Bewijs uit het ongerijmde

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Je wilt uit het ongerijmde bewijzen dat $\sqrt{3}$ irrationaal is. Wat is de juiste eerste regel?
1. a)Stel dat $3$ irrationaal is
2. b)Stel dat $\sqrt{3}$ rationaal is
3. c)Stel dat $\sqrt{3} = 3$
4. d)Stel dat $\sqrt{3}$ irrationaal is
Antwoord: Stel dat $\sqrt{3}$ rationaal is
De bewering is " $\sqrt{3}$ is irrationaal", dus de negatie is " $\sqrt{3}$ is rationaal". De bewering zelf aannemen zou een cirkelredenering zijn.
2.
Wat is het kleinste aantal mensen dat je nodig hebt zodat er zeker twee in dezelfde maand geboren zijn?
Antwoord: 13
Met 12 mensen kunnen alle maanden verschillend zijn. Met 13 zou de aanname dat alle maanden verschillen 13 maanden vragen, maar er zijn er maar 12. Het antwoord is dus $13$ .
3.
Welke bewering is onwaar voor elke waarheidswaarde van $p$ , en is dus een tegenspraak?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
Antwoord: $p \land \neg p$
$p \land \neg p$ vraagt dat $p$ en zijn tegendeel tegelijk waar zijn, wat nooit gebeurt, dus het is F in elke rij. $p \lor \neg p$ en $p \Rightarrow p$ zijn altijd waar, en $\neg\neg p$ heeft dezelfde waarde als $p$ .
4.
Iemand beweert dat $N = 100$ het grootste even getal is. Volg het bewijs om te laten zien dat de bewering onwaar is.
Antwoord: 102
1. Schrijf $100 = 2k$ . Wat is $k$ ? 50
2. Wat is $N + 2$ ? 102
3. Schrijf $N + 2 = 2(k + 1)$ . Wat is $k + 1$ ? 51
5.
In het bewijs dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, kwadrateer je $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ en vermenigvuldig je met $b^2$ . Je krijgt $a^2 = k \cdot b^2$ . Wat is $k$ ?
Antwoord: 2
Kwadrateren geeft $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , en vermenigvuldigen met $b^2$ geeft $a^2 = 2b^2$ , dus $k = 2$ . Dit laat zien dat $a^2$ even is.
6.
Laat met het ladenprincipe zien dat in een groep van 13 mensen een geboortemaand gedeeld wordt.
Antwoord: 2
1. Hoeveel maanden (laden) zijn er? 12
2. Hoeveel mensen kunnen hoogstens allemaal een andere geboortemaand hebben? 12
3. Als er in elke maand één persoon staat, hoeveel van de 13 mensen blijven er over? 1
4. Hoeveel mensen heeft de drukste maand dus minstens? 2
7.
Wat is de juiste negatie van "Elk priemgetal is oneven"?
1. a)Elk priemgetal is even
2. b)Elk oneven getal is een priemgetal
3. c)Geen enkel priemgetal is oneven
4. d)Minstens één priemgetal is niet oneven
Antwoord: Minstens één priemgetal is niet oneven
De negatie van "elk ... is oneven" is "minstens één ... is niet oneven". Hier is de negatie zelfs waar: $2$ is een priemgetal dat niet oneven is.
8.
Je wilt $x > 5$ uit het ongerijmde bewijzen. Wat neem je aan?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
Antwoord: $x \le 5$
$x > 5$ is onwaar precies wanneer $x < 5$ of $x = 5$ , dus $x \le 5$ . Alleen $x < 5$ aannemen zou het geval $x = 5$ openlaten.
9.
In een doos liggen losse handschoenen in 7 verschillende kleuren. Hoeveel handschoenen moet je blind pakken om zeker twee van dezelfde kleur te hebben?
Antwoord: 8
7 handschoenen kunnen allemaal een andere kleur hebben. Bij 8 zou de aanname dat alle kleuren verschillen 8 kleuren vragen, maar er zijn er maar 7. Dus $8$ handschoenen garanderen een paar.
10.
Laat met de rekenmachine zien dat $\sqrt{2}$ strikt tussen $1{,}4142$ en $1{,}4143$ ligt, en dus aan geen van beide gelijk is.
Antwoord: 0
1. Wat is $1{,}4142^2$ ? 1.99996164
2. Wat is $1{,}4143^2$ ? 2.00024449
3. Hoeveel van deze twee kwadraten zijn precies gelijk aan 2? 0
11.
Iemand beweert dat $\frac{1}{1000}$ het kleinste positieve rationale getal is. Halveer het zoals in het bewijs. Welk kleiner positief rationaal getal krijg je? Schrijf het als breuk.
Antwoord: 1/2000
$\frac{1}{1000} : 2 = \frac{1}{2000}$ , en dat is positief, rationaal en kleiner dan $\frac{1}{1000}$ . De bewering is dus onwaar, en hetzelfde trucje werkt voor elke kandidaat.
12.
Hoeveel mensen garanderen dat er twee op dezelfde dag jarig zijn (dag en maand), als 29 februari als mogelijke verjaardag meetelt?
Antwoord: 367
1. Hoeveel mogelijke verjaardagen zijn er, 29 februari meegeteld? 366
2. Hoeveel mensen kunnen hoogstens allemaal een andere verjaardag hebben? 366
3. Hoeveel mensen garanderen een gedeelde verjaardag? 367
13.
Voer het bewijs van Euclides uit met de lijst priemgetallen $2, 3, 5$ : maak $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ en controleer dat geen priemgetal van de lijst het deelt.
Antwoord: 31
1. Wat is $2 \cdot 3 \cdot 5$ ? 30
2. Wat is $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ ? 31
3. Wat is de rest als je $31$ deelt door $3$ ? 1
4. Wat is de rest als je $31$ deelt door $5$ ? 1
14.
Bereken in het bewijs van Euclides $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ voor de eerste vijf priemgetallen.
Antwoord: 2311
$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ , dus $N = 2311$ . Delen van $2311$ door 2, 3, 5, 7 of 11 geeft altijd rest 1, dus de priemfactoren staan niet op de lijst (hier is $2311$ toevallig zelf een priemgetal).
15.
Met de priemgetallen $2, 3, 5, 7, 11, 13$ is het getal van Euclides $N = 30031 = 59 \times 509$ , en dat is geen priemgetal. Wat betekent dit voor het bewijs?
1. a)Het bewijs faalt, omdat $N$ geen priemgetal is
2. b)Er zijn maar zes priemgetallen
3. c) $N$ heeft priemfactoren die niet op de lijst staan, dus het bewijs werkt
4. d) $59$ is het grootste priemgetal
Antwoord: $N$ heeft priemfactoren die niet op de lijst staan, dus het bewijs werkt
Het bewijs beweert nergens dat $N$ een priemgetal is. Het heeft alleen een priemfactor van $N$ nodig die op de lijst ontbreekt, en $59$ en $509$ zijn precies zulke priemgetallen. Het bewijs werkt dus nog steeds.
16.
Volg het bewijs dat $\sqrt{2}$ irrationaal is. Neem $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ volledig vereenvoudigd aan en vul de getallen in.
Antwoord: 2
1. Kwadrateren geeft $a^2 = m \cdot b^2$ . Wat is $m$ ? 2
2. $a$ is even, dus $a = 2k$ . Dan is $a^2 = m \cdot k^2$ . Wat is $m$ ? 4
3. Uit $4k^2 = 2b^2$ volgt $b^2 = m \cdot k^2$ . Wat is $m$ ? 2
4. Door welk getal zijn $a$ en $b$ dus allebei deelbaar? 2
17.
Bewijs op dezelfde manier dat $\sqrt{3}$ irrationaal is. Neem $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ volledig vereenvoudigd aan en vul de getallen in. Gebruik dat als een priemgetal $a^2$ deelt, het ook $a$ deelt.
Antwoord: 3
1. Kwadrateren geeft $a^2 = m \cdot b^2$ . Wat is $m$ ? 3
2. $3$ deelt $a$ , dus $a = 3k$ . Dan is $a^2 = m \cdot k^2$ . Wat is $m$ ? 9
3. Uit $9k^2 = 3b^2$ volgt $b^2 = m \cdot k^2$ . Wat is $m$ ? 3
4. Door welk priemgetal zijn $a$ en $b$ dus allebei deelbaar? 3
18.
Voer het bewijs van Euclides uit met de priemgetallen $2, 3, 5, 7, 11, 13$ en vind de priemfactoren van $N$ .
Antwoord: 509
1. Wat is $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ? 30030
2. Wat is $N$ , het product plus 1? 30031
3. Wat is de rest als je $N$ deelt door $13$ ? 1
4. $N = 59 \times q$ . Wat is $q$ ? 509