Toepassingsopgaven met exponentiële functies

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een telefoon verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Welke factor $b$ gebruik je in het model $V(t) = a \cdot b^t$ ?
1. a)0,15
2. b)1,15
3. c)0,85
4. d)85
Antwoord: 0,85
Afname: $b = 1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Elk jaar blijft 85% van de waarde over. $0{,}15$ is het percentage, niet de factor, en $1{,}15$ zou groei betekenen.
2.
Het aantal vissen in een meer wordt beschreven door $P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t$ , met $t$ in jaren. Wat vertelt het getal $1{,}04$ je?
1. a)De populatie groeit elk jaar met 4%
2. b)De populatie groeit elk jaar met 104%
3. c)De populatie groeit elk jaar met 4 vissen
4. d)In het begin zijn er 1,04 vissen
Antwoord: De populatie groeit elk jaar met 4%
$1{,}04 = 1 + 0{,}04$ , dus de populatie wordt elk jaar met $1{,}04$ vermenigvuldigd: ze groeit met 4% per jaar. De beginwaarde is $a = 1200$ vissen.
3.
Elke rij toont de waarden van een grootheid voor $t = 0, 1, 2, 3$ . Welke rij volgt een exponentieel model?
1. a)5; 10; 15; 20
2. b)5; 8; 11; 14
3. c)5; 10; 20; 40
4. d)5; 9; 13; 17
Antwoord: 5; 10; 20; 40
In $5; 10; 20; 40$ is elke waarde $2$ keer de vorige (constant quotiënt), dus exponentieel. De andere rijen tellen steeds hetzelfde op ( $+3$ , $+5$ , $+4$ ), dus die zijn lineair.
4.
Je belegt 2000 € tegen 6% rente per jaar, per kwartaal bijgeschreven. Welk model geeft het bedrag $A$ na $t$ jaar?
1. a) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{t}$
2. b) $A = 2000 \cdot 1{,}06^{4t}$
3. c) $A = 2000 \cdot 1{,}24^{t}$
4. d) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
Antwoord: $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
$A = 2000\left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4t} = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$ . De eerste keuze rekent de jaarrente per kwartaal, de derde vergeet dat er $4t$ kwartalen zijn, en $1{,}24$ is geen factor van deze rekening.
5.
Een auto die 20000 € kostte, verliest elk jaar 10% van zijn waarde. Vier leerlingen berekenden de waarde na 4 jaar. Welke uitkomst is juist?
1. a)12000
2. b)29282
3. c)2
4. d)13122
Antwoord: 13122
$20000 \cdot 0{,}9^4 = 20000 \cdot 0{,}6561 = 13122$ . $29282$ gebruikt $1{,}1$ (groei), $12000$ trekt elk jaar $2000$ af (lineair), en $2$ gebruikt de factor $0{,}1$ .
6.
Een video heeft 500 weergaven, en het aantal weergaven verdubbelt elke dag. Hoeveel weergaven heeft hij na 6 dagen?
Antwoord: 32000
$V(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$ weergaven.
7.
Een stof heeft een halveringstijd van 5 uur. Een monster bevat eerst 80 mg. Hoeveel mg is er na 20 uur nog over?
Antwoord: 5
$\frac{20}{5} = 4$ halveringstijden: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{80}{16} = 5$ mg ( $80 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5$ ).
8.
Je zet 1000 € tegen 8% rente per jaar, per kwartaal bijgeschreven. Hoeveel staat er na 5 jaar op de rekening? Rond af op centen.
Antwoord: 1485.95
$A = 1000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 1000 \cdot 1{,}485947 \approx 1485{,}95$ €.
9.
Er wordt 1500 € belegd tegen 5% per jaar met continue rentebijschrijving. Gebruik $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ . Hoeveel is de belegging na 10 jaar waard? Rond af op hele euro's.
Antwoord: 2473
$A = 1500 \cdot e^{0{,}5} \approx 1500 \cdot 1{,}6487 = 2473{,}05$ , dus ongeveer 2473 €.
10.
Een tabel geeft $y = 80$ bij $t = 0$ , $y = 120$ bij $t = 1$ , $y = 180$ bij $t = 2$ en $y = 270$ bij $t = 3$ . Bepaal of hij lineair of exponentieel is en bereken dan de exacte waarde van $y$ bij $t = 5$ .
Antwoord: 607.5
De verschillen $40, 60, 90$ zijn niet constant, maar elk quotiënt is $1{,}5$ : exponentieel, $y = 80 \cdot 1{,}5^t$ . Dan is $y(5) = 80 \cdot 1{,}5^5 = 80 \cdot 7{,}59375 = 607{,}5$ .
11.
Een laptop kost 1200 € en verliest elk jaar 20% van zijn waarde. Hoeveel is hij na 3 jaar waard?
Antwoord: 614.4
1. Wat is de factor $b$ per jaar bij deze afname? 0.8
2. Bereken $0{,}8^3$ . 0.512
3. Wat is de waarde na 3 jaar? 614.4
12.
Op maandag kennen 4 leerlingen een nieuwe dansuitdaging. Elke dag verdrievoudigt het aantal leerlingen dat hem kent. Hoeveel leerlingen kennen hem 4 dagen later?
Antwoord: 324
1. Wat is de groeifactor $b$ per dag? 3
2. Bereken $3^4$ . 81
3. Hoeveel leerlingen kennen de uitdaging na 4 dagen? 324
13.
Je belegt 3000 € tegen 5% rente per jaar, per halfjaar bijgeschreven (twee keer per jaar). Hoeveel heb je na 6 jaar? Rond af op centen.
Antwoord: 4034.67
1. Wat is de rente per halfjaar, $\frac{r}{n}$ , als decimaal getal? 0.025
2. Hoeveel halve jaren zitten er in 6 jaar ( $nt$ )? 12
3. Bereken $3000 \cdot 1{,}025^{12}$ op centen nauwkeurig. 4034.67
14.
Een radioactieve stof heeft een halveringstijd van 5 jaar. Een monster weegt 640 g. Hoeveel gram is er na 15 jaar nog over?
Antwoord: 80
1. Hoeveel halveringstijden verstrijken er in 15 jaar ( $\frac{t}{T}$ )? 3
2. Wat is $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ als decimaal getal? 0.125
3. Hoeveel gram is er nog over? 80
15.
Een patiënt krijgt 500 mg van een medicijn. De hoeveelheid in het bloed neemt continu af met 10% per uur, dus $A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}$ . Gebruik $e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187$ . Hoeveel mg is er na 2 uur nog over? Rond af op hele mg.
Antwoord: 409
1. Wat is de exponent $rt$ voor $t = 2$ ? -0.2
2. Welke waarde gebruik je voor $e^{-0{,}2}$ (4 decimalen)? 0.8187
3. Hoeveel mg is er na 2 uur nog over (hele mg)? 409
16.
Bank A geeft 5% per jaar, jaarlijks bijgeschreven. Bank B geeft 5% per jaar, maandelijks bijgeschreven. Je zet 10000 € voor 3 jaar vast. Hoeveel meer levert bank B op? Rond elk bedrag af op centen.
Antwoord: 38.47
1. Hoeveel keert bank A na 3 jaar uit? 11576.25
2. Hoeveel keert bank B na 3 jaar uit? 11614.72
3. Hoeveel meer keert bank B uit? 38.47
17.
Een dorp had 2000 inwoners. Twee jaar later waren het er 2880. Neem exponentiële groei aan: $P(t) = 2000 \cdot b^t$ ( $t$ in jaren). Bepaal $b$ , het groeipercentage per jaar en het aantal inwoners na 4 jaar (afgerond op hele inwoners).
Antwoord: 4147
1. Wat is $b^2 = \frac{2880}{2000}$ ? 1.44
2. Wat is $b$ (positief)? 1.2
3. Wat is het groeipercentage per jaar (schrijf alleen het getal)? 20
4. Bereken $P(4) = 2000 \cdot 1{,}2^4$ en rond af op hele inwoners. 4147
18.
De waarde van een auto is $V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t$ euro, $t$ jaar na aankoop. Interpreteer het model en bepaal daarna na hoeveel hele jaren de waarde voor het eerst onder 10000 € zakt.
Antwoord: 5
1. Wat was de aankoopprijs van de auto? 18000
2. Met hoeveel procent daalt de waarde elk jaar (schrijf alleen het getal)? 12
3. Wat is $V(2) = 18000 \cdot 0{,}88^2$ ? 13939.2
4. Na hoeveel hele jaren ligt de waarde voor het eerst onder 10000? 5