Introductie tot wiskundige bewijzen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is een wiskundig bewijs?
1. a)Een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn
2. b)Een formule om te onthouden
3. c)Een gok over of iets waar is
4. d)Een enkel voorbeeld dat werkt
Antwoord: Een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn
Een wiskundig bewijs is een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn voor alle gevallen, gebruikmakend van definities, axioma's en eerder bewezen stellingen.
2.
Wat is het verschil tussen een axioma en een stelling?
1. a)Ze zijn hetzelfde
2. b)Axioma's zijn onwaar; stellingen zijn waar
3. c)Een axioma wordt zonder bewijs geaccepteerd; een stelling wordt bewezen
4. d)Een stelling wordt zonder bewijs geaccepteerd; een axioma wordt bewezen
Antwoord: Een axioma wordt zonder bewijs geaccepteerd; een stelling wordt bewezen
Axioma's zijn beweringen die we zonder bewijs als waar accepteren - ze zijn onze startpunten. Stellingen zijn beweringen waarvan is bewezen dat ze waar zijn met axioma's en andere stellingen.
3.
Als een even getal is, kunnen we schrijven waarbij een geheel getal is. Als , wat is ?
Antwoord: 6
Aangezien , lossen we op voor : . Dit bevestigt dat 12 even is omdat .
4.
Als een oneven getal is, kunnen we schrijven . Als , wat is ?
Antwoord: 7
Aangezien , lossen we op: , dus . Controle: .
5.
Wat doen we eerst bij een bewijs uit het ongerijmde?
1. a)Het tegenovergestelde aannemen van wat we willen bewijzen
2. b)De bewering direct bewijzen
3. c)Meerdere voorbeelden geven
4. d)Eerst de conclusie noemen
Antwoord: Het tegenovergestelde aannemen van wat we willen bewijzen
Bij bewijs uit het ongerijmde nemen we aan dat het tegenovergestelde van wat we willen bewijzen waar is. Dan tonen we aan dat dit leidt tot een logische onmogelijkheid (tegenspraak), wat bewijst dat onze oorspronkelijke bewering waar moet zijn.
6.
Waarom is het tonen dat GEEN bewijs dat 'de som van twee even getallen even is'?
1. a)De berekening is fout
2. b)We moeten aftrekking gebruiken in plaats daarvan
3. c)Het bewijst slechts een specifiek geval, niet alle gevallen
4. d)6 is niet even
Antwoord: Het bewijst slechts een specifiek geval, niet alle gevallen
Er zijn oneindig veel paren van even getallen. Testen dat bewijst alleen dat EEN paar werkt. Een bewijs moet aantonen dat ALLE paren werken, wat het gebruik van variabelen vereist zoals .
7.
Als en even getallen zijn, wat is in termen van en ? Schrijf in de vorm
Antwoord: 2(m+n)
. Aangezien een geheel getal is, is even. Dit bewijst dat de som van twee even getallen altijd even is!
8.
Bewijs dat het product van twee oneven getallen oneven is. Laat en .
Antwoord: 2(2mn+m+n)+1
1. Schrijf uitgewerkt 4mn+2m+2n+1
2. Haal 2 buiten haakjes bij de eerste drie termen 2(2mn+m+n)+1
3. Heeft de vorm ? ja
9.
Welke bewering beschrijft correct circulair redeneren in een bewijs?
1. a)Eindigen met QED
2. b)Te veel stappen gebruiken
3. c)De conclusie gebruiken als deel van het bewijs
4. d)Beginnen met een definitie
Antwoord: De conclusie gebruiken als deel van het bewijs
Circulair redeneren treedt op wanneer je aanneemt wat je probeert te bewijzen. Bijvoorbeeld, zeggen 'X is waar omdat X waar is' bewijst eigenlijk niets - het draait alleen in cirkels.
10.
In het bewijs dat irrationaal is, namen we aan zonder gemeenschappelijke factoren. We toonden aan dat en beide even moeten zijn. Welke gemeenschappelijke factor delen ze?
Antwoord: 2
Als zowel als even zijn, hebben ze allebei 2 als factor. Dit spreekt onze aanname tegen dat ze geen gemeenschappelijke factoren delen. Deze tegenspraak bewijst dat niet als kan worden geschreven.
11.
Bewijs: De som van een even getal en een oneven getal is oneven.
Antwoord: 2(m+n)+1
1. Laat het even getal zijn. Schrijf het oneven getal in de vorm 2n+1
2. Bereken 2m+2n+1
3. Herschrijf door te factoriseren: 2(m+n)+1
4. Is oneven? (ja/nee) ja
12.
De bewering 'Alle priemgetallen zijn oneven' lijkt waar voor 3, 5, 7, 11, 13... Wat weerlegt deze bewering?
1. a)9 is oneven maar niet priem
2. b)1 is geen priemgetal
3. c)2 is priem maar even
4. d)15 heeft veel factoren
Antwoord: 2 is priem maar even
2 is priem (alleen deelbaar door 1 en zichzelf) maar het is even. Een tegenvoorbeeld is genoeg om een universele bewering te weerleggen. Dit laat zien waarom we bewijzen nodig hebben, niet alleen voorbeelden!
13.
Bewijs uit het ongerijmde: Er is geen grootste geheel getal.
Antwoord: N+1
1. Neem het tegenovergestelde aan: er IS een grootste geheel getal. Noem het . Is ook een geheel getal? ja
2. Is ? ja
3. We vonden een geheel getal groter dan . Wat is het? N+1
4. Dit spreekt tegen dat de grootste is. Daarom was onze aanname... (waar/onwaar) onwaar
14.
Als even is, dan moet even zijn. Waarom? Omdat als oneven was (), dan , wat... is (even/oneven)?
Antwoord: odd
is in de vorm , wat oneven is. Dus als oneven was, zou oneven zijn. Daarom, als even is, kan niet oneven zijn - het moet even zijn!
15.
Als ' impliceert ' waar is, welke van de volgende moet ook waar zijn?
1. a)'Niet impliceert niet ' (contrapositie)
2. b)' impliceert ' (omgekeerde)
3. c)'Niet impliceert niet ' (inverse)
4. d)Alle bovenstaande
Antwoord: 'Niet impliceert niet ' (contrapositie)
De contrapositie ('Niet impliceert niet ') is altijd logisch equivalent aan de oorspronkelijke bewering. De omgekeerde en inverse zijn NIET gegarandeerd waar. Voorbeeld: 'Als het regent, is de grond nat' is waar, maar 'Als de grond nat is, heeft het geregend' is niet altijd waar (sproeiers!).
16.
Bewijs: Als oneven is, dan is oneven.
Antwoord: n is odd
1. We bewijzen de contrapositie. Als even is, dan is ... (even/oneven)? even
2. Als (even), wat is ? 4k^2
3. Schrijf in de vorm 2(2k^2)
4. Aangezien even is, bewezen we: als even is dan is even. Door contrapositie, als oneven is, dan is ... oneven