Docentenhandleiding: Inhoud van piramides

Leer de inhoud van piramides met een vierkant, rechthoekig of driehoekig grondvlak berekenen met V = (1/3)Bh, en de hoogte vinden uit de schuine hoogte.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Volume & Inhoud. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De inhoud van piramides met een vierkant, rechthoekig of driehoekig grondvlak berekenen met V = (1/3)Bh
Uitleggen waarom een piramide een derde van de inhoud heeft van een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte
De loodrechte hoogte en de schuine hoogte onderscheiden en de hoogte vinden met de stelling van Pythagoras
Een ontbrekende hoogte of zijde van het grondvlak vinden als de inhoud bekend is
De inhoud van piramides toepassen op echte voorwerpen zoals bouwwerken, tenten en daken

Vereisten

• Inhoud van balken (V = l × w × h)
• Inhoud van kubussen (V = s³)
• Oppervlakte van vierkanten, rechthoeken en driehoeken
• De stelling van Pythagoras en wortels
• Eenvoudige vergelijkingen oplossen

Discussiestarters

1. Hoeveel piramides zand denk je dat er nodig zijn om een doos met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte te vullen, zonder te meten? Waarom?
2. Waarom is de schuine hoogte van een piramide altijd langer dan de loodrechte hoogte?
3. Als je de hoogte van een piramide verdubbelt, wat gebeurt er dan met de inhoud? En als je de zijde van het vierkante grondvlak verdubbelt?
4. Hoe konden de oude Egyptenaren schatten hoeveel stenen blokken ze nodig hadden?

Veelvoorkomende misvattingen

Een piramide bevat de helft van het bijpassende prisma, zoals een driehoek de helft van een rechthoek is

Herstel: Doe de overgietproef met zand: er zijn drie piramides nodig, geen twee. Wijs erop dat een piramide in twee richtingen tegelijk smaller wordt, niet in één.

De hoogte van een piramide is de lengte gemeten langs een zijvlak

Herstel: Zet in een papieren model een liniaal rechtop van de top tot de tafel. Vergelijk die met een liniaal die op het zijvlak ligt en laat de rechthoekige driehoek zien die ze vormen.

Een driezijdige piramide heeft maar één hoogte

Herstel: Kleur de hoogte van de grondvlakdriehoek (op de vloer) en de hoogte van de piramide (staand) in verschillende kleuren. Laat leerlingen beide benoemen voordat ze rekenen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met vierkante grondvlakken en alleen hele getallen
• Een tabel met drie kolommen gebruiken: oppervlakte grondvlak, keer hoogte, gedeeld door 3
• Papieren bouwplaten geven om een piramide en een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte te bouwen

Voor leerlingen op niveau:

• Vierkante, rechthoekige en driehoekige grondvlakken door elkaar
• De hoogte of de zijde van het grondvlak vinden uit een gegeven inhoud
• Echte opgaven oplossen met tenten, daken en bouwwerken

Voor gevorderde leerlingen:

• De hoogte vinden uit de schuine hoogte of een opstaande ribbe met Pythagoras
• Onderzoeken hoe de inhoud verandert als de zijde of de hoogte groter wordt
• Laten zien hoe een kubus in drie gelijke piramides verdeeld kan worden

Standaarduitlijning

HSG.GMD.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GMD.A.3)
Inhoudsformules van cilinders, piramides, kegels en bollen gebruiken om problemen op te lossen
HSG.GMD.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GMD.A.1)
Een informele redenering geven voor de inhoudsformules van een cilinder, een piramide en een kegel
8.G.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.7)
De stelling van Pythagoras toepassen om onbekende zijden in rechthoekige driehoeken te vinden in praktische en wiskundige problemen in twee en drie dimensies

Lesbronnen

visual3D-figurenviewer
Vergelijk een piramide en een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte en bekijk hun inhoud
activityDrie piramides vullen een prisma
Leerlingen gieten zand of rijst uit een holle piramide in een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte en tellen hoe vaak
worksheetOefenen met de inhoud van piramides
Vierkante, rechthoekige en driehoekige grondvlakken, schuine hoogte en opgaven met een ontbrekende maat

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een piramide is een ruimtefiguur met één plat grondvlak (een veelhoek) en driehoekige zijvlakken die allemaal bovenaan in één punt samenkomen, de top.

De inhoud (het volume) van elke piramide volgt één regel:

V = \frac{1}{3}Bh

Waarbij:

$B$ = de oppervlakte van het grondvlak (in Nederlandse boeken vaak $G$ ; bereken die altijd eerst)
$h$ = de hoogte van de piramide: de loodrechte afstand van de top tot het grondvlak

B voor verschillende grondvlakken

Grondvlak	Oppervlakte $B$	Inhoud
Vierkant, zijde $s$	$B = s^2$	$V = \frac{1}{3}s^2h$
Rechthoek, $l$ bij $w$	$B = l \times w$	$V = \frac{1}{3}lwh$
Driehoek, basis $b$ , hoogte $h_b$	$B = \frac{1}{2} \times b \times h_b$	$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h$

Waarom een derde?

Neem een prisma en een piramide met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. De piramide bevat precies een derde van het prisma: je kunt drie volle piramides zand in het prisma gieten. Dus

V_{\text{piramide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prisma}} = \frac{1}{3}Bh

Hoogte en schuine hoogte

De schuine hoogte

l

loopt over een driehoekig zijvlak, van de top tot het midden van een ribbe van het grondvlak. Die is langer dan

h

. Bij een vierkante piramide vormen

h

, de halve zijde en

l

een rechthoekige driehoek, dus

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Uitgewerkte voorbeelden

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van $6$ cm en een hoogte van $10$ cm. Wat is de inhoud?

Bereken de oppervlakte van het grondvlak

$B = s^2 = 6^2 = 36$ → $B = 36$ cm²

Vermenigvuldig met de hoogte

$B \times h = 36 \times 10 = 360$ → $360$ (dit zou het prisma zijn)

Neem een derde

$V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ → $V = 120$ cm³

Antwoord: De inhoud is $120$ cm³.

Veelgemaakte fouten

De $\frac{1}{3}$ vergeten en $V = Bh$ rekenen

Waarom het fout is: $Bh$ is de inhoud van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Een piramide vult daar maar een derde van.

Correct: Eindig altijd met $\div 3$ : een vierkante piramide met $s = 6$ en $h = 10$ heeft $V = 360 \div 3 = 120$ , niet $360$ .

De schuine hoogte gebruiken in plaats van de loodrechte hoogte

Waarom het fout is: De schuine hoogte loopt over een schuin zijvlak en is dus langer dan de echte hoogte. Dan wordt de inhoud te groot.

Correct: Gebruik de hoogte die loodrecht op het grondvlak staat. Als alleen de schuine hoogte gegeven is, vind je $h$ met $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$ .

Een zijde invullen in plaats van de oppervlakte van het grondvlak

Waarom het fout is: $B$ is een oppervlakte, geen lengte. Wie voor een vierkant grondvlak met zijde $6$ gewoon $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ schrijft, laat een hele factor weg.

Correct: Bereken eerst $B$ : $B = 6^2 = 36$ , daarna $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$ .

De $\frac{1}{2}$ vergeten bij een driehoekig grondvlak

Waarom het fout is: De oppervlakte van een driehoek is de helft van basis keer hoogte, dus $b \times h_b$ alleen is twee keer te groot.

Correct: Voor een driehoekig grondvlak met $b = 6$ en $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ , niet $24$ .

Waarom het belangrijk is

Piramidevormen zie je overal, en hun inhoud vertelt je hoeveel ruimte, lucht of materiaal erin zit:

Oude bouwwerken: de piramide van Cheops in Gizeh bevat ongeveer 2,6 miljoen kubieke meter steen
Moderne gebouwen: de glazen piramide van het Louvre in Parijs heeft een inhoud van ongeveer $9000$ m³ lucht die verwarmd of gekoeld moet worden
Kamperen: de inhoud van een piramidetent vertelt je hoeveel ruimte je binnen hebt
Daken: bouwers schatten de zolderruimte en de te verwarmen lucht onder een piramidedak
Verpakkingen en eten: piramidetheezakjes, bonbons en kaarsen

Hetzelfde idee van een derde geeft ook de inhoud van een kegel, dus wat je hier leert helpt je bij elke puntige ruimtefiguur.

Toepassingen in de echte wereld

De piramide van Cheops in Gizeh

Historici schatten hoeveel steen de Egyptenaren verplaatsten door de piramide van Cheops als vierkante piramide te behandelen.

Voorbeeld:

Toen ze gebouwd werd, had de piramide een vierkant grondvlak met zijden van ongeveer $230$ m en was ze ongeveer $147$ m hoog.

1Probeer het zelf

Neem voor de piramide van Cheops een vierkant grondvlak met zijden van $230$ m en een hoogte van $147$ m.

Wat was de inhoud in kubieke meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Oppervlakte grondvlak keer hoogte, gedeeld door 3:

Piramidetenten

Makers van kampeerspullen geven de binneninhoud van tenten op, zodat je kunt vergelijken hoe ruim ze zijn.

Voorbeeld:

Een tent met een vierkante vloer van $2$ m bij $2$ m en een middenpaal van $1{,}5$ m is een vierkante piramide.

2Probeer het zelf

Een piramidetent heeft een vierkante vloer met zijden van $2$ m. De middenpaal is $1{,}5$ m hoog.

Hoeveel lucht zit er in de tent?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 2^2 \times 1{,}5$ :

Piramidedaken

Installateurs hebben de inhoud van de lucht onder een dak nodig om een verwarming of ventilator goed te kiezen.

Voorbeeld:

Een piramidedak (schilddak dat in één punt eindigt) staat op een huis met een rechthoekige plattegrond.

3Probeer het zelf

Een piramidedak bedekt een rechthoekig huis van $10$ m bij $9$ m. De top van het dak ligt $4$ m boven het plafond.

Wat is de inhoud van de zolderruimte?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 10 \times 9 \times 4$ :

Belangrijke punten

1De inhoud van elke piramide is $V = \frac{1}{3}Bh$ , met $B$ de oppervlakte van het grondvlak en $h$ de loodrechte hoogte
2Bereken eerst $B$ : $s^2$ bij een vierkant, $l \times w$ bij een rechthoek, $\frac{1}{2} \times b \times h_b$ bij een driehoek
3Een piramide bevat precies een derde van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte
4Gebruik de loodrechte hoogte, niet de schuine hoogte; vind die zo nodig met $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$
5Om de hoogte uit de inhoud te vinden, gebruik je $h = \frac{3V}{B}$
6De inhoud heeft altijd een kubieke eenheid (cm³, m³)

Veelgestelde vragen

Waarom staat er $\frac{1}{3}$ in de formule?

Een piramide loopt naar een punt toe, dus er past minder in dan in een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Proeven met zand of water laten zien dat precies drie piramides het prisma vullen. Je kunt het ook bewijzen: een kubus kun je verdelen in drie gelijke piramides die elk een zijvlak van de kubus als grondvlak hebben.

Heeft de formule van de kegel er iets mee te maken?

Ja. Een kegel is als een piramide met een cirkel als grondvlak:

V = \frac{1}{3}Bh

met

B = \pi r^2

geeft

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

, dezelfde regel van een derde.

Werkt de formule ook als de top niet boven het midden van het grondvlak staat?

Ja. Een scheve piramide heeft dezelfde inhoud als een rechte met hetzelfde grondvlak en dezelfde loodrechte hoogte. Meet

h

wel loodrecht, van het vlak van het grondvlak tot de top.

En als het grondvlak 5 of 6 hoeken heeft?

De formule

V = \frac{1}{3}Bh

werkt voor elk grondvlak. Alleen de manier waarop je

B

vindt verandert: verdeel de veelhoek in driehoeken of gebruik de oppervlakteformule, vermenigvuldig dan met

h

en deel door 3.

Woordenlijst

Piramide: Een ruimtefiguur met een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken die in één punt (de top) samenkomen
Top: Het hoogste punt van een piramide, waar alle driehoekige zijvlakken samenkomen
Oppervlakte grondvlak (B): De oppervlakte van het grondvlak van de piramide, gemeten in vierkante eenheden
Hoogte (h): De afstand van de top tot het grondvlak, loodrecht op het grondvlak gemeten
Schuine hoogte (l): De afstand van de top tot het midden van een ribbe van het grondvlak, gemeten over een driehoekig zijvlak (ook apothema)

Formulekaart

Elke piramide

V = \frac{1}{3}Bh

Een derde van de oppervlakte van het grondvlak keer de loodrechte hoogte

Vierkant grondvlak

V = \frac{1}{3}s^2h

De oppervlakte van het grondvlak is de zijde in het kwadraat

Rechthoekig grondvlak

V = \frac{1}{3}lwh

De oppervlakte van het grondvlak is lengte keer breedte

Driehoekig grondvlak

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h

De helft van de basis van de driehoek keer de hoogte geeft B

Hoogte uit schuine hoogte

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pythagoras in een vierkante piramide

Hoogte uit inhoud

h = \frac{3V}{B}

Vermenigvuldig de inhoud met 3 en deel door de oppervlakte van het grondvlak

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Inhoud van piramides

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

B voor verschillende grondvlakken

Waarom een derde?

Hoogte en schuine hoogte

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

De piramide van Cheops in Gizeh

Piramidetenten

Piramidedaken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Elke piramide

Vierkant grondvlak

Rechthoekig grondvlak

Driehoekig grondvlak

Hoogte uit schuine hoogte

Hoogte uit inhoud

Meer over dit onderwerp

Introductie tot volume

Metrische volume-eenheden (mL, L)

Inhoud van balken

Imperiale inhoudsmaten (cup, pint, gallon)