Direct bewijs

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de eerste stap in een direct bewijs?
1. a)Bewijs uit het ongerijmde gebruiken
2. b)Een tegenvoorbeeld vinden
3. c)Aannemen dat de hypothese waar is
4. d)De conclusie direct bewijzen
Antwoord: Aannemen dat de hypothese waar is
Bij een direct bewijs beginnen we met aan te nemen dat de hypothese (het 'als'-deel) waar is, en gebruiken dan logische stappen om de conclusie te bereiken.
2.
Volgens de definitie kan een even geheel getal worden geschreven als:
1. a) voor een geheel getal
2. b) voor een geheel getal
3. c) voor een geheel getal
4. d) voor een geheel getal
Antwoord: voor een geheel getal
Een even geheel getal is elk geheel getal dat deelbaar is door 2, dus het kan worden geschreven als waarbij elk geheel getal is. Bijvoorbeeld: , .
3.
Als voor een geheel getal , is even of oneven? Type 'even' of 'oneven'.
Antwoord: odd
De uitdrukking vertegenwoordigt een oneven getal omdat even is (een veelvoud van 2) en 1 optellen maakt het oneven.
4.
Waar staat QED voor?
1. a)Vrij gemakkelijk gedaan
2. b)Elk detail bevragen
3. c)Quod erat demonstrandum
4. d)Snel discussie beëindigen
Antwoord: Quod erat demonstrandum
QED staat voor 'quod erat demonstrandum', wat Latijn is voor 'wat bewezen moest worden'. Het markeert de succesvolle voltooiing van een bewijs.
5.
Als en , wat is in termen van en ? Schrijf je antwoord in de vorm .
Antwoord: 2(m + n)
. Deze ontbonden vorm toont dat de som even is omdat het 2 keer een geheel getal is.
6.
Waarom is het controleren van voorbeelden niet hetzelfde als een bewijs?
1. a)Voorbeelden duren te lang
2. b)Voorbeelden dekken niet alle oneindige gevallen
3. c)Voorbeelden zijn altijd fout
4. d)Voorbeelden zijn moeilijker dan bewijzen
Antwoord: Voorbeelden dekken niet alle oneindige gevallen
Er zijn oneindig veel gehele getallen, dus we kunnen nooit alle gevallen met voorbeelden controleren. Een bewijs met variabelen en definities dekt alle gevallen tegelijk.
7.
Bewijs: Als even is, dan is even.
Antwoord: n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
1. Schrijf met de definitie van even (in termen van een geheel getal ): n = 2k
2. Kwadrateer beide kanten om te vinden: n^2 = 4k^2
3. Haal 2 buiten haakjes om te tonen dat even is: n^2 = 2(2k^2)
8.
Als (oneven), wat is uitgewerkt? Schrijf in de vorm .
Antwoord: 4k^2 + 4k + 1
. Dit kan worden herschreven als , wat toont dat het oneven is.
9.
Bewijs: Het product van twee oneven getallen is oneven.
Antwoord: 2(2jk + j + k) + 1
1. Laat de twee oneven getallen en zijn. Vind : (2j + 1)(2k + 1)
2. Werk het product uit: 4jk + 2j + 2k + 1
3. Ontbind om te tonen dat het de vorm (oneven) heeft: 2(2jk + j + k) + 1
10.
Wat is circulair redeneren in een bewijs?
1. a)Meerdere keren opnieuw beginnen
2. b)In een cirkel draaien terwijl je schrijft
3. c)Te veel stappen gebruiken
4. d)Aannemen wat je probeert te bewijzen
Antwoord: Aannemen wat je probeert te bewijzen
Circulair redeneren treedt op wanneer je de conclusie (wat je probeert te bewijzen) gebruikt als onderdeel van je redenering. Dit maakt het bewijs ongeldig omdat je eigenlijk niets hebt bewezen.
11.
In de ontbinding , hoeveel opeenvolgende gehele getallen worden met elkaar vermenigvuldigd?
Antwoord: 3
De uitdrukking ontbindt in drie opeenvolgende gehele getallen: , en . Dit is de sleutel tot het bewijzen dat deelbaar is door 3.
12.
Bewijs: Als even is en oneven, dan is oneven.
Antwoord: 2(m + k) + 1
1. Schrijf als even getal en als oneven getal: a = 2m, b = 2k + 1
2. Tel op: 2m + 2k + 1
3. Ontbind om te tonen dat het oneven is (vorm ): 2(m + k) + 1
13.
Om te bewijzen dat deelbaar is door 3, gebruiken we het feit dat van elke 3 opeenvolgende gehele getallen:
1. a)Geen enkele deelbaar is door 3
2. b)Allemaal deelbaar zijn door 3
3. c)Minstens twee deelbaar zijn door 3
4. d)Precies één deelbaar is door 3
Antwoord: Precies één deelbaar is door 3
Elk geheel getal heeft rest 0, 1 of 2 bij deling door 3. Bij drie opeenvolgende gehele getallen doorlopen we alle drie de resten, dus precies één heeft rest 0 (deelbaar door 3).
14.
Bewijs: Als een geheel getal is, dan is even.
Antwoord: n(n + 1)
1. Ontbind : n(n + 1)
2. Wat kunnen we zeggen over en ? opeenvolgende gehele getallen
3. Van twee opeenvolgende gehele getallen, hoeveel zijn even? 1
4. Daarom is het product altijd: even
15.
Als we ' deelt ' willen bewijzen met direct bewijs, tonen we voor een geheel getal . Welke waarde van toont dat 3 deelt 12?
Antwoord: 4
Aangezien , hebben we . Dit toont aan dat 3 deelt 12 omdat 12 kan worden uitgedrukt als 3 keer een geheel getal (4).
16.
Bewijs: De som van een even getal en zijn kwadraat is even.
Antwoord: 2(k + 2k^2)
1. Laat het even getal zijn. Schrijf : 2k + (2k)^2
2. Vereenvoudig : 4k^2
3. Schrijf in ontbonden vorm : 2(k + 2k^2)
17.
Welke uitspraak beschrijft een axioma het beste?
1. a)Een uitspraak die verificatie nodig heeft
2. b)Een uitspraak die als waar is bewezen
3. c)Een uitspraak die altijd onwaar is
4. d)Een uitspraak die als waar wordt aangenomen zonder bewijs
Antwoord: Een uitspraak die als waar wordt aangenomen zonder bewijs
Een axioma is een fundamentele uitspraak die als waar wordt aangenomen zonder bewijs. Axioma's dienen als basis waaruit stellingen worden afgeleid. Voorbeelden zijn 'a = a' (reflexieve eigenschap) en 'als a = b, dan b = a' (symmetrische eigenschap).