Docentenhandleiding: Bewijzen in alineavorm

Leer een bewijs te schrijven in samenhangende zinnen met signaalwoorden als omdat en dus, bewijzen in twee kolommen om te zetten en een bewijs op gaten te controleren.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wiskundige bewijzen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Een bewijs in alineavorm schrijven waarin elke bewering een genoemde reden heeft
Signaalwoorden (omdat, aangezien, dus, hieruit volgt dat) gebruiken om beweringen en redenen te verbinden
Een bewijs in twee kolommen omzetten naar alineavorm en omgekeerd
Eigenschappen van even, oneven en opeenvolgende getallen en de stelling over overstaande hoeken bewijzen
Gaten in een gegeven bewijs in alineavorm vinden en herstellen

Vereisten

• Introductie tot wiskundige bewijzen: aanname, conclusie en waarom voorbeelden geen bewijs zijn
• Direct bewijs: even en oneven getallen schrijven als $2k$ en $2k + 1$
• Bewijzen in twee kolommen: beweringen, redenen en de eigenschappen van gelijkheid
• Nevenhoeken: hoeken op een rechte lijn zijn samen $180^\circ$

Discussiestarters

1. Wanneer zou je een bewijs in alineavorm verkiezen boven een bewijs in twee kolommen, en waarom?
2. Wat is in een bewijs het verschil tussen omdat en dus?
3. Waarom is het een probleem om voor twee oneven getallen $a = 2k + 1$ en $b = 2k + 1$ te schrijven?
4. Als een bewijs klopt maar heel moeilijk te lezen is, heeft het dan zijn werk gedaan?

Veelvoorkomende misvattingen

Een bewijs in alineavorm is een losse uitleg, dus redenen mogen worden overgeslagen

Herstel: Laat een bewijs in twee kolommen en de alineaversie naast elkaar zien en markeer elke reden in beide. Elke regel van de tabel moet ergens in de alinea terugkomen.

Dezelfde letter gebruiken voor verschillende getallen is geen probleem

Herstel: Laat leerlingen $a = 3$ en $b = 5$ invullen: met $a = 2k + 1$ en $b = 2k + 1$ is er geen enkele $k$ die werkt. Het bewijs dekt stilzwijgend alleen het geval $a = b$ .

Een bewijs controleren betekent alleen het rekenwerk controleren

Herstel: Geef bewijzen met correcte algebra maar met een vergeten geval of een niet-onderbouwde aanname, en laat leerlingen precies de zin markeren waar het gat zit.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Zinsstarters geven: Omdat ___, weten we volgens ___ dat ___.
• Beginnen met bewijzen in twee kolommen en die regel voor regel omzetten
• Getallencontroles zoals $14 + 15 + 16$ doen vóór het algemene bewijs

Voor leerlingen op niveau:

• Bewijzen in alineavorm schrijven voor oneven plus oneven, even keer willekeurig en drie opeenvolgende getallen
• Bewijzen in alineavorm terugzetten naar tabellen met twee kolommen
• Elkaars bewijzen nakijken en elke ontbrekende reden markeren

Voor gevorderde leerlingen:

• Bewijzen dat de som van vijf opeenvolgende gehele getallen deelbaar is door 5
• Bewijzen dat het product van twee oneven getallen oneven is
• Met een evenwijdige lijn in alineavorm bewijzen dat de hoeken van een driehoek samen $180^\circ$ zijn

Standaarduitlijning

HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Stellingen over lijnen en hoeken bewijzen, waaronder dat overstaande hoeken congruent zijn
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Steekhoudende argumenten opbouwen en de redenering van anderen kritisch beoordelen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Nauwkeurig werken

Lesbronnen

visualKaart met signaalwoorden
Een overzichtskaart die signaalwoorden indeelt in redenwoorden (omdat, aangezien) en conclusiewoorden (dus, daarom)
activityBewijsstroken
Een bewijs in alineavorm wordt in zinnen geknipt; leerlingen zetten ze op volgorde en benoemen in elke zin de reden
worksheetTwee kolommen, één alinea
Vier bewijzen in twee kolommen omzetten naar alinea's en vier bewijzen in alineavorm naar tabellen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een bewijs in alineavorm is een bewijs dat in samenhangende zinnen is geschreven in plaats van in een tabel. Het bevat precies dezelfde logica als een bewijs in twee kolommen: elke bewering heeft nog steeds een reden nodig, maar de reden staat in de zin zelf.

Een goed bewijs in alineavorm heeft drie delen:

1.Begin: zeg wat gegeven is en geef elk object een eigen letter (*Stel dat $a$ en $b$ oneven gehele getallen zijn.*)
2.Keten: elke zin doet één bewering en geeft de reden (een definitie, een eigenschap van gelijkheid, een eerder bewezen stelling).
3.Einde: de laatste zin zegt precies wat bewezen moest worden, vaak gevolgd door QED of $\blacksquare$ .

Signaalwoorden verbinden de zinnen:

*omdat*, *aangezien*, *volgens de definitie van* leiden een reden in
*dus*, *daarom*, *hieruit volgt dat* leiden een nieuwe bewering in

\text{gegeven} \;\Rightarrow\; \text{bewering + reden} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{te bewijzen}

Uitgewerkte voorbeelden

Een bewijs in twee kolommen laat zien: gegeven $3x + 5 = 20$ , te bewijzen $x = 5$ . De regels zijn (1) $3x + 5 = 20$ , gegeven; (2) $3x = 15$ , eigenschap van gelijkheid (aftrekken); (3) $x = 5$ , eigenschap van gelijkheid (delen). Schrijf het om naar een bewijs in alineavorm.

Maak van de eerste regel een openingszin

Regel 1 is het gegeven, dus de alinea begint met: *Gegeven is dat $3x + 5 = 20$ .* → Openingszin geschreven

Verbind regel 2 met zijn reden

*Als we aan beide kanten 5 aftrekken, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (aftrekken) $3x = 15$ .* → $3x = 15$

Verbind regel 3 met zijn reden

*Als we beide kanten door 3 delen, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (delen) $x = 5$ .* → $x = 5$

Schrijf de conclusie op

*Dus $x = 5$ .* Het woord dus markeert de conclusie, de laatste regel van de tabel. → Bewijs in alineavorm klaar

Antwoord: Gegeven is dat $3x + 5 = 20$ . Als we aan beide kanten 5 aftrekken, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (aftrekken) $3x = 15$ . Als we beide kanten door 3 delen, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (delen) $x = 5$ . Dus $x = 5$ . QED

Veelgemaakte fouten

Een rij vergelijkingen zonder woorden opschrijven

Waarom het fout is: Een lijst als $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ zegt niet waar elke regel vandaan komt of wat hij bewijst. De lezer moet de redenen raden.

Correct: Koppel aan elke bewering een reden (*Omdat $a$ oneven is, is $a = 2m + 1$ ...*) en sluit af met een zin die de conclusie uitspreekt.

Dezelfde letter gebruiken voor twee verschillende getallen

Waarom het fout is: Wie $a = 2k + 1$ en $b = 2k + 1$ schrijft, dwingt $a = b$ af. Het bewijs dekt dan alleen sommen als $7 + 7$ .

Correct: Geef elk object een eigen variabele: $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ .

Bewijzen met voorbeelden

Waarom het fout is: $3 + 5 = 8$ en $7 + 9 = 16$ zijn even, maar een paar voorbeelden kunnen nooit alle oneven getallen dekken.

Correct: Gebruik variabelen die voor elk mogelijk geval staan. Voorbeelden zijn alleen nuttig als controle na het bewijs.

De conclusie als reden gebruiken

Waarom het fout is: Wie schrijft *Omdat $a + b$ even is, is het gelijk aan $2(m + n + 1)$ *, neemt precies aan wat bewezen moet worden (cirkelredenering).

Correct: De woorden omdat en aangezien mogen alleen verwijzen naar feiten die je al hebt: het gegeven, definities, eigenschappen of eerdere zinnen.

Waarom het belangrijk is

De meeste bewijzen die je in schoolboeken, wedstrijden en op de universiteit tegenkomt, zijn bewijzen in alineavorm. Ze kunnen lezen en schrijven is dus essentieel:

Toetsen en olympiades: correctoren geven punten voor de redenering, en een heldere alinea laat elke stap zien
Communicatie: een bewijs in alineavorm leest als een uitleg die je aan een klasgenoot zou kunnen geven
Controle: als naast elke bewering de reden staat, vallen gaten op die een kale lijst vergelijkingen verbergt
Buiten de wiskunde: advocaten, wetenschappers en programmeurs bouwen hun argumenten op dezelfde manier op, bewering na bewering, elk met een reden

Als je vlot kunt wisselen tussen de vorm met twee kolommen en een alinea, kun je per opgave kiezen wat het beste past.

Toepassingen in de echte wereld

Kalenderpuzzels

Drie dagen naast elkaar in een rij van de kalender zijn opeenvolgende gehele getallen, dus het bewijs uit deze les verklaart een bekende getallentruc.

Voorbeeld:

Kies 12, 13 en 14: de som is $39 = 3 \times 13$ , drie keer de middelste dag.

1Probeer het zelf

Een vriendin kiest drie opeenvolgende data, 23, 24 en 25, en jij noemt de som zonder ze één voor één op te tellen.

Wat is de som van de drie data?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik het bewijs: de som is drie keer het middelste getal.

Scharen en kruisende wegen

Waar twee rechte voorwerpen elkaar kruisen, zoals de bladen van een schaar, twee wegen of de balken van een dakspant, kun je met de stelling over overstaande hoeken één hoek meten en meteen de overstaande hoek kennen.

Voorbeeld:

Als de bladen van een open schaar een hoek van $35^\circ$ maken, dan maken de handvatten ook een hoek van $35^\circ$ .

2Probeer het zelf

Twee rechte wegen kruisen elkaar. De hoek tussen de wegen aan de noordkant is $62^\circ$ .

Hoe groot zijn de hoek ernaast en de overstaande hoek?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik een paar nevenhoeken en daarna het volgende paar:

Per twee verpakken

Winkels en magazijnen verpakken artikelen vaak per twee. Het bewijs dat een even getal keer een willekeurig geheel getal even is, vertelt je wanneer een rooster van voorwerpen zonder rest in paren te verdelen is.

Voorbeeld:

Een bakplaat met 8 rijen van 7 koekjes bevat $56 = 2 \times 28$ koekjes, die dus 28 zakjes van twee vullen.

3Probeer het zelf

Een vloer is bedekt met 6 rijen van 13 tegels. De tegels werden geleverd in dozen van 2.

Hoeveel volle dozen zijn er gebruikt, en hoeveel tegels blijven er over?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het totaal als $2(kb)$ met $6 = 2 \times 3$ :

Belangrijke punten

1Een bewijs in alineavorm bevat dezelfde beweringen en redenen als een bewijs in twee kolommen, geschreven als samenhangende zinnen
2Begin met het gegeven en geef elk object een eigen letter, bijvoorbeeld $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$
3Omdat, aangezien en per definitie leiden redenen in; dus, daarom en hieruit volgt dat leiden nieuwe beweringen in
4Even getallen zijn $2k$ , oneven getallen $2k + 1$ , en drie opeenvolgende gehele getallen hebben samen de som $3(n + 1)$
5Overstaande hoeken zijn gelijk omdat elk van beide met dezelfde hoek ertussen een paar nevenhoeken ( $180^\circ$ ) vormt
6Controleer een bewijs zin voor zin: is de bewering onderbouwd, wordt er iets aangenomen dat niet gegeven was, zegt de laatste zin het doel?

Veelgestelde vragen

Is een bewijs in alineavorm minder streng dan een bewijs in twee kolommen?

Nee. Beide vormen bevatten dezelfde logica. Een bewijs in alineavorm is alleen anders opgemaakt: elke bewering heeft nog steeds een reden nodig, die staat alleen in de zin in plaats van in een tweede kolom.

Hoe lang moet een bewijs in alineavorm zijn?

Lang genoeg zodat een klasgenoot elke stap kan volgen zonder te vragen waarom. Voor de bewijzen in deze les zijn 3 tot 6 zinnen gebruikelijk. Eenvoudige algebra, zoals 2 buiten haakjes halen, heeft geen eigen zin nodig.

Mag ik voorbeelden gebruiken in een bewijs in alineavorm?

Alleen als controle, duidelijk gescheiden van het bewijs. Een zin als *bijvoorbeeld

3 + 5 = 8

* laat het idee zien, maar het bewijs zelf moet werken met variabelen die elk geval dekken.

Welk signaalwoord moet ik gebruiken?

Gebruik omdat of aangezien voor een reden, en dus, daarom of hieruit volgt dat voor een nieuwe bewering. Wissel af zodat de alinea natuurlijk leest, maar zorg dat elke bewering in haar zin een reden heeft.

Woordenlijst

Bewijs in alineavorm: Een bewijs in samenhangende zinnen, waarin elke bewering samen met haar reden staat
Bewijs in twee kolommen: Een bewijs als tabel met beweringen links en redenen rechts
Signaalwoord: Een woord als omdat, aangezien, dus of daarom dat laat zien hoe een zin aansluit op de vorige
Nevenhoeken: Twee aanliggende hoeken die samen een gestrekte hoek vormen; hun grootte is samen $180^\circ$
Overstaande hoeken: Twee tegenover elkaar liggende hoeken bij twee snijdende lijnen; ze zijn altijd gelijk
Opeenvolgende gehele getallen: Gehele getallen die zonder tussenruimte op elkaar volgen, zoals $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Formulekaart

Even geheel getal

a = 2k

voor een zeker geheel getal $k$

Oneven geheel getal

a = 2k + 1

voor een zeker geheel getal $k$

Drie opeenvolgende gehele getallen

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

De som is altijd drie keer het middelste getal

Nevenhoeken en overstaande hoeken

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Nevenhoeken zijn samen $180^\circ$; overstaande hoeken zijn gelijk

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Bewijzen in alineavorm

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Kalenderpuzzels

Scharen en kruisende wegen

Per twee verpakken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Even geheel getal

Oneven geheel getal

Drie opeenvolgende gehele getallen

Nevenhoeken en overstaande hoeken

Meer over dit onderwerp

Introductie tot wiskundige bewijzen

Direct bewijs

Bewijzen in twee kolommen

Meetkundige bewijzen