Continuïteit

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke van deze is GEEN van de drie voorwaarden voor continuïteit van $f$ in $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat
2. b) $f(a)$ is gedefinieerd
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
Antwoord: $f(a) = 0$
De drie voorwaarden zijn: $f(a)$ is gedefinieerd, $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat en de limiet is gelijk aan $f(a)$ . De waarde $f(a)$ mag elk getal zijn; ze hoeft niet $0$ te zijn.
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ is overal continu. Bereken $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Antwoord: 13
Omdat $f$ continu is, geldt $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 13$ .
3.
Waar is $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ NIET continu?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Ze is overal continu
Antwoord: $x = 4$
De noemer $x - 4$ is $0$ bij $x = 4$ , dus $f(4)$ is daar niet gedefinieerd. Overal elders is $f$ continu.
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ is niet gedefinieerd in $x = 1$ . Welke waarde moet $g(1)$ krijgen zodat $g$ continu is in $x = 1$ ?
Antwoord: 2
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ voor $x \neq 1$ , dus de limiet is $1 + 1 = 2$ . Met $g(1) = 2$ is de limiet gelijk aan de functiewaarde.
5.
Controleer of $f(x) = x^2 + 2x$ continu is in $x = 3$ .
Antwoord: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 15$
1. Wat is $f(3)$ ? 15
2. Wat is $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 15
3. Is $f$ continu in $x = 3$ ? ja
6.
Is $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ continu in $x = 1$ ?
Antwoord: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$
1. Linkerlimiet $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? 3
2. Rechterlimiet $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? 3
3. Waarde $f(1)$ ? 3
4. Is $f$ continu in $x = 1$ ? ja
7.
Welke functie is continu voor ALLE reële getallen?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
Antwoord: $e^x + x^3$
$\frac{1}{x}$ is niet gedefinieerd in $0$ , $\ln x$ bestaat alleen voor $x > 0$ en $\sqrt{x}$ alleen voor $x \geq 0$ . $e^x + x^3$ is een som van twee overal continue functies en dus overal continu.
8.
Bepaal $k$ zodat $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ continu is in $x = 2$ .
Antwoord: 2
Links: $2 + k$ . Rechts en functiewaarde: $2^2 = 4$ . Dus $2 + k = 4$ en $k = 2$ .
9.
Bepaal $k$ zodat $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ overal continu is.
Antwoord: 4
1. Rechterlimiet in $x = 3$ (met $x^2 + 1$ )? 10
2. Het linkerdeel geeft $3k - 2$ . Uit $3k - 2 = 10$ : hoeveel is $3k$ ? 12
3. Hoeveel is $k$ ? 4
10.
Stel $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ voor $x \neq 2$ en $h(2) = 3$ . Is $h$ continu in $x = 2$ ?
Antwoord: $\lim_{x \to 2} h(x) = -1 \neq h(2) = 3$
1. Wat is $h(2)$ ? 3
2. Na ontbinden en vereenvoudigen is $h(x) = x - 3$ . Wat is $\lim_{x \to 2} h(x)$ ? -1
3. Is $h$ continu in $x = 2$ ? nee
11.
Waar is $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ continu?
1. a)Alle reële getallen behalve $x = -3$
2. b)Alle reële getallen behalve $x = 3$ en $x = -3$
3. c)Alle reële getallen
4. d)Alle reële getallen behalve $x = 3$
Antwoord: Alle reële getallen behalve $x = 3$ en $x = -3$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ is $0$ bij $x = 3$ en $x = -3$ , dus $f$ is in beide punten niet gedefinieerd. Bij $x = -3$ heeft de grafiek een gat, bij $x = 3$ een verticale asymptoot, maar in beide gevallen is $f$ daar niet continu.
12.
In hoeveel waarden van $x$ is $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ niet continu?
Antwoord: 3
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ is $0$ bij $x = 0$ , $x = 2$ en $x = -2$ . De teller valt tegen geen ervan weg, dus $f$ is in precies $3$ waarden niet continu.
13.
Gebruik de tussenwaardestelling om te bepalen of $f(x) = x^3 - 2x - 5$ een nulpunt heeft in $[2, 3]$ .
Antwoord: $f(2) = -1 < 0 < 16 = f(3)$
1. Wat is $f(2)$ ? -1
2. Wat is $f(3)$ ? 16
3. Garandeert de tussenwaardestelling een nulpunt in $[2, 3]$ ? ja
14.
Bepaal $a$ zodat $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ overal continu is.
Antwoord: 1
Links: $2a + 3$ . Rechts en functiewaarde: $4 + a$ . Uit $2a + 3 = 4 + a$ volgt $a = 1$ . Controle: beide kanten geven $5$ .
15.
Bepaal $a$ en $b$ zodat $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ overal continu is.
Antwoord: a = 2, b = 0
1. In $x = 1$ geeft het linkerdeel $1 + 1$ . Dus $a + b = ?$ 2
2. In $x = 3$ geeft het rechterdeel $3^2 - 3$ . Dus $3a + b = ?$ 6
3. Trek de eerste vergelijking af van de tweede. Hoeveel is $a$ ? 2
4. Hoeveel is $b$ ? 0
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ heeft $f(-1) = -1$ en $f(1) = 1$ , maar $f(x) = 0$ heeft geen oplossing. Waarom is de tussenwaardestelling op $[-1, 1]$ niet van toepassing?
1. a) $f(-1)$ en $f(1)$ hebben hetzelfde teken
2. b)De stelling geldt alleen voor polynomen
3. c) $f$ is niet continu op $[-1, 1]$ : niet gedefinieerd in $x = 0$
4. d) $0$ ligt niet tussen $-1$ en $1$
Antwoord: $f$ is niet continu op $[-1, 1]$ : niet gedefinieerd in $x = 0$
De tussenwaardestelling vereist dat $f$ continu is op het hele gesloten interval. $\frac{1}{x}$ is niet gedefinieerd in $x = 0$ , dat in $[-1, 1]$ ligt, dus de stelling zegt hier niets.
17.
Stel $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ voor $x \neq 4$ en $f(4) = k$ . Bepaal $k$ zodat $f$ continu is in $x = 4$ .
Antwoord: 1/4
1. Vul $x = 4$ in de teller $\sqrt{x} - 2$ in. Wat krijg je? 0
2. $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - c$ . Hoeveel is $c$ ? 4
3. Dus $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ . Wat is $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? Schrijf het als breuk. 1/4
4. Hoeveel moet $k$ zijn? 1/4
18.
Hoeveel nulpunten van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ in $[0, 2]$ garandeert de tussenwaardestelling met de punten $x = 0$ , $1$ , $2$ ?
Antwoord: 2
1. Wat is $f(0)$ ? 1
2. Wat is $f(1)$ ? -1
3. Wat is $f(2)$ ? 3
4. Hoeveel tekenwisselingen, en dus hoeveel gegarandeerde nulpunten, zijn er? 2