Inhoud van bollen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Met welke formule bereken je de inhoud van een bol met straal $r$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = 4\pi r^2$
Antwoord: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
De inhoud van een bol is $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $4\pi r^2$ heeft alleen $r^2$ (dat is geen inhoud), $\pi r^2 h$ is de cilinder en $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ de kegel.
2.
Een bol heeft een straal van $3$ cm. De inhoud is $V = \square\,\pi$ cm³. Welk getal hoort in het hokje?
Antwoord: 36
$r^3 = 27$ en $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ , dus $V = 36\pi$ cm³.
3.
Een bal heeft een diameter van $10$ cm. Welke waarde van $r$ vul je in bij $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ?
1. a) $2{,}5$ cm
2. b) $5$ cm
3. c) $20$ cm
4. d) $10$ cm
Antwoord: $5$ cm
$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. Met $10$ zou de inhoud $8$ keer te groot zijn.
4.
Bereken de inhoud van een bol met straal $6$ m. Laat het antwoord uitgedrukt in $\pi$ staan.
Antwoord: $288\pi$ m³
1. Wat is $r^3 = 6^3$ ? 216
2. Wat is $\frac{4}{3} \times 216$ ? 288
5.
Een bol heeft een inhoud van $500$ cm³. Hij wordt precies doormidden gesneden door het middelpunt. Wat is de inhoud van één halve bol, in cm³?
Antwoord: 250
De halve bol heeft dezelfde straal, maar de helft van de inhoud: $500 \div 2 = 250$ cm³.
6.
Een bal heeft een diameter van $6$ cm. Bereken de inhoud met $\pi \approx 3{,}14$ . Rond af op honderdsten.
Antwoord: 113.04
1. Hoe groot is de straal in cm? 3
2. $V = \square\,\pi$ : wat is $\frac{4}{3} \times r^3$ ? 36
3. Wat is de inhoud in cm³ met $\pi \approx 3{,}14$ ? 113.04
7.
De straal van een bol wordt verdubbeld. Wat gebeurt er met de inhoud?
1. a)Hij verdubbelt
2. b)Hij wordt 8 keer zo groot
3. c)Hij wordt 4 keer zo groot
4. d)Hij wordt 6 keer zo groot
Antwoord: Hij wordt 8 keer zo groot
$(2r)^3 = 8r^3$ , dus de inhoud wordt met $2^3 = 8$ vermenigvuldigd. Voorbeeld: $r = 1$ geeft $\frac{4}{3}\pi$ , $r = 2$ geeft $\frac{32}{3}\pi$ .
8.
Een knikker heeft een straal van $1{,}5$ cm. De inhoud is $V = \square\,\pi$ cm³. Welk getal hoort in het hokje? (Schrijf het als decimaal getal.)
Antwoord: 4.5
$r^3 = 3{,}375$ en $\frac{4}{3} \times 3{,}375 = 4{,}5$ , dus $V = 4{,}5\pi$ cm³ (ongeveer $14{,}13$ cm³ met $3{,}14$ ).
9.
Een slakom is een halve bol met een binnenstraal van $9$ cm. Hoeveel past erin? Reken met $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op honderdsten.
Antwoord: 1526.04
1. Wat is $r^3 = 9^3$ ? 729
2. Halve bol: $V = \square\,\pi$ . Wat is $\frac{2}{3} \times 729$ ? 486
3. Wat is de inhoud in cm³ met $\pi \approx 3{,}14$ ? 1526.04
10.
Een bol heeft een inhoud van $288\pi$ cm³. Hoe groot is de straal in cm?
Antwoord: 6
$\frac{4}{3} r^3 = 288$ , dus $r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$ en $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.
11.
Een bol past precies in een cilinder (dezelfde straal, en de hoogte van de cilinder is gelijk aan de diameter van de bol). Welk deel van de inhoud van de cilinder vult de bol?
1. a) $\frac{1}{3}$
2. b) $\frac{2}{3}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{1}{2}$
Antwoord: $\frac{2}{3}$
Cilinder: $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Bol: $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Verhouding: $\frac{4}{3} \div 2 = \frac{2}{3}$ . Dat is het beroemde resultaat van Archimedes.
12.
Een basketbal heeft een diameter van $24$ cm. Bereken de inhoud met $\pi \approx 3{,}14$ . Rond af op hele cm³.
Antwoord: 7235
1. Hoe groot is de straal in cm? 12
2. Wat is $12^3$ ? 1728
3. $V = \square\,\pi$ : wat is $\frac{4}{3} \times 1728$ ? 2304
4. Wat is de inhoud in cm³, afgerond op een heel getal? 7235
13.
Een ronde watertank is een bol met een diameter van $2$ m. Bereken de inhoud met $\pi \approx 3{,}14$ . Rond af op honderdsten m³.
Antwoord: 4.19
1. Hoe groot is de straal in m? 1
2. Wat is $r^3$ ? 1
3. Wat is $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1$ , afgerond op honderdsten? 4.19
14.
Een bol heeft een inhoud van $972\pi$ cm³. Bepaal de straal.
Antwoord: $r = 9$ cm
1. Deel beide kanten van $\frac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi$ door $\pi$ : $\frac{4}{3} r^3 = \square$ 972
2. Vermenigvuldig met $\frac{3}{4}$ : wat is $r^3$ ? 729
3. Neem de derdemachtswortel: hoe groot is $r$ in cm? 9
15.
Een bal met straal $6$ cm zit in een cilindervormige doos met straal $6$ cm en hoogte $12$ cm. Hoeveel lege ruimte blijft er in de doos over? Laat het antwoord uitgedrukt in $\pi$ staan.
Antwoord: $144\pi$ cm³
1. Cilinder: $V = \pi r^2 h = \square\,\pi$ . Wat is $6^2 \times 12$ ? 432
2. Bal: $V = \square\,\pi$ . Wat is $\frac{4}{3} \times 6^3$ ? 288
3. Lege ruimte $= \square\,\pi$ cm³. Wat is $432 - 288$ ? 144
16.
Waar past meer in: een bol met straal $3$ cm of een kubus met ribben van $5$ cm? (Reken met $\pi \approx 3{,}14$ .)
1. a)De bol
2. b)Dat kun je niet bepalen
3. c)Ze hebben dezelfde inhoud
4. d)De kubus
Antwoord: De kubus
Bol: $36\pi \approx 113{,}04$ cm³. Kubus: $5^3 = 125$ cm³. In de kubus past meer, ook al is de bol $6$ cm breed.
17.
Acht kleine chocoladebolletjes, elk met straal $1$ cm, worden gesmolten tot één grote bol. Hoe groot is de straal van de grote bol?
Antwoord: $R = 2$ cm
1. Eén klein bolletje: $V = \frac{4}{3}\pi \times \square$ . Wat is $1^3$ ? 1
2. Voor de grote bol geldt $\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi$ . Wat is $R^3$ ? 8
3. Hoe groot is $R$ in cm? 2
18.
Een koepel in de vorm van een halve bol heeft een inhoud van $144\pi$ m³. Hoe groot is de straal in m?
Antwoord: 6
$\frac{2}{3} r^3 = 144$ , dus $r^3 = 144 \times \frac{3}{2} = 216$ en $r = \sqrt[3]{216} = 6$ m.