeenschappelijke hoek

Vereisten

• Inleiding tot gelijkvormigheid: gelijkvormige figuren en de vergrotingsfactor
• AA-Gelijkvormigheid: met twee paren hoeken bewijzen dat driehoeken gelijkvormig zijn
• ZZZ-congruentie en ZHZ-congruentie: gelijke zijden en de ingesloten hoek
• Verhoudingen vereenvoudigen en eenvoudige verhoudingsvergelijkingen oplossen

Discussiestarters

1. Waarom zijn drie verhoudingen van zijden genoeg om gelijkvormigheid te bewijzen, terwijl drie hoeken niets over de grootte zeggen?
2. ZZZ-congruentie en ZZZ-gelijkvormigheid hebben dezelfde naam. Wat is hetzelfde en wat is anders?
3. Als je elke zijde van een driehoek verdubbelt, waarom verdubbelt de oppervlakte dan niet gewoon?
4. Kun je twee verschillende driehoeken tekenen met twee zijden van $4$ en $6$ en een hoek van $30°$ die niet tussen die zijden ligt?

Veelvoorkomende misvattingen

De zijden koppelen in de volgorde waarin ze in de opgave staan

Herstel: Laat leerlingen voor elke ZZZ-controle de zijden van beide driehoeken opnieuw opschrijven van kortste naar langste, en laat het voorbeeld $4, 6, 8$ tegenover $12, 9, 6$ zien, waar de gegeven volgorde drie verschillende verhoudingen oplevert.

Elke hoek plus twee evenredige zijden is ZHZ

Herstel: Laat leerlingen met dezelfde twee zijden en een niet-ingesloten hoek twee verschillende driehoeken bouwen (met rietjes of meetkundesoftware). Benadruk het woord ingesloten: de hoek moet tussen de twee zijden liggen.

De oppervlakte groeit net als de zijden met $k$

Herstel: Teken een driehoek op ruitjespapier, vergroot hem met $k = 2$ en tel de hokjes: de oppervlakte is $4$ keer zo groot. Herhaal met $k = 3$ en kom uit op $9$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef de lengtes al op volgorde en met gehele vergrotingsfactoren
• Gebruik bij elke ZZZ-controle een verhoudingstabel met drie kolommen (kort, middel, lang)
• Kleur bij ZHZ-opgaven de ingesloten hoek en zijn twee zijden

Voor leerlingen op niveau:

• Meng ZZZ-, ZHZ- en AA-opgaven en laat eerst het kenmerk noemen
• Bereken ontbrekende zijden in geneste driehoeken met een gemeenschappelijke hoek
• Gebruik de omtrekverhouding en de oppervlakteverhouding in contextopgaven

Voor gevorderde leerlingen:

• Bepaal de vergrotingsfactor uit een oppervlakteverhouding, bijvoorbeeld $k = \sqrt{\frac{75}{12}} = 2{,}5$
• Bewijs dat een lijn evenwijdig aan een zijde van een driehoek een gelijkvormige driehoek afsnijdt, eerst met AA en daarna met ZHZ
• Onderzoek wanneer ZZH de vorm toch vastlegt (hoek tegenover de langere zijde)

Standaarduitlijning

HSG.SRT.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.A.2)
Met de definitie van gelijkvormigheid via transformaties beslissen of twee figuren gelijkvormig zijn
HSG.SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Congruentie- en gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken gebruiken om problemen op te lossen en verbanden in meetkundige figuren te bewijzen
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Problemen met schaaltekeningen van meetkundige figuren oplossen, inclusief het berekenen van werkelijke lengtes en oppervlaktes

Lesbronnen

visualGelijkvormig driehoekspaar
Leerlingen veranderen de vergrotingsfactor met de schuifregelaar en wisselen tussen AA, ZZZ en ZHZ om te zien welke delen elk kenmerk markeert
activityDriehoeken van rietjes
Groepjes knippen rietjes van 4, 6, 8 en 6, 9, 12 (in cm), bouwen beide driehoeken en controleren of de hoeken gelijk zijn
worksheetWelk kenmerk?
Twaalf driehoeksparen met gegevens: leerlingen kiezen AA, ZZZ, ZHZ of te weinig gegevens en bepalen daarna de vergrotingsfactor

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Bij AA-gelijkvormigheid bewees je met alleen hoeken dat driehoeken gelijkvormig zijn. Nu doe je het met zijden. Weet je nog: gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde vorm en hun overeenkomstige zijden staan in dezelfde verhouding, de vergrotingsfactor

k

ZZZ-gelijkvormigheid (Zijde-Zijde-Zijde): als alle drie paren overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan, zijn de driehoeken gelijkvormig.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

ZHZ-gelijkvormigheid (Zijde-Hoek-Zijde): als twee paren overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan en de ingesloten hoek (de hoek tussen die twee zijden) even groot is, zijn de driehoeken gelijkvormig.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ en } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Zo koppel je de zijden: als je alleen de lengtes kent, zet je de zijden van elke driehoek op volgorde van kortste naar langste en koppel je ze in die volgorde: kortste met kortste, middelste met middelste, langste met langste.

Zodra je weet dat de driehoeken gelijkvormig zijn:

is elke zijde van het beeld $k$ keer de overeenkomstige zijde
is de omtrekverhouding $k$
is de oppervlakteverhouding $k^2$

Vergelijk met congruentie: ZZZ- en ZHZ-congruentie vragen gelijke zijden (

k = 1

), ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid alleen evenredige zijden.

Uitgewerkte voorbeelden

\triangle ABC

heeft zijden

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

heeft zijden

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. Zijn de driehoeken gelijkvormig?

Zet de zijden van elke driehoek op volgorde van kortste naar langste

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Paren:

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Deel elke zijde van $\triangle DEF$ door de overeenkomstige zijde van $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Alle drie verhoudingen zijn

1{,}5

Pas ZZZ-gelijkvormigheid toe

Drie gelijke verhoudingen, dus de zijden zijn evenredig →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Antwoord: Ja, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ volgens ZZZ-gelijkvormigheid met vergrotingsfactor $k = 1{,}5$ .

Veelgemaakte fouten

De zijden koppelen in de volgorde waarin ze staan, bijvoorbeeld $4, 6, 8$ met $12, 9, 6$ , en de verhoudingen $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$ krijgen

Waarom het fout is: De volgorde waarin de lengtes zijn opgeschreven zegt niets over welke zijden overeenkomen. Verkeerde paren geven verschillende verhoudingen, zelfs bij gelijkvormige driehoeken.

Correct: Zet eerst beide driehoeken op volgorde van kortste naar langste zijde: $4, 6, 8$ en $6, 9, 12$ . Dan zijn alle verhoudingen $1{,}5$ .

ZHZ gebruiken met een hoek die niet tussen de twee zijden ligt

Waarom het fout is: Twee evenredige zijden en een niet-ingesloten hoek (ZZH) leggen de vorm niet vast: twee verschillende driehoeken kunnen dezelfde twee zijden en dezelfde hoek tegenover een van die zijden hebben.

Correct: Controleer dat de gelijke hoek precies gevormd wordt door de twee zijden die je hebt vergeleken. Anders geldt ZHZ-gelijkvormigheid niet.

Denken dat de oppervlakteverhouding ook $k$ is

Waarom het fout is: Oppervlakte is lengte keer lengte, dus beide factoren worden $k$ keer zo groot: de oppervlakte wordt $k \cdot k = k^2$ keer zo groot.

Correct: Omtrekverhouding $= k$ , oppervlakteverhouding $= k^2$ . Bij $k = 3$ is de oppervlakte $9$ keer zo groot, niet $3$ keer.

Bij het ene paar groot door klein delen en bij het andere klein door groot, bijvoorbeeld $\frac{6}{4} = 1{,}5$ maar $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Waarom het fout is: Dan lijken de verhoudingen verschillend, terwijl de zijden toch evenredig zijn.

Correct: Deel altijd in dezelfde richting: zijde van het beeld gedeeld door zijde van het origineel (of bij elk paar andersom).

Waarom het belangrijk is

Lengtes zijn vaak makkelijker te meten dan hoeken, en dan heb je precies ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid nodig:

Landmeten: om de breedte van een meer te bepalen dat je niet kunt oversteken, zetten landmeters een kleine driehoek uit die een hoek deelt met een grote driehoek en gebruiken ze ZHZ-gelijkvormigheid
Techniek: een model van een dakspant of een brug wordt gebouwd met alle lengtes vermenigvuldigd met dezelfde factor, zodat het precies dezelfde vorm heeft als het echte bouwwerk
Drukwerk en ontwerp: als een logo wordt vergroot, wordt elke lengte met $k$ vermenigvuldigd, maar de benodigde inkt of het materiaal met $k^2$
Een tekening controleren: een timmerman kan controleren of een driehoekig frame bij de tekening past door drie lengteverhoudingen te vergelijken, zonder geodriehoek

Weten dat de oppervlakte met

k^2

groeit (niet met

k

) voorkomt ook dure fouten, zoals maar twee keer zoveel verf kopen voor een muur die twee keer zo breed en twee keer zo hoog is.

Toepassingen in de echte wereld

Een logo vergroten

Ontwerpers vergroten logo's zo dat elke lengte met dezelfde vergrotingsfactor groeit. De vergrote driehoek is volgens ZZZ-gelijkvormigheid gelijkvormig met het origineel, dus hij houdt precies dezelfde vorm.

Voorbeeld:

Een driehoekig logo met zijden van $2$ cm, $3$ cm en $4$ cm wordt met $k = 5$ op een poster gedrukt: de zijden worden $10$ cm, $15$ cm en $20$ cm.

1Probeer het zelf

Een driehoekig logo heeft zijden van $3$ cm, $4$ cm en $6$ cm. Op een spandoek moet de kortste zijde $7{,}5$ cm zijn, en het logo moet zijn vorm houden.

Hoe lang is de langste zijde van het logo op het spandoek (in cm)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de langste zijde met de vergrotingsfactor:

De breedte van een meer meten

Landmeters kunnen geen meetlint over het water spannen. Ze markeren twee punten op lijnen die vanuit een hoekpunt vertrekken en gebruiken de kleine driehoek die de hoek bij dat hoekpunt deelt met de grote.

Voorbeeld:

Vanuit punt $A$ lopen twee rechte paden langs het meer. Een kleine driehoek waarvan de zijden langs beide paden $\frac{1}{4}$ zo lang zijn als bij de grote deelt de hoek bij $A$ , dus het meer is $4$ keer zo breed als de korte afstand die op het land wordt gemeten.

2Probeer het zelf

Vanuit punt $A$ geldt langs het ene pad $AD = 20$ m en $AB = 60$ m, langs het andere $AE = 25$ m en $AC = 75$ m. $B$ en $C$ liggen aan tegenovergestelde oevers van het meer. Op het land meet je $DE = 18$ m.

Hoe breed is het meer, dus de afstand $BC$ (in m)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de gemeten afstand $DE$ met de vergrotingsfactor:

Zeildoek voor een groter zeil

Zeilmakers maken beproefde zeilontwerpen groter of kleiner. Het nieuwe zeil is gelijkvormig met het oude, maar het benodigde zeildoek groeit met de oppervlakteverhouding $k^2$, niet met $k$.

Voorbeeld:

Een zeil dat aan elke zijde $1{,}5$ keer zo lang is, heeft $1{,}5^2 = 2{,}25$ keer zoveel zeildoek nodig.

3Probeer het zelf

Een klein driehoekig zeil heeft zijden van $3$ m, $4$ m en $5$ m en een oppervlakte van $6$ m². Een nieuw zeil heeft zijden van $6$ m, $8$ m en $10$ m.

Hoeveel zeildoek (in m²) heeft het nieuwe zeil nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de oude oppervlakte met de oppervlakteverhouding:

Belangrijke punten

1ZZZ-gelijkvormigheid: als alle drie paren overeenkomstige zijden dezelfde verhouding $k$ hebben, zijn de driehoeken gelijkvormig
2ZHZ-gelijkvormigheid: twee paren zijden met dezelfde verhouding $k$ en een gelijke ingesloten hoek maken de driehoeken gelijkvormig
3Als alleen lengtes gegeven zijn, zet je de zijden op volgorde van kortste naar langste en koppel je ze in die volgorde
4De vergrotingsfactor $k$ is zijde van het beeld gedeeld door zijde van het origineel; elke ontbrekende zijde is $k$ keer haar partner
5Omtrekverhouding $= k$ , oppervlakteverhouding $= k^2$
6Kies het kenmerk op basis van de gegevens: twee hoeken betekent AA, drie zijden betekent ZZZ, twee zijden en de hoek ertussen betekent ZHZ

Veelgestelde vragen

Wat is het verschil tussen ZZZ-gelijkvormigheid en ZZZ-congruentie?

ZZZ-congruentie vraagt drie paren gelijke zijden. ZZZ-gelijkvormigheid vraagt alleen drie paren zijden in dezelfde verhouding. Congruentie is het speciale geval

k = 1

Waarom moet de hoek bij ZHZ de ingesloten hoek zijn?

De twee zijden en de hoek ertussen leggen de vorm helemaal vast. Ligt de hoek ergens anders (ZZH), dan passen twee verschillende driehoeken bij dezelfde gegevens, en kun je niet concluderen dat de driehoeken gelijkvormig zijn.

Wanneer gebruik ik AA, ZZZ of ZHZ?

Kijk wat er gegeven is. Twee paren gelijke hoeken: AA. Drie paren zijdelengtes: ZZZ. Twee paren zijdelengtes en de hoek ertussen: ZHZ. Bij geneste driehoeken krijg je door een gemeenschappelijke hoek vaak gratis de hoek voor AA of ZHZ.

Maakt het uit door welke driehoek ik deel?

Alleen voor de waarde van

k

. Groot gedeeld door klein geeft

k > 1

(vergroting), klein gedeeld door groot geeft

k < 1

(verkleining). Allebei werken, zolang je bij elk paar in dezelfde richting deelt.

Woordenlijst

ZZZ-gelijkvormigheid: Als alle drie paren overeenkomstige zijden van twee driehoeken in dezelfde verhouding staan, zijn de driehoeken gelijkvormig
ZHZ-gelijkvormigheid: Als twee paren overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan en de ingesloten hoeken gelijk zijn, zijn de driehoeken gelijkvormig
Ingesloten hoek: De hoek die twee gegeven zijden van een driehoek vormen in het hoekpunt waar ze samenkomen
Vergrotingsfactor: De verhouding $k$ tussen een zijde van de ene figuur en de overeenkomstige zijde van een gelijkvormige figuur
Overeenkomstige zijden: Zijden die op dezelfde plaats liggen in twee gelijkvormige of congruente figuren
Oppervlakteverhouding: De verhouding tussen de oppervlaktes van twee gelijkvormige figuren, gelijk aan $k^2$

Formulekaart

ZZZ-gelijkvormigheid

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Alle drie verhoudingen van de zijden zijn gelijk (zijden op volgorde van kortste naar langste)

ZHZ-gelijkvormigheid

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Twee verhoudingen van de zijden zijn gelijk en de ingesloten hoeken zijn gelijk

Omtrekverhouding

\frac{O_2}{O_1} = k

Omtrekken groeien met dezelfde factor als de zijden

Oppervlakteverhouding

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Oppervlaktes groeien met het kwadraat van de vergrotingsfactor

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: ZZZ- en ZHZ-gelijkvormigheid

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Een logo vergroten

De breedte van een meer meten

Zeildoek voor een groter zeil

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

ZZZ-gelijkvormigheid

ZHZ-gelijkvormigheid

Omtrekverhouding

Oppervlakteverhouding

Meer over dit onderwerp

Introductie tot congruentie

Inleiding tot gelijkvormigheid

Congruente Driehoeken

AA-Gelijkvormigheid