Exponentiële afname

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke functie laat exponentiële afname zien?
1. a) $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
2. b) $y = 40 \cdot 1{,}2^t$
3. c) $y = 40 \cdot 3^t$
4. d) $y = 40 + 0{,}75t$
Antwoord: $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
In $y = 40 \cdot 0{,}75^t$ is het grondtal $0{,}75$ , en $0 < 0{,}75 < 1$ , dus het is afname ( $25\%$ per periode). $1{,}2$ en $3$ zijn grondtallen van groei, en $40 + 0{,}75t$ is lineair, niet exponentieel.
2.
Een hoeveelheid neemt elk jaar met $15\%$ af. Wat is de groeifactor $b$ ? Schrijf hem als decimaal getal.
Antwoord: 0.85
$b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Elk jaar blijft $85\%$ van de hoeveelheid over.
3.
Met hoeveel procent neemt $f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t$ per periode af?
1. a)6%
2. b)60%
3. c)0,4%
4. d)40%
Antwoord: 40%
$r = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 = 40\%$ . De functie houdt per periode $60\%$ over en verliest $40\%$ .
4.
Functie 1 is $y = 150 \cdot 1{,}04^t$ en functie 2 is $y = 150 \cdot 0{,}96^t$ . Welke laat afname zien?
Antwoord: 2
1. Wat is het grondtal van functie 1? 1.04
2. Wat is het grondtal van functie 2? 0.96
3. Met hoeveel procent neemt functie 2 per periode af? Typ alleen het getal. 4
4. Welke functie laat afname zien? Typ 1 of 2. 2
5.
Een exponentieel model heeft groeifactor $0{,}93$ . Wat is het afnamepercentage? Typ alleen het getal (bijvoorbeeld 5 voor $5\%$ ).
Antwoord: 7
$r = 1 - 0{,}93 = 0{,}07 = 7\%$ . De hoeveelheid verliest $7\%$ per periode.
6.
Een laptop kost 1000 € en verliest elk jaar $20\%$ van zijn waarde. Hoeveel is hij na 2 jaar waard (in €)?
Antwoord: 640
1. Wat is de groeifactor? 0.8
2. Bereken $0{,}8^2$ 0.64
3. Vermenigvuldig: $1000 \cdot 0{,}64$ 640
7.
Een telefoon kost 600 € en verliest elk jaar $20\%$ van zijn waarde. Welke uitdrukking geeft de waarde na $t$ jaar?
1. a) $600 \cdot 1{,}2^t$
2. b) $600 \cdot 0{,}8^t$
3. c) $600 - 0{,}2t$
4. d) $600 \cdot 0{,}2^t$
Antwoord: $600 \cdot 0{,}8^t$
$20\%$ verliezen betekent $80\%$ overhouden, dus de waarde is $600 \cdot 0{,}8^t$ . $0{,}2^t$ zou maar $20\%$ overhouden, $1{,}2^t$ is groei en $600 - 0{,}2t$ is lineair.
8.
Onderzoek het model $f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t$ en bereken $f(2)$ .
Antwoord: 980
1. Wat is de beginwaarde? 2000
2. Wat is de groeifactor? 0.7
3. Wat is het afnamepercentage? Typ alleen het getal. 30
4. Bereken $f(2)$ 980
9.
Een hoeveelheid verliest elke periode $20\%$ . Hoeveel procent van de beginhoeveelheid is er na 4 perioden over? Typ alleen het getal, met twee decimalen.
Antwoord: 40.96
$0{,}8^4 = 0{,}4096$ , dus er blijft $40{,}96\%$ van de beginhoeveelheid over, hoe groot die ook was.
10.
Een auto wordt gekocht voor 20000 € en verliest elk jaar $10\%$ van zijn waarde. Hoeveel is hij na 3 jaar waard (in €)?
Antwoord: 14580
1. Wat is de groeifactor? 0.9
2. Bereken $0{,}9^3$ 0.729
3. Vermenigvuldig: $20000 \cdot 0{,}729$ 14580
11.
Welke uitspraak over $y = 80 \cdot 0{,}75^t$ is NIET waar?
1. a)De beginwaarde is 80
2. b)Ze bereikt 0 na 4 perioden
3. c)Na één periode is y = 60
4. d)Ze neemt per periode met 25% af
Antwoord: Ze bereikt 0 na 4 perioden
De beginwaarde is $80$ , het percentage is $1 - 0{,}75 = 25\%$ , en $80 \cdot 0{,}75 = 60$ . Maar $80 \cdot 0{,}75^4 \approx 25{,}31$ , niet $0$ : exponentiële afname bereikt nooit nul.
12.
Een patiënt neemt 500 mg van een medicijn in. Het lichaam breekt elk uur $10\%$ af van wat er nog over is. Hoeveel milligram is er na 5 uur over? Rond af op hele milligrammen.
Antwoord: 295
1. Wat is de groeifactor? 0.9
2. Bereken $0{,}9^5$ , afgerond op vier decimalen 0.5905
3. Vermenigvuldig met 500 en rond af op hele milligrammen 295
13.
Een machine is 10000 € waard. Model A: ze verliest 1500 € per jaar. Model B: ze verliest $15\%$ per jaar. Welk model geeft na 5 jaar de hoogste waarde?
1. a)Model B (ongeveer 4437)
2. b)Beide geven dezelfde waarde
3. c)Model A (2500)
4. d)Beide zijn 0 waard
Antwoord: Model B (ongeveer 4437)
Model A: $10000 - 7500 = 2500$ . Model B: $10000 \cdot 0{,}85^5 \approx 10000 \cdot 0{,}4437 \approx 4437$ . Het exponentiële model is hoger, omdat de jaarlijkse verliezen kleiner worden.
14.
Koffie is $85°C$ in een kamer van $20°C$ . In een eenvoudig model wordt het verschil tussen de koffie en de kamer elke minuut $10\%$ kleiner. Hoe warm is de koffie na 3 minuten, in °C? Rond af op één decimaal.
Antwoord: 67.4
Verschil: $65 \cdot 0{,}9^3 = 65 \cdot 0{,}729 = 47{,}385$ . Temperatuur: $20 + 47{,}385 = 67{,}385 \approx 67{,}4°C$ .
15.
Een machine kost 12000 €. Plan A: ze verliest 1500 € per jaar. Plan B: ze verliest $20\%$ per jaar. Hoeveel euro is de waarde na 4 jaar bij plan A hoger dan bij plan B?
Antwoord: 1084.8
1. Wat is de waarde bij plan A na 4 jaar? 6000
2. Bereken $0{,}8^4$ 0.4096
3. Wat is de waarde bij plan B na 4 jaar? 4915.2
4. Hoeveel hoger is plan A? 1084.8
16.
De waarde van een fiets daalt in 2 jaar van 400 naar 324, met elk jaar hetzelfde percentage. Wat is de jaarlijkse procentuele afname? Typ alleen het getal.
Antwoord: 10
$b^2 = \frac{324}{400} = 0{,}81$ , dus $b = 0{,}9$ . Het afnamepercentage is $1 - 0{,}9 = 0{,}1 = 10\%$ . Controle: $400 \to 360 \to 324$ .
17.
Een scooter kost 1000 € en verliest elk jaar $20\%$ van zijn waarde. Na hoeveel hele jaren is hij voor het eerst minder dan 450 € waard?
Antwoord: 4
1. Waarde na 1 jaar? 800
2. Waarde na 2 jaar? 640
3. Waarde na 3 jaar? 512
4. Waarde na 4 jaar? 409.6
5. Na hoeveel hele jaren ligt de waarde voor het eerst onder 450? 4
18.
Een patiënt krijgt 800 mg van een medicijn. Elk uur breekt het lichaam $40\%$ af van wat er nog aanwezig is. Hoeveel milligram is er na 3 uur over, en welk percentage van de dosis is dat?
Antwoord: 172.8
1. Wat is de groeifactor? 0.6
2. Bereken $0{,}6^3$ 0.216
3. Hoeveel milligram is er over? 172.8
4. Welk percentage van de dosis is er over? Typ alleen het getal. 21.6