Symmetrie in veelhoeken

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke figuur heeft precies $2$ symmetrieassen en draaisymmetrie van orde $2$ ?
1. a)Vlieger
2. b)Regelmatige zeshoek
3. c)Rechthoek
4. d)Vierkant
Antwoord: Rechthoek
Een rechthoek heeft $2$ symmetrieassen (door de middens van overstaande zijden) en orde $2$ . Een vierkant heeft $4$ en $4$ , een vlieger $1$ en $1$ , een regelmatige zeshoek $6$ en $6$ .
2.
Welke figuur is puntsymmetrisch?
1. a)Gelijkzijdige driehoek
2. b)Gelijkbenig trapezium
3. c)Vlieger
4. d)Parallellogram
Antwoord: Parallellogram
Een parallellogram past na een halve draai om het snijpunt van de diagonalen op zichzelf: orde $2$ , dus puntsymmetrisch. De gelijkzijdige driehoek heeft orde $3$ (oneven), de vlieger en het gelijkbenig trapezium orde $1$ .
3.
Waar lopen de symmetrieassen van een regelmatige vijfhoek?
1. a)Een regelmatige vijfhoek heeft geen symmetrieassen
2. b)Elke door de middens van twee overstaande zijden
3. c)Elke door twee overstaande hoekpunten
4. d)Elke door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde
Antwoord: Elke door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde
Een regelmatige vijfhoek heeft $5$ symmetrieassen. Omdat $5$ oneven is, gaat elke as door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Er zijn geen paren overstaande hoekpunten en geen paren overstaande zijden.
4.
Welke figuur heeft draaisymmetrie maar geen symmetrieas?
1. a)Vlieger
2. b)Rechthoek
3. c)Parallellogram (geen rechthoek of ruit)
4. d)Gelijkbenige driehoek
Antwoord: Parallellogram (geen rechthoek of ruit)
Een parallellogram (geen rechthoek of ruit) heeft orde $2$ maar $0$ symmetrieassen. De vlieger en de gelijkbenige driehoek hebben $1$ as en orde $1$ , de rechthoek heeft $2$ assen en orde $2$ .
5.
Welke uitspraak is altijd waar?
1. a)Elke puntsymmetrische veelhoek heeft minstens één symmetrieas
2. b)Een figuur met draaisymmetrie van orde $3$ is puntsymmetrisch
3. c)Een regelmatige veelhoek met $n$ zijden heeft draaisymmetrie van orde $n$
4. d)Een vlieger heeft draaisymmetrie van orde $2$
Antwoord: Een regelmatige veelhoek met $n$ zijden heeft draaisymmetrie van orde $n$
Een regelmatige veelhoek met $n$ zijden past na elke draaiing van $\frac{360°}{n}$ op zichzelf, dus zijn orde is $n$ . De andere zijn onwaar: een parallellogram is puntsymmetrisch maar heeft geen as; orde $3$ is oneven, een halve draai past niet; een vlieger heeft orde $1$ .
6.
Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige zeshoek?
Antwoord: 6
Een regelmatige zeshoek heeft $6$ symmetrieassen: $3$ door overstaande hoekpunten en $3$ door de middens van overstaande zijden.
7.
Wat is de kleinste draaihoek van een gelijkzijdige driehoek, in graden?
Antwoord: 120
Een gelijkzijdige driehoek heeft orde $3$ , dus de kleinste hoek is $\frac{360°}{3} = 120°$ .
8.
Wat is de orde van draaisymmetrie van een ruit die geen vierkant is?
Antwoord: 2
Na $90°$ zou de lange diagonaal op de korte liggen, dat past niet. Na $180°$ past het, na $360°$ weer: orde $2$ .
9.
Een regelmatige veelhoek past na een draaiing van $30°$ op zichzelf, en geen kleinere draaiing past. Hoeveel symmetrieassen heeft hij?
Antwoord: 12
De orde is $\frac{360°}{30°} = 12$ , dus het is een regelmatige twaalfhoek met $12$ zijden en $12$ symmetrieassen.
10.
Een regelmatige tienhoek heeft $10$ symmetrieassen. Hoeveel daarvan gaan door twee overstaande hoekpunten?
Antwoord: 5
$10$ hoekpunten vormen $\frac{10}{2} = 5$ paren overstaande hoekpunten, dus $5$ assen gaan door twee hoekpunten. De andere $5$ gaan door de middens van overstaande zijden.
11.
Beschrijf de symmetrie van een gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is.
Antwoord: 1
1. Hoeveel symmetrieassen heeft hij? 1
2. Wat is de orde van draaisymmetrie? 1
12.
Bepaal de symmetrie van een regelmatige vijfhoek.
Antwoord: 72°
1. Hoeveel symmetrieassen? 5
2. Wat is de orde van draaisymmetrie? 5
3. Wat is de kleinste draaihoek in graden? 72
13.
Een rechthoek is $8$ cm bij $5$ cm. Bepaal zijn symmetrie.
Antwoord: 180°
1. Hoeveel symmetrieassen? 2
2. Wat is de orde van draaisymmetrie? 2
3. Wat is de kleinste draaihoek in graden? 180
14.
Beschrijf de symmetrieassen en de draaisymmetrie van een regelmatige twaalfhoek ( $12$ zijden).
Antwoord: 30°
1. Hoeveel assen gaan door twee overstaande hoekpunten? 6
2. Hoeveel assen gaan door de middens van twee overstaande zijden? 6
3. Hoeveel symmetrieassen in totaal? 12
4. Wat is de kleinste draaihoek in graden? 30
15.
Onderzoek de symmetrie van een vlieger (die geen ruit is).
Antwoord: 0
1. Hoeveel symmetrieassen heeft de vlieger? 1
2. Wat is de orde van draaisymmetrie? 1
3. Is hij puntsymmetrisch? Typ $1$ voor ja, $0$ voor nee. 0
16.
Een regelmatige zeshoek wordt $240°$ om zijn middelpunt gedraaid. Met hoeveel kleinste draaistappen komt dat overeen?
Antwoord: 4
1. Wat is de orde van draaisymmetrie van een regelmatige zeshoek? 6
2. Wat is de kleinste draaihoek in graden? 60
3. Hoeveel kleinste stappen maken $240°$ ? 4
17.
Elke binnenhoek van een regelmatige veelhoek is $140°$ . Bepaal het aantal symmetrieassen en de kleinste draaihoek.
Antwoord: 40°
1. Hoe groot is elke buitenhoek in graden? 40
2. Hoeveel zijden heeft de veelhoek? 9
3. Hoeveel symmetrieassen heeft hij? 9
4. Wat is de kleinste draaihoek in graden? 40
18.
Alle symmetrieassen van een regelmatige vijfhoek gaan door het middelpunt. Hoe groot is de hoek tussen twee naburige assen?
Antwoord: 36°
1. Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige vijfhoek? 5
2. Elke as geeft twee halve lijnen vanuit het middelpunt. Hoeveel halve lijnen zijn er? 10
3. Hoe groot is de hoek tussen naburige halve lijnen in graden? 36