Introductie tot wiskundige bewijzen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is een wiskundig bewijs?
1. a)Een gok over of iets waar is
2. b)Een formule om te onthouden
3. c)Een enkel voorbeeld dat werkt
4. d)Een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn
Antwoord: Een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn
Een wiskundig bewijs is een logisch argument dat aantoont waarom een bewering waar moet zijn voor alle gevallen, gebruikmakend van definities, axioma's en eerder bewezen stellingen.
2.
Wat is het verschil tussen een axioma en een stelling?
1. a)Ze zijn hetzelfde
2. b)Axioma's zijn onwaar; stellingen zijn waar
3. c)Een stelling wordt zonder bewijs geaccepteerd; een axioma wordt bewezen
4. d)Een axioma wordt zonder bewijs geaccepteerd; een stelling wordt bewezen
Antwoord: Een axioma wordt zonder bewijs geaccepteerd; een stelling wordt bewezen
Axioma's zijn beweringen die we zonder bewijs als waar accepteren - ze zijn onze startpunten. Stellingen zijn beweringen waarvan is bewezen dat ze waar zijn met axioma's en andere stellingen.
3.
Als $n$ een even getal is, kunnen we schrijven $n = 2k$ waarbij $k$ een geheel getal is. Als $n = 12$ , wat is $k$ ?
Antwoord: 6
Aangezien $12 = 2k$ , lossen we $k$ op: $k = 12 \div 2 = 6$ . Dit bevestigt dat 12 even is omdat $12 = 2 \times 6$ .
4.
Als $n$ een oneven getal is, kunnen we schrijven $n = 2k + 1$ . Als $n = 15$ , wat is $k$ ?
Antwoord: 7
Aangezien $15 = 2k + 1$ , lossen we op: $2k = 15 - 1 = 14$ , dus $k = 7$ . Controle: $2(7) + 1 = 15$ .
5.
Wat doen we eerst bij een bewijs uit het ongerijmde?
1. a)De bewering direct bewijzen
2. b)Meerdere voorbeelden geven
3. c)Eerst de conclusie noemen
4. d)Het tegenovergestelde aannemen van wat we willen bewijzen
Antwoord: Het tegenovergestelde aannemen van wat we willen bewijzen
Bij bewijs uit het ongerijmde nemen we aan dat het tegenovergestelde van wat we willen bewijzen waar is. Dan tonen we aan dat dit leidt tot een logische onmogelijkheid (tegenspraak), wat bewijst dat onze oorspronkelijke bewering waar moet zijn.
6.
Waarom is het tonen dat $2 + 4 = 6$ GEEN bewijs dat 'de som van twee even getallen even is'?
1. a)Het bewijst slechts een specifiek geval, niet alle gevallen
2. b)We moeten aftrekking gebruiken in plaats daarvan
3. c)De berekening is fout
4. d)6 is niet even
Antwoord: Het bewijst slechts een specifiek geval, niet alle gevallen
Er zijn oneindig veel paren van even getallen. Testen dat $2 + 4 = 6$ bewijst alleen dat ÉÉN paar werkt. Een bewijs moet aantonen dat ALLE paren werken, wat het gebruik van variabelen vereist zoals $2m + 2n = 2(m+n)$ .
7.
Stel dat $a = 2m$ en $b = 2n$ even getallen zijn. Vul aan: $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . Wat komt er in het hokje?
Antwoord: m+n
$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$ . Aangezien $m + n$ een geheel getal is, is $2(m+n)$ even. Dit bewijst dat de som van twee even getallen altijd even is!
8.
Bewijs dat het product van twee oneven getallen oneven is. Laat $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ .
Antwoord: 2(2mn+m+n)+1
1. Schrijf $(2m + 1)(2n + 1)$ uitgewerkt 4mn+2m+2n+1
2. Haal 2 buiten haakjes bij de eerste drie termen: $4mn + 2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Wat komt er in het hokje? 2mn+m+n
3. Heeft $2(2mn + m + n) + 1$ de vorm $2k + 1$ ? ja
9.
Welke bewering beschrijft correct circulair redeneren in een bewijs?
1. a)Eindigen met QED
2. b)Beginnen met een definitie
3. c)Te veel stappen gebruiken
4. d)De conclusie gebruiken als deel van het bewijs
Antwoord: De conclusie gebruiken als deel van het bewijs
Circulair redeneren treedt op wanneer je aanneemt wat je probeert te bewijzen. Bijvoorbeeld, zeggen 'X is waar omdat X waar is' bewijst eigenlijk niets - het draait alleen in cirkels.
10.
In het bewijs dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, namen we aan $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ zonder gemeenschappelijke factoren. We toonden aan dat $a$ en $b$ beide even moeten zijn. Welke gemeenschappelijke factor delen ze?
Antwoord: 2
Als zowel $a$ als $b$ even zijn, hebben ze allebei 2 als factor. Dit spreekt onze aanname tegen dat ze geen gemeenschappelijke factoren delen. Deze tegenspraak bewijst dat $\sqrt{2}$ niet als $\frac{a}{b}$ kan worden geschreven.
11.
Bewijs: De som van een even getal en een oneven getal is oneven.
Antwoord: 2(m+n)+1
1. Stel dat het even getal $a = 2m$ is. Het oneven getal is $b = 2n + \square$ . Welk getal komt er in het hokje? 1
2. Bereken $a + b = 2m + (2n + 1)$ 2m+2n+1
3. Haal 2 buiten haakjes bij de eerste twee termen: $2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Wat komt er in het hokje? m+n
4. Is $2(m+n) + 1$ oneven? ja
12.
De bewering 'Alle priemgetallen zijn oneven' lijkt waar voor 3, 5, 7, 11, 13... Wat weerlegt deze bewering?
1. a)1 is geen priemgetal
2. b)15 heeft veel factoren
3. c)9 is oneven maar niet priem
4. d)2 is priem maar even
Antwoord: 2 is priem maar even
2 is priem (alleen deelbaar door 1 en zichzelf) maar het is even. Een tegenvoorbeeld is genoeg om een universele bewering te weerleggen. Dit laat zien waarom we bewijzen nodig hebben, niet alleen voorbeelden!
13.
Bewijs uit het ongerijmde: Er is geen grootste geheel getal.
Antwoord: N+1
1. Neem het tegenovergestelde aan: er IS een grootste geheel getal. Noem het $N$ . Is $N + 1$ ook een geheel getal? ja
2. Is $N + 1 > N$ ? ja
3. We vonden een geheel getal groter dan $N$ . Wat is het? N+1
4. Dit spreekt tegen dat $N$ de grootste is. Daarom was onze aanname... onwaar
14.
Waarom moet $a$ even zijn als $a^2$ even is? Stel dat $a$ oneven is, $a = 2k + 1$ . Dan is $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Wat is de rest als je $a^2$ door 2 deelt?
Antwoord: 1
$2(2k^2 + 2k)$ is een veelvoud van 2, dus als je $a^2$ door 2 deelt, is de rest 1: $a^2$ zou oneven zijn. Als $a$ oneven was, zou $a^2$ dus oneven zijn. Als $a^2$ even is, kan $a$ dus niet oneven zijn: het moet even zijn.
15.
Als ' $P$ impliceert $Q$ ' waar is, welke van de volgende moet ook waar zijn?
1. a)'Niet $Q$ impliceert niet $P$ ' (contrapositie)
2. b)' $Q$ impliceert $P$ ' (omgekeerde)
3. c)'Niet $P$ impliceert niet $Q$ ' (inverse)
4. d)Alle bovenstaande
Antwoord: 'Niet $Q$ impliceert niet $P$ ' (contrapositie)
De contrapositie ('Niet $Q$ impliceert niet $P$ ') is altijd logisch equivalent aan de oorspronkelijke bewering. De omgekeerde en inverse zijn NIET gegarandeerd waar. Voorbeeld: 'Als het regent, is de grond nat' is waar, maar 'Als de grond nat is, heeft het geregend' is niet altijd waar (sproeiers!).
16.
Bewijs: Als $n^2$ oneven is, dan is $n$ oneven.
Antwoord: $n$ is oneven
1. We bewijzen de contrapositie. Als $n$ even is, dan is $n^2$ ...? even
2. Als $n = 2k$ (even), wat is $n^2$ ? 4k^2
3. Vul aan: $4k^2 = 2(\square)$ . Wat komt er in het hokje? 2k^2
4. Aangezien $2(2k^2)$ even is, bewezen we: als $n$ even is dan is $n^2$ even. Door contrapositie, als $n^2$ oneven is, dan is $n$ ... oneven