Bewijzen in alineavorm

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk signaalwoord leidt in een bewijs in alineavorm een nieuwe bewering (een conclusie) in en geen reden?
1. a)aangezien
2. b)dus
3. c)omdat
4. d)per definitie
Antwoord: dus
Dus leidt een nieuwe bewering in die volgt uit wat ervoor staat. Omdat, aangezien en per definitie leiden redenen in.
2.
Een bewijs in alineavorm bevat de zin: *Omdat $a$ oneven is, is $a = 2m + 1$ voor een zeker geheel getal $m$ .* Welke reden gebruikt deze zin?
1. a)De definitie van een oneven geheel getal
2. b)De eigenschap van gelijkheid (aftrekken)
3. c)De conclusie van het bewijs
4. d)De stelling over overstaande hoeken
Antwoord: De definitie van een oneven geheel getal
Een oneven geheel getal is per definitie een getal dat je kunt schrijven als $2m + 1$ met $m$ geheel. De zin gebruikt die definitie.
3.
$\angle 1$ en $\angle 2$ zijn nevenhoeken, en $\angle 1 = 72^\circ$ . Hoeveel graden is $\angle 2$ ?
Antwoord: 108
Omdat de hoeken nevenhoeken zijn, is $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ , dus $\angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
4.
Een bewijs in alineavorm laat zien dat drie opeenvolgende gehele getallen $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ samen $3(n + 1)$ zijn. Voor $20 + 21 + 22$ is de som drie keer welk getal?
Antwoord: 21
Met $n = 20$ is de som $3(n + 1) = 3 \times 21 = 63$ . Controle: $20 + 21 + 22 = 63$ . Het getal is het middelste, 21.
5.
Twee lijnen snijden elkaar. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ ligt ernaast en $\angle 3$ ligt tegenover $\angle 1$ . Volg het bewijs van de stelling over overstaande hoeken om $\angle 3$ te vinden.
Antwoord: 58
1. $\angle 1$ en $\angle 2$ zijn nevenhoeken. Hoeveel graden is $\angle 1 + \angle 2$ ? 180
2. Hoeveel graden is $\angle 2$ dus? 122
3. Ook $\angle 2$ en $\angle 3$ zijn nevenhoeken. Hoeveel graden is $\angle 3$ ? 58
6.
Volg het bewijs dat oneven + oneven even is met de oneven getallen $a = 7$ en $b = 11$ , geschreven als $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ .
Antwoord: 18
1. Omdat $7 = 2m + 1$ , wat is $m$ ? 3
2. Omdat $11 = 2n + 1$ , wat is $n$ ? 5
3. Wat is $m + n + 1$ ? 9
4. Waaraan is $a + b = 2(m + n + 1)$ dus gelijk? 18
7.
In dit bewijs dat de som van twee oneven getallen even is, ontbreekt een zin: *Stel dat $a$ en $b$ oneven zijn. Dan is $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ voor gehele getallen $m$ en $n$ . [ ? ] Omdat $m + n + 1$ een geheel getal is, is $a + b$ even.* Welke zin vult het gat?
1. a)Dus $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Bijvoorbeeld $3 + 5 = 8$ is even.
3. c)Optellen geeft $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Daarom is $a = b$ .
Antwoord: Optellen geeft $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
Alleen de som $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ verbindt het begin met de laatste zin. $2(m + n) + 1$ is fout gerekend, $a = b$ was nooit gegeven en een voorbeeld bewijst niets in het algemeen.
8.
Welke zin van dit bewijs in alineavorm is fout? (1) Stel dat $a$ even is en $b$ een willekeurig geheel getal, dus $a = 2k$ voor een geheel getal $k$ . (2) Dan is $ab = 2kb$ . (3) Dus $ab = 2(kb)$ . (4) Omdat $kb$ een geheel getal is, is $ab$ oneven.
1. a)Zin 2
2. b)Zin 1
3. c)Zin 3
4. d)Zin 4
Antwoord: Zin 4
Zin 1 tot en met 3 kloppen. Zin 4 trekt de verkeerde conclusie: twee keer een geheel getal is per definitie even, niet oneven.
9.
Een bewijs in twee kolommen begint met het gegeven $4x - 7 = 21$ en eindigt met $x = 7$ . In de alineavorm luidt de tweede zin: *Als we aan beide kanten 7 optellen, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (optellen) $4x = \square$ .* Welk getal hoort in het vakje?
Antwoord: 28
$4x - 7 + 7 = 21 + 7$ , dus $4x = 28$ . Delen door 4 geeft daarna $x = 7$ , de laatste regel van de tabel.
10.
Het bewijs dat een even getal keer een willekeurig geheel getal even is, schrijft $a = 2k$ en krijgt $ab = 2(kb)$ . Wat is $kb$ voor $a = 6$ en $b = 5$ ?
Antwoord: 15
$6 = 2 \times 3$ , dus $k = 3$ en $kb = 3 \times 5 = 15$ . Controle: $ab = 30 = 2 \times 15$ .
11.
Zet dit bewijs in alineavorm om naar een bewijs in twee kolommen: *Gegeven is $2(x + 3) = 18$ . Volgens de distributieve eigenschap is $2x + 6 = 18$ . Als we aan beide kanten 6 aftrekken, krijgen we $2x = 12$ . Als we beide kanten door 2 delen, krijgen we $x = 6$ .* Vul de beweringen in.
Antwoord: 6
1. Regel 2 (distributieve eigenschap): $2x + \square = 18$ . Welk getal hoort in het vakje? 6
2. Regel 3 (eigenschap van gelijkheid (aftrekken)): $2x = \square$ 12
3. Regel 4 (eigenschap van gelijkheid (delen)): $x = \square$ 6
4. Hoeveel regels heeft het bewijs in twee kolommen, het gegeven meegeteld? 4
12.
Drie opeenvolgende gehele getallen zijn samen 96. Gebruik het resultaat van het bewijs, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , om ze te vinden.
Antwoord: 31, 32, 33
1. Omdat $3(n + 1) = 96$ , wat is $n + 1$ , het middelste getal? 32
2. Wat is het kleinste getal $n$ ? 31
3. Wat is het grootste getal $n + 2$ ? 33
13.
Volg het bewijs dat een even getal keer een willekeurig geheel getal even is met $a = 14$ en $b = 9$ : schrijf $a = 2k$ , dan $ab = 2(kb)$ .
Antwoord: 126
1. Omdat $14 = 2k$ , wat is $k$ ? 7
2. Wat is $kb$ ? 63
3. Waaraan is $ab = 2(kb)$ dus gelijk? 126
14.
Een leerling schrijft: *Stel dat $a$ en $b$ oneven zijn, dus $a = 2k + 1$ en $b = 2k + 1$ . Dan is $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , dus $a + b$ is even.* Wat is het gat in dit bewijs?
1. a)Een bewijs moet getallen gebruiken, geen letters
2. b)Er is geen gat, het bewijs is volledig
3. c) $4k + 2$ is altijd oneven
4. d)Dezelfde $k$ voor beide getallen bewijst het alleen als $a = b$
Antwoord: Dezelfde $k$ voor beide getallen bewijst het alleen als $a = b$
Beide getallen met dezelfde $k$ schrijven dwingt $a = b$ af, dus het bewijs dekt alleen sommen als $7 + 7$ . De algebra klopt wel, en $4k + 2$ is even. De oplossing is $a = 2m + 1$ , $b = 2n + 1$ .
15.
Een bewijs in alineavorm laat zien dat vijf opeenvolgende gehele getallen samen $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ zijn. Bereken hiermee $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
Antwoord: 115
Met $n = 21$ : $5(n + 2) = 5 \times 23 = 115$ . Controle: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 115$ .
16.
Twee overstaande hoeken meten $(3x + 10)^\circ$ en $(5x - 30)^\circ$ . Redeneer zoals in een bewijs in alineavorm: omdat overstaande hoeken gelijk zijn, is $3x + 10 = 5x - 30$ . Bepaal $x$ , de hoek en de hoek ernaast.
Antwoord: 20
1. Trek aan beide kanten $3x$ af en tel 30 op. De vergelijking wordt $\square = 2x$ . Welk getal staat in het vakje? 40
2. Wat is $x$ ? 20
3. Hoeveel graden is elke overstaande hoek? 70
4. De hoek ernaast is er een nevenhoek van. Hoeveel graden is die hoek? 110
17.
Twee lijnen snijden elkaar. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ en $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ zijn nevenhoeken, en $\angle 3$ is de overstaande hoek van $\angle 1$ . Bepaal $x$ , $\angle 1$ en $\angle 3$ .
Antwoord: 55
1. Omdat de hoeken nevenhoeken zijn, is $6x + 60 = 180$ . Wat is $6x$ ? 120
2. Wat is $x$ ? 20
3. Hoeveel graden is $\angle 1$ ? 55
4. Hoeveel graden is $\angle 3$ ? 55
18.
Bewijs dat de som van drie opeenvolgende even getallen $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ deelbaar is door 6, en test het resultaat met 18, 20 en 22.
Antwoord: 60
1. Tel op: $2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + \square$ . Welk getal staat in het vakje? 6
2. De som is dus $6(n + 1)$ . Voor 18, 20, 22 geldt $2n = 18$ . Wat is $n$ ? 9
3. Wat is $6(n + 1)$ ? 60
4. Deel de som door 6. Welk geheel getal krijg je? 10