Mag ik gewoon overal haakjes zetten?

Ja. Haakjes die alleen de volgorde van bewerkingen laten zien, veranderen de waarde nooit, en ze maken de expressie makkelijker te lezen. $A \lor (B \land C)$ is hetzelfde als $A \lor B \land C$, maar de eerste schrijfwijze laat de volgorde in één oogopslag zien.

Zijn 1 en 0 hetzelfde als waar en onwaar?

Ja. 1 staat voor waar en 0 voor onwaar. Computers gebruiken 1 en 0 omdat ze alles als bits opslaan. De interactieve tabellen in deze les gebruiken ook 1 en 0.

Is er een snellere manier dan een waarheidstabel om te laten zien dat twee expressies equivalent zijn?

Ja. De booleaanse algebra heeft wetten (zoals de wetten van De Morgan) die een expressie stap voor stap in een andere omzetten. Die leer je in de les Booleaanse algebra. Een waarheidstabel is langzamer, maar werkt altijd.

Leermiddelen

Booleaanse expressies

Leer booleaanse expressies met 1 en 0 schrijven en uitrekenen, de volgorde NIET, EN, OF toepassen en hun volledige waarheidstabel opstellen.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een booleaanse expressie is een formule die bestaat uit booleaanse variabelen (letters zoals

A

B

C

), de waarden

1

(waar) en

0

(onwaar) en de operatoren EN (

\land

), OF (

\lor

) en NIET (

\neg

). Net als

3 + 4 \times 2

in de rekenkunde heeft een booleaanse expressie precies één waarde, maar die waarde is altijd

1

0

De drie operatoren met 1 en 0:

$\neg A$ draait de waarde om: $\neg 1 = 0$ en $\neg 0 = 1$
$A \land B$ is alleen $1$ als $A$ en $B$ allebei $1$ zijn
$A \lor B$ is $1$ als minstens één van de twee $1$ is

Volgorde van bewerkingen: eerst haakjes, dan NIET, dan EN, dan OF.

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Dus

A \lor B \land C

betekent

A \lor (B \land C)

, en

\neg A \land B

betekent

(\neg A) \land B

Voorbeeld: reken

A \lor B \land \neg C

uit voor

A = 0

B = 1

C = 0

0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1

Een expressie met

n

variabelen heeft

2^n

combinaties van invoer. De waarheidstabel geeft de waarde van de expressie voor elk daarvan, te beginnen met de rij waarin alle variabelen

0

zijn. Twee expressies zijn equivalent als hun eindkolommen in elke rij gelijk zijn. (De les Waarheidstabellen begon juist met de rij waarin alles waar is; elke vaste volgorde werkt. De interactieve waarheidstabellen in deze les gebruiken ook

1

0

Probeer het meteen

Welke bewerking doe je in

A \lor B \land \neg C

(zonder haakjes) als eerste?

Uitgewerkte voorbeelden

Reken $A \land \neg B$ uit voor $A = 1$ en $B = 0$ .

Vul de waarden in

Vervang $A$ door $1$ en $B$ door $0$ → $1 \land \neg 0$

Eerst NIET

$\neg 0 = 1$ → $1 \land 1$

Dan EN

Beide waarden zijn $1$ , dus EN geeft $1$

Antwoord: $A \land \neg B = 1$ (waar) voor $A = 1$ , $B = 0$ .

Veelgemaakte fouten

Van links naar rechts rekenen: $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Waarom het fout is: EN gaat voor OF, net zoals vermenigvuldigen voor optellen gaat. Zonder haakjes reken je eerst het EN-deel uit.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

NIET op alles erna toepassen: $\neg A \land B$ lezen als $\neg(A \land B)$

Waarom het fout is: Zonder haakjes werkt NIET alleen op de variabele direct erna.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$ . Wil je de hele EN ontkennen, schrijf dan $\neg(A \land B)$ .

Optellen zoals bij getallen: $1 \lor 1 = 2$

Waarom het fout is: Een booleaanse expressie kan alleen $1$ of $0$ zijn. OF vraagt of minstens één waarde $1$ is, het telt ze niet.

Correct: $1 \lor 1 = 1$ , $1 \land 1 = 1$ en $\neg 1 = 0$ . De uitkomst is altijd $1$ of $0$ .

Twee expressies equivalent noemen na het testen van maar één of twee invoeren

Waarom het fout is: $A \land (B \lor C)$ en $A \land B \lor C$ hebben in 6 van de 8 rijen dezelfde waarde en zijn toch verschillend.

Correct: Stel de volledige tabel met $2^n$ rijen op en vergelijk elke rij. Eén rij die verschilt betekent: niet equivalent.

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

UitdrukkingA ∨ B ∧ ¬C

A	B	C	¬C	B ∧ ¬C	A ∨ B ∧ ¬C
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

1= Waar0= Onwaar

Waarheidstabel

UitdrukkingA ∨ ¬A ∧ B

A	B	A ∨ ¬A ∧ B
0	0
0	1
1	0
1	1

1= Waar0= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke bewerking doe je in $A \lor B \land \neg C$ (zonder haakjes) als eerste?

Waarom het belangrijk is

Booleaanse expressies zijn de taal waarmee computers beslissingen nemen:

Programmeren: elke if-voorwaarde is een booleaanse expressie, bijvoorbeeld (minstens 12 jaar EN NIET geblokkeerd) OF met een ouder. Vergeet je de haakjes, dan laat het programma de verkeerde mensen binnen
Zoeken en filters: webwinkels en bibliotheken combineren filters zoals op voorraad EN (rood OF blauw)
Spreadsheets: functies zoals EN(), OF() en NIET() bepalen welke rijen gemarkeerd worden
Elektronica: elke chip zet booleaanse expressies om in schakelingen van logische poorten, zoals je in de les Logische poorten zult zien
Games en slimme huizen: een deur gaat open of een lamp gaat aan als een expressie van meerdere sensoren 1 is

Als je de volgorde van bewerkingen kent en een waarheidstabel kunt opstellen, kun je precies voorspellen wat een regel in elke mogelijke situatie doet.

Toepassingen in de echte wereld

Regels in een programma

Programmeurs schrijven regels als booleaanse expressies en testen elke combinatie van invoer voordat het programma online gaat.

Voorbeeld:

Een attractie in een pretpark laat je instappen als $T \land (H \lor P)$ : $T$ = je hebt een kaartje, $H$ = je bent lang genoeg, $P$ = er gaat een ouder mee.

1Probeer het zelf

De regel is $T \land (H \lor P)$ . Een kind heeft een kaartje ( $T = 1$ ), is niet lang genoeg ( $H = 0$ ) en gaat met een ouder mee ( $P = 1$ ).

Hoeveel testgevallen heeft de regel, en mag het kind instappen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal testgevallen als macht van 2:

Spamfilters

Een e-mailprogramma beslist met een booleaanse expressie of een bericht in de spammap komt.

Voorbeeld:

Een filter markeert een e-mail als spam als $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = afzender staat op een blokkeerlijst, $S$ = verdachte woorden, $K$ = afzender staat in je contacten.

2Probeer het zelf

De regel is $L \lor S \land \neg K$ . Een e-mail van een vriendin uit je contacten ( $K = 1$ ) bevat een verdacht woord ( $S = 1$ ), en de afzender staat niet op de blokkeerlijst ( $L = 0$ ). Met 0 en 1 werkt EN als vermenigvuldigen en NIET als $1 - x$ .

Komt de e-mail in de spammap?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $S \land \neg K$ als berekening:

Regels in een slim huis

Twee verschillende expressies kunnen een apparaat precies hetzelfde aansturen. Een waarheidstabel laat zien wanneer een lange regel door een korte vervangen kan worden.

Voorbeeld:

Een tuinlamp gebruikt de regel $M \lor M \land N$ : $M$ = beweging gezien, $N$ = het is nacht.

3Probeer het zelf

Een ingenieur wil de regel $M \lor M \land N$ vervangen door de kortere regel $M$ .

Schakelen de twee regels de lamp altijd op dezelfde manier?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal rijen als macht van 2:

Belangrijke punten

1Een booleaanse expressie combineert variabelen, de waarden 1 (waar) en 0 (onwaar) en de operatoren $\land$ , $\lor$ , $\neg$
2De waarde van een booleaanse expressie is altijd 1 of 0, nooit 2 of meer
3Volgorde van bewerkingen: eerst haakjes, dan NIET, dan EN, dan OF
4NIET werkt alleen op wat er direct na komt: $\neg A \land B$ is niet $\neg(A \land B)$
5Een expressie met $n$ variabelen heeft een waarheidstabel met $2^n$ rijen, te beginnen met de rij waarin alle variabelen 0 zijn
6Twee expressies zijn equivalent als hun eindkolommen in elke rij gelijk zijn

Veelgestelde vragen

Dat is een afspraak, zoals vermenigvuldigen voor optellen. Met 0 en 1 gedraagt EN zich als vermenigvuldigen (

1 \times 0 = 0

), en OF wordt vaak met optellen vergeleken, dus dezelfde volgorde voelt logisch.

Woordenlijst

Booleaanse variabele: Een letter zoals $A$ , $B$ of $C$ die alleen de waarden 1 (waar) of 0 (onwaar) kan hebben
Booleaanse expressie: Een formule van booleaanse variabelen, de waarden 1 en 0 en de operatoren $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Volgorde van bewerkingen: De regel welke operator eerst komt: haakjes, dan NIET, dan EN, dan OF
Waarheidstabel: Een tabel met de waarde van een expressie voor alle $2^n$ combinaties van haar variabelen
Equivalent: Twee expressies zijn equivalent als ze in elke rij van de waarheidstabel dezelfde waarde hebben

Formulekaart

Volgorde van bewerkingen

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Eerst haakjes, dan NIET, dan EN, dan OF

NIET

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0

Draait de waarde om van wat er direct na komt

EN en OF

1 \land 1 = 1, \quad 0 \lor 0 = 0

EN is alleen 1 als beide 1 zijn; OF is alleen 0 als beide 0 zijn

Aantal rijen

\text{rijen} = 2^n

$n$ is het aantal variabelen: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Regels in een programma

Spamfilters

Regels in een slim huis

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Volgorde van bewerkingen

NIET

EN en OF

Aantal rijen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Booleaanse logica

Ware en onware uitspraken

De EN-operatie

De OF-bewerking