Modulair rekenen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is $23 \bmod 5$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)3
4. d)18
Antwoord: 3
$23 = 4 \times 5 + 3$ , dus de rest is $3$ . De $4$ is het quotiënt, en $18$ is $23 - 5$ , niet de rest.
2.
Bereken $45 \bmod 7$ .
Antwoord: 3
$45 = 6 \times 7 + 3$ , dus $45 \bmod 7 = 3$ .
3.
Het is 8 uur. Wat wijst een 12-uursklok 7 uur later aan?
1. a)1 uur
2. b)11 uur
3. c)15 uur
4. d)3 uur
Antwoord: 3 uur
$8 + 7 = 15$ en $15 \bmod 12 = 3$ : de klok wijst 3 aan. 15 uur bestaat alleen op een 24-uursklok.
4.
Bereken $-5 \bmod 12$ (een rest van 0 tot en met 11).
Antwoord: 7
$-5 + 12 = 7$ , dus $-5 = (-1) \times 12 + 7$ en $-5 \bmod 12 = 7$ . Op een klok: 5 uur terug vanaf 12 is 7.
5.
Bereken $58 \bmod 9$ .
Antwoord: 4
1. Wat is het grootste veelvoud van 9 dat niet groter is dan 58? 54
2. Hoe vaak past 9 in 58 (het quotiënt)? 6
3. Wat is de rest $58 - 54$ ? 4
6.
De getallen $a$ en $b$ zijn allebei oneven. Wat zijn $(a + b) \bmod 2$ en $(a \times b) \bmod 2$ ?
1. a)1 en 1
2. b)0 en 1
3. c)0 en 0
4. d)1 en 0
Antwoord: 0 en 1
Oneven betekent rest 1 modulo 2. Som: $1 + 1 = 2 \equiv 0$ , dus oneven plus oneven is even. Product: $1 \times 1 = 1$ , dus oneven keer oneven is oneven. Voorbeeld: $3 + 5 = 8$ en $3 \times 5 = 15$ .
7.
Vandaag is het dinsdag. Welke dag van de week is het over 60 dagen?
1. a)zaterdag
2. b)donderdag
3. c)maandag
4. d)zondag
Antwoord: zaterdag
$60 = 8 \times 7 + 4$ : 60 dagen zijn 8 volle weken en 4 dagen. 4 dagen na dinsdag is het zaterdag.
8.
Het is 10 uur. Naar welk getal wijst de uurwijzer van een 12-uursklok 250 uur later? (Antwoord met een getal van 1 tot en met 12.)
Antwoord: 8
$250 \bmod 12 = 10$ , dan $10 + 10 = 20$ en $20 \bmod 12 = 8$ . De wijzer wijst naar 8.
9.
Bereken $(47 + 86) \bmod 9$ door eerst te herleiden.
Antwoord: 7
1. Wat is $47 \bmod 9$ ? 2
2. Wat is $86 \bmod 9$ ? 5
3. Wat is $(2 + 5) \bmod 9$ ? 7
10.
Bereken $(34 \times 29) \bmod 5$ door eerst te herleiden.
Antwoord: 1
1. Wat is $34 \bmod 5$ ? 4
2. Wat is $29 \bmod 5$ ? 4
3. Vermenigvuldig de resten: $4 \times 4 = ?$ 16
4. Wat is $16 \bmod 5$ ? 1
11.
Welke bewering is waar?
1. a) $17 \equiv 5 \pmod{8}$
2. b) $38 \equiv 14 \pmod{12}$
3. c) $25 \equiv 4 \pmod{6}$
4. d) $40 \equiv 2 \pmod{3}$
Antwoord: $38 \equiv 14 \pmod{12}$
$38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , dus $38 \equiv 14 \pmod{12}$ is waar. Maar $25 - 4 = 21$ is geen veelvoud van 6, $17 - 5 = 12$ geen veelvoud van 8 en $40 - 2 = 38$ geen veelvoud van 3.
12.
Controleer dat $83 \equiv 20 \pmod{9}$ en bepaal daarna de rest die beide getallen geven bij deling door 9.
Antwoord: 2
1. Wat is $83 - 20$ ? 63
2. Wat is $63 \bmod 9$ ? 0
3. Welke rest geven 83 en 20 allebei bij deling door 9? 2
13.
Het is 3 uur. Naar welk getal wees de uurwijzer van een 12-uursklok 40 uur geleden?
Antwoord: 11
1. Wat is $40 \bmod 12$ ? 4
2. Ga terug vanaf 3: wat is $3 - 4$ ? -1
3. Wat is $-1 \bmod 12$ ? 11
14.
Wat is het laatste cijfer van $7^{50}$ ?
Antwoord: 9
De laatste cijfers herhalen zich met cycluslengte 4: $7, 9, 3, 1$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ , dus $7^{50}$ eindigt net als $7^2 = 49$ : het laatste cijfer is 9.
15.
Wat is het laatste cijfer van $2^{2026}$ ?
Antwoord: 4
1. De laatste cijfers van $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ zijn $2, 4, 8, 6, 2$ . Wat is de cycluslengte? 4
2. Wat is $2026 \bmod 4$ ? 2
3. Dus $2^{2026}$ eindigt net als $2^2$ . Wat is het laatste cijfer? 4
16.
Bepaal het EAN-13-controlecijfer voor de 12 cijfers $590123412345$ . Cijfers op oneven posities tellen één keer, cijfers op even posities drie keer, en het controlecijfer maakt het totaal een veelvoud van 10.
Antwoord: 7
1. Tel de cijfers op de oneven posities op (1e, 3e, ..., 11e). 17
2. Tel de cijfers op de even posities op en vermenigvuldig de som met 3. 66
3. Wat is $(17 + 66) \bmod 10$ ? 3
4. Welk cijfer vult het totaal aan tot een veelvoud van 10? 7
17.
Een ISBN-10 begint met de 9 cijfers 0-306-40615. Vermenigvuldig deze cijfers met $10, 9, 8, \ldots, 2$ en tel op. Het controlecijfer $x$ (gewicht 1) maakt het totaal een veelvoud van 11. Bepaal $x$ .
Antwoord: 2
1. Bereken $10 \times 0 + 9 \times 3 + 8 \times 0 + 7 \times 6 + 6 \times 4$ . 93
2. Tel $5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 1 + 2 \times 5$ erbij op. Wat is de volledige gewogen som? 130
3. Wat is $130 \bmod 11$ ? 9
4. Welk cijfer $x$ maakt $9 + x$ een veelvoud van 11? 2
18.
Wat is $5^{100} \bmod 7$ ?
Antwoord: 2
De cyclus heeft lengte 6. $100 = 16 \times 6 + 4$ , dus $5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ . $5^4 = 625 = 89 \times 7 + 2$ , dus de rest is 2.