Docentenhandleiding: Symmetrie in veelhoeken

Vind de symmetrieassen en de draaisymmetrie van veelhoeken: vouwtest, orde van draaisymmetrie, kleinste draaihoek en puntsymmetrie.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Polygonen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Symmetrieassen van veelhoeken herkennen en tellen met de vouwtest
De orde van draaisymmetrie en de kleinste draaihoek bepalen
Puntsymmetrie herkennen als draaisymmetrie met een halve draai
De symmetrieassen van regelmatige veelhoeken met een oneven of even aantal zijden beschrijven
De symmetrie van de bijzondere vierhoeken en driehoeken vergelijken

Vereisten

• Veelhoeken benoemen naar hun aantal zijden (Introductie tot veelhoeken, Polygonen classificeren)
• Eigenschappen van regelmatige veelhoeken: gelijke zijden en gelijke hoeken (Regelmatige veelhoeken)
• Buitenhoeken van regelmatige veelhoeken: $\frac{360°}{n}$ (Buitenhoeken van veelhoeken)
• Soorten vierhoeken en driehoeken

Discussiestarters

1. Waarom heeft een rechthoek maar 2 symmetrieassen terwijl een vierkant er 4 heeft?
2. Kun je een figuur tekenen met draaisymmetrie maar zonder symmetrieas?
3. Waarom denk je dat stopborden en borden „voorrang verlenen” zulke symmetrische vormen hebben?
4. Zoek een logo dat er na een draaiing hetzelfde uitziet. Wat is zijn orde?
5. Waarom heeft een regelmatige vijfhoek geen as die twee van zijn hoekpunten verbindt?

Veelvoorkomende misvattingen

Elke lijn die een figuur in twee gelijke delen snijdt, is een symmetrieas

Herstel: Knip een papieren rechthoek langs een diagonaal: de twee driehoeken zijn gelijk, maar als je langs de diagonaal vouwt, passen ze niet op elkaar. De helften moeten spiegelbeelden zijn.

Een figuur zonder draaisymmetrie heeft orde 0

Herstel: Draai een uitgeknipte figuur een volle $360°$ : ze past altijd weer. Het kleinst mogelijke aantal is dus $1$ , en met orde $1$ zeggen we dat er geen draaisymmetrie is.

Draaisymmetrie komt altijd samen met symmetrieassen voor

Herstel: Trek een parallellogram over, draai het calqueerpapier $180°$ en laat zien dat het past, probeer daarna elke vouw. Orde $2$ , nul assen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Eerst met papieren figuren en echt vouwen werken, daarna de interactieve visual
• Alleen met het vierkant, de rechthoek en de gelijkzijdige driehoek beginnen
• Calqueerpapier geven zodat leerlingen de figuur kunnen draaien en zien wanneer ze past

Voor leerlingen op niveau:

• De symmetrietabel invullen voor alle bijzondere vierhoeken en driehoeken
• De kleinste draaihoek berekenen van regelmatige veelhoeken met 3 tot 12 zijden
• Vanuit een draaihoek terugrekenen naar het aantal zijden

Voor gevorderde leerlingen:

• Uitleggen waarom een veelhoek met minstens één symmetrieas een orde heeft die gelijk is aan zijn aantal assen
• De hoek tussen naburige symmetrieassen van een regelmatige $n$ -hoek vinden ( $\frac{180°}{n}$ )
• Een logo ontwerpen met orde 4 en zonder symmetrieassen

Standaarduitlijning

4.G.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.4.G.A.3)
Een symmetrieas van een vlakke figuur herkennen als een lijn waarlangs de figuur in passende delen kan worden gevouwen
HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)
Voor een rechthoek, parallellogram, trapezium of regelmatige veelhoek de draaiingen en spiegelingen beschrijven die de figuur op zichzelf afbeelden

Lesbronnen

visualSymmetrieverkenner
Leerlingen kiezen een figuur, tonen de symmetrieassen en draaien de figuur stap voor stap om de orde te vinden
activityVouwen en draaien
Leerlingen knippen papieren veelhoeken uit, vouwen ze om symmetrieassen te vinden en trekken ze over om draaiingen te testen
worksheetSymmetrietabel
Symmetrieassen, orde en kleinste hoek invullen voor vierhoeken, driehoeken en regelmatige veelhoeken

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een veelhoek heeft symmetrie als een beweging (vouwen of draaien) hem precies weer op zichzelf legt.

1. Lijnsymmetrie

Een symmetrieas verdeelt een figuur in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn. Vouwtest: als je de figuur langs de lijn vouwt en de twee helften precies op elkaar passen, is de lijn een symmetrieas.

2. Draaisymmetrie

Een figuur heeft draaisymmetrie als ze er na een draaiing van minder dan

360°

om haar middelpunt precies hetzelfde uitziet.

De orde van draaisymmetrie is hoe vaak de figuur tijdens één volledige draai op zichzelf past (de volledige draai telt mee).
Orde 1 betekent dat de figuur pas na de volledige draai van $360°$ past: ze heeft geen draaisymmetrie.
De kleinste draaihoek is

\text{kleinste hoek} = \frac{360°}{\text{orde}}

3. Puntsymmetrie

Een figuur is puntsymmetrisch als een halve draai (

180°

) om haar middelpunt haar weer op zichzelf legt. Dat is draaisymmetrie met een even orde (2, 4, 6, ...).

Regelmatige veelhoeken: een regelmatige veelhoek met

n

zijden heeft precies

n

symmetrieassen en draaisymmetrie van orde

n

, dus zijn kleinste draaihoek is

\frac{360°}{n}

$n$ oneven (driehoek, vijfhoek): elke as gaat door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.
$n$ even (vierkant, zeshoek): $\frac{n}{2}$ assen gaan door twee overstaande hoekpunten en $\frac{n}{2}$ assen door de middens van twee overstaande zijden.

Figuur	Symmetrieassen	Orde van draaisymmetrie
Vierkant	4	4
Rechthoek	2	2
Ruit	2	2
Parallellogram	0	2
Vlieger	1	1
Gelijkbenig trapezium	1	1
Gelijkzijdige driehoek	3	3
Gelijkbenige driehoek	1	1
Ongelijkzijdige driehoek	0	1

Uitgewerkte voorbeelden

Een rechthoek is

6

cm bij

4

cm. Hoeveel symmetrieassen heeft hij?

Vouw hem van boven naar beneden

De vouwlijn gaat door de middens van de twee korte zijden. Beide helften zijn

6

cm bij

2

cm en passen op elkaar. → 1 symmetrieas

Vouw hem van links naar rechts

De vouwlijn gaat door de middens van de twee lange zijden. Beide helften zijn

3

cm bij

4

cm en passen op elkaar. → 2e symmetrieas

Test een diagonaal

Bij het vouwen langs een diagonaal klapt een driehoek om, maar de hoekpunten vallen niet op elkaar omdat

6 \neq 4

. → Een diagonaal is GEEN symmetrieas

Antwoord: De rechthoek heeft $2$ symmetrieassen, allebei door de middens van overstaande zijden. De diagonalen zijn geen symmetrieassen.

Veelgemaakte fouten

De diagonalen van een rechthoek als symmetrieassen tellen

Waarom het fout is: Een diagonaal verdeelt de rechthoek in twee congruente driehoeken, maar dat is niet genoeg: de helften moeten elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de lijn.

Correct: Doe de vouwtest. Gevouwen langs een diagonaal vallen de hoekpunten van een rechthoek niet op elkaar, dus hij heeft maar $2$ symmetrieassen.

De hoek opschrijven in plaats van de orde (zeggen dat een vierkant orde $90$ heeft)

Waarom het fout is: De orde en de kleinste hoek zijn twee verschillende getallen die bij elkaar horen.

Correct: De orde telt hoe vaak de figuur in één volledige draai past ( $4$ bij een vierkant); de hoek is $\frac{360°}{\text{orde}} = 90°$ .

Denken dat elke figuur met draaisymmetrie ook lijnsymmetrie heeft

Waarom het fout is: Veel bekende symmetrische figuren hebben allebei, dus neemt men aan dat ze altijd samen voorkomen.

Correct: Een parallellogram heeft orde $2$ maar $0$ symmetrieassen. Controleer vouwen en draaien altijd apart.

Elke symmetrieas van een veelhoek met een even aantal zijden dubbel tellen

Waarom het fout is: Een as door twee overstaande hoekpunten raakt twee hoekpunten en wordt daarom aan beide uiteinden geteld.

Correct: Tel paren: een regelmatige zeshoek heeft $3$ assen door overstaande hoekpunten en $3$ door overstaande middens, $6$ in totaal.

Waarom het belangrijk is

Symmetrie is een van de eerste dingen die ons oog opmerkt, en ontwerpers gebruiken haar bewust:

Verkeersborden: een stopbord is een regelmatige achthoek met 8 symmetrieassen en orde 8, daarom ziet het er van elke kant goed uit.
Logo's: veel merklogo's hebben draaisymmetrie van orde 3 of 4, waardoor ze in balans lijken.
Natuur: sneeuwvlokken hebben 6 symmetrieassen en orde 6, bloemen vaak 5.
Wielen en wieldoppen: gelijke spaken op gelijke afstand geven draaisymmetrie, zodat het wiel in balans is als het draait.

Symmetrie is ook een kortere weg in de meetkunde: als je weet dat een figuur symmetrisch is, weet je welke zijden en hoeken gelijk zijn zonder ze te meten.

Toepassingen in de echte wereld

Verkeersborden

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Door zijn symmetrie herken je het makkelijk, ook schuin van opzij of als het een beetje gedraaid is.

Voorbeeld:

Het bord „voorrang verlenen” is een gelijkzijdige driehoek: $3$ symmetrieassen en orde $3$ , dus het past na $\frac{360°}{3} = 120°$ op zichzelf.

1Probeer het zelf

Een werkster monteert een stopbord (een regelmatige achthoek) op een paal die kan draaien. Ze wil het zo weinig mogelijk draaien zodat het er precies hetzelfde uitziet.

Hoeveel graden moet ze het draaien?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kleinste draaihoek van een regelmatige achthoek:

Wieldoppen en wielen

Wielontwerpers verdelen gelijke spaken op gelijke afstand. Dan heeft het wiel draaisymmetrie en blijft het in balans als het draait.

Voorbeeld:

Een wiel met $4$ gelijke spaken heeft orde $4$ : het ziet er na elke $\frac{360°}{4} = 90°$ hetzelfde uit.

2Probeer het zelf

Een wieldop ziet er na een draaiing van $72°$ precies hetzelfde uit, en $72°$ is de kleinste zulke draaiing.

Hoeveel gelijke spaken heeft de wieldop?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Orde van draaisymmetrie uit de kleinste hoek:

Sneeuwvlokken

IJskristallen groeien in zes richtingen, daarom heeft een sneeuwvlok $6$ symmetrieassen en draaisymmetrie van orde $6$, net als een regelmatige zeshoek.

Voorbeeld:

Een sneeuwvlok past na $\frac{360°}{6} = 60°$ op zichzelf, en omdat $6$ even is, is ze ook puntsymmetrisch.

3Probeer het zelf

Alle $6$ symmetrieassen van een sneeuwvlok gaan door haar middelpunt en liggen op gelijke afstand. Elke as gaat recht door het middelpunt heen en bestrijkt zo een halve draai ( $180°$ ) aan richtingen.

Hoe groot is de hoek tussen twee naburige symmetrieassen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Verdeel de halve draai over de 6 assen:

Belangrijke punten

1Een symmetrieas verdeelt een figuur in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn (vouwtest)
2De orde van draaisymmetrie telt hoe vaak een figuur in één volledige draai op zichzelf past; orde 1 betekent geen draaisymmetrie
3Kleinste draaihoek $= \frac{360°}{\text{orde}}$ , en orde $= \frac{360°}{\text{kleinste hoek}}$
4Puntsymmetrie betekent dat een halve draai ( $180°$ ) past: dat gebeurt precies als de orde even is
5Een regelmatige veelhoek met $n$ zijden heeft $n$ symmetrieassen en orde $n$
6Vierhoeken: vierkant 4 en 4, rechthoek en ruit 2 en 2, parallellogram 0 en 2, vlieger en gelijkbenig trapezium 1 en 1

Veelgestelde vragen

Waarom zeggen we orde 1 en niet orde 0?

Elke figuur past na een volledige draai van

360°

weer op zichzelf, dus het aantal is minstens

1

. Orde

1

betekent dat alleen die volledige draai past, met andere woorden: de figuur heeft geen draaisymmetrie.

Is puntsymmetrie hetzelfde als draaisymmetrie?

Puntsymmetrie is een speciaal geval van draaisymmetrie: een halve draai (

180°

) past. Figuren met orde

2

4

6

hebben het. Een gelijkzijdige driehoek (orde

3

) heeft draaisymmetrie maar is niet puntsymmetrisch.

Is het aantal assen altijd gelijk aan de orde?

Bij een veelhoek met minstens één symmetrieas wel: het vierkant heeft

4

4

, de vlieger

1

1

. Een veelhoek zonder assen kan toch draaisymmetrie hebben, zoals het parallellogram met orde

2

Hoeveel symmetrieassen heeft een cirkel?

Oneindig veel: elke lijn door het middelpunt is een symmetrieas, en een cirkel past na een draaiing over elke hoek op zichzelf. Een cirkel is geen veelhoek, daarom staat hij niet in de tabel.

Woordenlijst

Symmetrieas: Een lijn die een figuur verdeelt in twee helften die elkaars spiegelbeeld zijn.
Lijnsymmetrie: Een figuur heeft lijnsymmetrie als ze minstens één symmetrieas heeft.
Draaisymmetrie: Een figuur heeft draaisymmetrie als ze er na een draaiing van minder dan $360°$ om haar middelpunt hetzelfde uitziet.
Orde van draaisymmetrie: Hoe vaak een figuur tijdens één volledige draai op zichzelf past. Orde $1$ betekent geen draaisymmetrie.
Draaihoek: De hoek waarover een figuur gedraaid wordt. De kleinste die past is $\frac{360°}{\text{orde}}$ .
Puntsymmetrie: Een figuur is puntsymmetrisch als een halve draai ( $180°$ ) om haar middelpunt haar weer op zichzelf legt.

Formulekaart

Kleinste draaihoek

\text{hoek} = \frac{360°}{\text{orde}}

Deel de volledige draai door de orde van draaisymmetrie

Orde uit de hoek

\text{orde} = \frac{360°}{\text{hoek}}

Gebruik dit als je de kleinste passende draaiing kent

Regelmatige veelhoek met n zijden

n

symmetrieassen, orde

n

Oneven $n$: elke as door een hoekpunt en het overstaande midden; even $n$: de helft door hoekpunten, de helft door middens

Puntsymmetrie

\text{orde is even}

Een halve draai van $180°$ past precies als de orde 2, 4, 6, ... is

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Symmetrie in veelhoeken

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Verkeersborden

Wieldoppen en wielen

Sneeuwvlokken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Kleinste draaihoek

Orde uit de hoek

Regelmatige veelhoek met n zijden

Puntsymmetrie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot veelhoeken

Diagonalen van veelhoeken

Polygonen classificeren

Formule voor de hoeksom van veelhoeken