Docentenhandleiding: Modulair rekenen

Leer klokrekenen: resten, a mod n, congruentie modulo n en hoe je ze gebruikt voor weekdagen, controlecijfers en het laatste cijfer van enorme machten.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Getalseigenschappen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$a \bmod n$ bepalen voor positieve en negatieve gehele getallen
Met resten of het verschil beslissen of twee getallen congruent modulo $n$ zijn
Modulo $n$ optellen, aftrekken en vermenigvuldigen door de getallen eerst te herleiden
Klok- en kalenderopgaven oplossen met modulus 12, 24 en 7
Cycli van machten en controlecijfers (EAN-13, ISBN-10) gebruiken als toepassingen van modulair rekenen

Vereisten

• Delen met rest bij gehele getallen
• Even en oneven getallen (les 1 van dit onderwerp): even en oneven zijn de resten 0 en 1 modulo 2
• Veelvouden, delers en deelbaarheid
• Machten met natuurlijke exponenten

Discussiestarters

1. Een klok wijst 9 aan. Wat wijst hij over 100 uur aan, en hoe vind je dat zonder uur voor uur te tellen?
2. Waarom herhalen de weekdagen zich elke 7 dagen, en wat heeft dat met resten te maken?
3. Is $-1$ congruent met $11$ modulo 12? Wat betekent dat op een klok?
4. Hoe kan een streepjescodescanner merken dat een cijfer verkeerd gelezen is?

Veelvoorkomende misvattingen

De uitkomst van $a \bmod n$ is het quotiënt van de deling

Herstel: Laat altijd de hele regel $a = q \times n + r$ opschrijven en $r$ omcirkelen. Op de wijzerplaat is het quotiënt het aantal rondes en de rest de plek waar de wijzer stopt.

De rest van een negatief getal is negatief ( $-3 \bmod 12 = -3$ )

Herstel: Laat leerlingen de wijzer achteruit draaien: 3 uur terug vanaf 12 is 9. Laat daarna de regel zien: tel 12 erbij op tot het getal tussen 0 en 11 ligt.

Congruent betekent gelijk, dus $38 \equiv 14 \pmod{12}$ moet onwaar zijn

Herstel: Laat beide getallen zien op de congruentie-wijzerplaat: ze komen op dezelfde plek uit. Congruent betekent dezelfde rest, en het verschil $24$ is een veelvoud van 12.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Eerst alleen met de klok (modulus 12) en kleine aantallen uren werken voordat andere moduli aan bod komen
• Een geprinte wijzerplaat gebruiken en een pion stap voor stap verplaatsen voordat er gedeeld wordt
• De regel $a = q \times n + r$ oefenen met een tafelkaart erbij

Voor leerlingen op niveau:

• Weekdagopgaven oplossen voor 100, 365 en 1000 dagen
• In sommen en producten eerst herleiden en daarna controleren met de rekenmachine en mod(a, n)
• De cyclus van laatste cijfers bepalen voor machten van 2, 3, 7 en 9

Voor gevorderde leerlingen:

• De regel voor eerst herleiden bij producten bewijzen met $a = pn + r$ en $b = qn + s$
• Laten zien dat de ISBN-10-controle elk enkel fout cijfer ontdekt, omdat 11 een priemgetal is
• Alle oplossingen van $3x \equiv 1 \pmod{7}$ vinden en uitleggen waarom $2x \equiv 1 \pmod{6}$ er geen heeft

Standaarduitlijning

6.NS.B.2 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2)
Vlot meercijferige getallen delen met de standaardmethode (staartdeling)
4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Alle delerparen van een geheel getal vinden en veelvouden herkennen
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Structuur zoeken en gebruiken
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Regelmaat in herhaalde redeneringen zoeken en verwoorden

Lesbronnen

visualInteractieve modulo-klok
Leerlingen tellen 100 uur of 100 dagen op op een wijzerplaat, tellen de rondes en lezen de rest af
activityKalenderdetectives
In tweetallen zoeken leerlingen de weekdag van hun verjaardag volgend jaar en van een datum over 1000 dagen, en controleren dat met een echte kalender
worksheetControlecijferlab
Leerlingen controleren echte streepjescodes en ISBN's van boeken uit de klas en ontdekken welke een tikfout bevat

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Modulair rekenen is rekenen met resten. Je kiest een vast geheel getal

n \geq 2

, de modulus, en van een getal houd je alleen de rest bij deling door

n

a = q \times n + r, \qquad a \bmod n = r, \qquad 0 \leq r \leq n - 1

Bijvoorbeeld

17 \bmod 5 = 2

, want

17 = 3 \times 5 + 2

Twee getallen zijn congruent modulo n als ze dezelfde rest geven. Dat is hetzelfde als zeggen dat

n

een deler is van hun verschil:

a \equiv b \pmod{n} \iff n \text{ deelt } a - b

Dus

38 \equiv 14 \pmod{12}

, want

38 - 14 = 24 = 2 \times 12

(allebei rest

2

Een klok werkt precies zo: na 12 uur staat de wijzer weer op dezelfde plek, dus 15 uur en 3 uur zijn dezelfde plek,

15 \equiv 3 \pmod{12}

. In sommen, verschillen en producten mag je elk getal eerst door zijn rest vervangen en de uitkomst aan het eind nog een keer herleiden.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken

47 \bmod 6

Zoek het grootste veelvoud van 6 dat niet groter is dan 47

6 \times 7 = 42

, terwijl

6 \times 8 = 48

al te groot is →

42

Schrijf 47 als quotiënt keer 6 plus rest

47 = 7 \times 6 + 5

→ rest

5

Controleer dat de rest tussen 0 en 5 ligt

0 \leq 5 \leq 5

, dus het is een geldige rest →

47 \bmod 6 = 5

Antwoord: $47 \bmod 6 = 5$ , dus $47 \equiv 5 \pmod{6}$ . Het quotiënt $7$ hoort niet bij het antwoord.

Veelgemaakte fouten

$-3 \bmod 12 = -3$ (of $3$ ) schrijven

Waarom het fout is: Een rest moet een van de getallen $0, 1, \ldots, n - 1$ zijn. Als je vanaf 12 uur 3 uur teruggaat, kom je niet op een negatief getal uit en ook niet op 3.

Correct: Tel de modulus erbij op tot het getal in het bereik ligt: $-3 + 12 = 9$ , dus $-3 \bmod 12 = 9$ .

Zeggen dat 9 uur plus 4 uur op een 12-uursklok 13 uur is

Waarom het fout is: De som $9 + 4 = 13$ klopt, maar de laatste herleiding ontbreekt. Elke uitkomst moet nog een keer herleid worden.

Correct: $13 \bmod 12 = 1$ : de klok wijst 1 aan.

Het quotiënt geven in plaats van de rest: $47 \bmod 6 = 7$

Waarom het fout is: $47 : 6 = 7$ rest $5$ . De bewerking mod houdt alleen bij wat overblijft, niet hoe vaak 6 in 47 past.

Correct: $47 \bmod 6 = 5$ , want $47 = 7 \times 6 + 5$ .

De exponent herleiden met de modulus: $2^9 \bmod 7$ wordt $2^2 = 4$ omdat $9 \bmod 7 = 2$

Waarom het fout is: Het grondtal mag je modulo $n$ herleiden, de exponent niet. De exponent volgt de lengte van de cyclus van machten, en die is hier 3, niet 7.

Correct: Machten van 2 modulo 7 zijn $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (cycluslengte 3). $9 \bmod 3 = 0$ , dus $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$ . Controle: $512 = 73 \times 7 + 1$ .

Waarom het belangrijk is

Modulair rekenen is de wiskunde van alles wat rondgaat:

Tijd: klokken tellen modulo 12 of 24, weekdagen modulo 7. Hoe laat is het over 100 uur? Welke dag is het over 100 dagen?
Controlecijfers: het laatste cijfer van een streepjescode (EAN-13) wordt modulo 10 gekozen, dat van een ISBN-10 modulo 11, en de IBAN van een bankrekening wordt gecontroleerd modulo 97. Eén verkeerd getypt cijfer en de controle mislukt.
Enorme getallen: je kunt het laatste cijfer van $3^{100}$ (een getal van 48 cijfers) uit je hoofd vinden, want laatste cijfers zijn resten modulo 10 en die herhalen zich in een cyclus.
Informatica: hashtabellen, generatoren van willekeurige getallen en de RSA-versleuteling achter internetbankieren rekenen allemaal modulo $n$ .

Eén geval ken je al: even en oneven is gewoon rekenen modulo 2 (rest 0 of 1).

Toepassingen in de echte wereld

Kalenders: welke dag wordt het?

Een week heeft 7 dagen, dus de weekdagen herhalen zich modulo 7. Agenda-apps, dienstregelingen en verjaardagspuzzels gebruiken dat voortdurend.

Voorbeeld:

Een gewoon jaar heeft $365$ dagen en $365 = 52 \times 7 + 1$ . Een verjaardag die dit jaar op maandag valt, valt volgend jaar dus op dinsdag (tenzij er een 29 februari tussen zit).

1Probeer het zelf

Vandaag is het woensdag. Je uitwisseling begint over precies 100 dagen. Nummer de dagen maandag $= 0$ , dinsdag $= 1$ enzovoort tot zondag $= 6$ .

Op welke dag van de week begint de uitwisseling?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Kies de dag:

Streepjescodes en controlecijfers

Het laatste cijfer van elke EAN-13-streepjescode is een controlecijfer, gekozen met rekenen modulo 10. De scanner rekent het opnieuw uit en weigert een code met een verkeerd gelezen cijfer.

Voorbeeld:

Voor de boekcode $978030640615$ is de gewogen som (gewichten $1, 3, 1, 3, \ldots$ ) gelijk aan $93$ , en $93 \bmod 10 = 3$ . Het controlecijfer is $10 - 3 = 7$ , dus de volledige code is $9780306406157$ .

2Probeer het zelf

Een winkel maakt een productcode met de 12 cijfers $400123456789$ . De cijfers op de posities 1, 3, 5, ... tellen één keer, de cijfers op de posities 2, 4, 6, ... tellen drie keer. Het controlecijfer maakt het totaal een veelvoud van 10.

Wat is het controlecijfer?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Controlecijfer:

Ploegendienst en de 24-uursklok

Dienstregelingen van treinen, diensten in het ziekenhuis en vluchtschema's gebruiken de 24-uursklok, en dat is rekenen modulo 24.

Voorbeeld:

Een nachtdienst begint om 22:00 uur en duurt 9 uur: $22 + 9 = 31$ en $31 \bmod 24 = 7$ , dus hij eindigt om 07:00 uur.

3Probeer het zelf

Een machinetest in een fabriek begint om 19:00 uur en loopt 75 uur zonder pauze.

Op welk uur (0 tot en met 23) eindigt de test?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Einduur:

Belangrijke punten

1 $a \bmod n$ is de rest van $a : n$ en is altijd een van de getallen $0, 1, \ldots, n - 1$
2 $a \equiv b \pmod{n}$ betekent dat $a$ en $b$ dezelfde rest geven, en dat is hetzelfde als: $n$ deelt $a - b$
3Een klok rekent modulo 12, de 24-uursklok modulo 24, de weekdagen modulo 7 en even/oneven modulo 2
4In sommen, verschillen en producten mag je elk getal eerst herleiden en daarna de uitkomst nog een keer
5Bij een negatief getal tel je $n$ erbij op tot het in $0, \ldots, n - 1$ valt: $-3 \bmod 12 = 9$
6Machten herhalen zich modulo $n$ in cycli: bepaal de cycluslengte en herleid de exponent modulo die lengte, niet modulo $n$

Veelgestelde vragen

Is $a \bmod n$ dezelfde rest die mijn rekenmachine of computer laat zien?

Voor positieve getallen wel. Voor negatieve getallen geven veel programmeertalen een negatieve uitkomst, bijvoorbeeld

-3

voor

-3

gedeeld door

12

. In de wiskunde ligt de rest altijd tussen

0

n - 1

, dus

-3 \bmod 12 = 9

. De rekenmachine op deze pagina werkt zo: mod(-3, 12) geeft 9.

Wat betekent het teken $\equiv$ ?

Je leest het als ‘is congruent met’.

17 \equiv 5 \pmod{12}

zegt dat 17 en 5 bij deling door 12 dezelfde rest geven (allebei 5). Het is zwakker dan

=

: congruente getallen kunnen verschillende getallen zijn die op dezelfde plek van de wijzerplaat uitkomen.

Waarom mag ik de getallen eerst herleiden?

Schrijf

a = pn + r

b = qn + s

. Dan is

a + b = (p + q)n + (r + s)

a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs

. De delen met

n

zijn veelvouden van

n

en laten geen rest over, dus alleen

r + s

r \times s

bepalen de uitkomst.

Waar wordt modulair rekenen buiten school gebruikt?

Bij controlecijfers (streepjescodes, ISBN, de IBAN van een bankrekening, die modulo 97 gecontroleerd wordt), in de informatica (hashtabellen, generatoren van willekeurige getallen) en in de cryptografie: de RSA-methode die internetbankieren beveiligt, rekent met enorme getallen modulo een product van twee priemgetallen.

Woordenlijst

Modulus: Het vaste getal $n$ waardoor je deelt; de resten zijn $0, 1, \ldots, n - 1$ (12 bij een klok, 7 bij de weekdagen)
Rest: Wat er bij het delen overblijft: in $a = q \times n + r$ met $0 \leq r \leq n - 1$ is dat $r$
a mod n: De rest van $a$ bij deling door $n$ , bijvoorbeeld $17 \bmod 5 = 2$ en $-3 \bmod 12 = 9$
Congruent modulo n: Twee getallen met dezelfde rest modulo $n$ , genoteerd als $a \equiv b \pmod{n}$ ; gelijkwaardig: $n$ deelt $a - b$
Cycluslengte: Na hoeveel stappen de resten van machten zich gaan herhalen, bijvoorbeeld 4 voor de laatste cijfers van machten van 3
Controlecijfer: Een extra cijfer aan het eind van een code (streepjescode, ISBN), zo gekozen dat een gewogen som deelbaar is door 10 of 11

Formulekaart

Deling met rest

a = q \times n + r, \quad 0 \leq r \leq n - 1

$r$ is $a \bmod n$, $q$ is het quotiënt

Congruentie

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

Dezelfde rest, of: het verschil is een veelvoud van $n$

Eerst herleiden

(a + b) \bmod n = \big((a \bmod n) + (b \bmod n)\big) \bmod n

Hetzelfde geldt voor aftrekken en vermenigvuldigen

Negatieve getallen

x \bmod n = (x + k \times n) \bmod n

Tel een veelvoud van $n$ op tot het getal in $0, \ldots, n - 1$ valt: $-3 + 12 = 9$

Docentenhandleiding: Modulair rekenen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Kalenders: welke dag wordt het?

Streepjescodes en controlecijfers

Ploegendienst en de 24-uursklok

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Deling met rest

Congruentie

Eerst herleiden

Negatieve getallen

Meer over dit onderwerp

Even en oneven getallen

Kwadraten en kwadraatgetallen