Docentenhandleiding: Limieten aflezen uit een grafiek

Lees limieten direct af uit een grafiek, onderscheid de limiet van de functiewaarde en herken wanneer een limiet niet bestaat.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Limieten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$\lim_{x \to a} f(x)$ aflezen uit een grafiek door de kromme van beide kanten te volgen
Met open rondjes en dichte punten de limiet in $a$ onderscheiden van de functiewaarde $f(a)$
Herkennen dat een limiet kan bestaan waar $f(a)$ niet gedefinieerd is of van de limiet verschilt
Uit een grafiek beslissen wanneer een limiet niet bestaat omdat de twee kanten verschillende hoogtes naderen
Meerdere limieten en functiewaarden aflezen uit de grafiek van een functie met een gesplitst voorschrift

Vereisten

• Introductie tot limieten: het idee van een waarde die een functie nadert
• Limietnotatie: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ lezen
• Punten en hoogtes aflezen in een assenstelsel
• Eenvoudige functies met een gesplitst voorschrift en de betekenis van open rondjes en dichte punten

Discussiestarters

1. Als je één enkel punt uit een grafiek gumt, kan dat de limiet daar veranderen? Waarom wel of niet?
2. Hoe kan een functie een waarde hebben bij $x = a$ maar daar geen limiet?
3. Waarom moeten we naar beide kanten van $x = a$ kijken voordat we de limiet noemen?
4. Waar in het dagelijks leven maakt een grafiek plotseling een sprong? Wat zou de limiet bij die sprong betekenen?

Veelvoorkomende misvattingen

De limiet in $a$ is altijd $f(a)$

Herstel: Laat een lijn zien met een gat in $(2, 3)$ en een punt in $(2, 5)$ . Vraag waar de lijn naartoe gaat en daarna waar het punt ligt. Twee verschillende vragen, twee verschillende antwoorden.

Een gat betekent dat de limiet niet bestaat

Herstel: Laat leerlingen met twee vingers van beide kanten naar het gat lopen. Ze komen samen bij het gat, dus de limiet bestaat. Alleen een sprong, waarbij de vingers op verschillende hoogtes eindigen, zorgt dat de limiet niet bestaat.

Het antwoord van een limiet is het getal waar $x$ naartoe gaat

Herstel: Laat antwoorden altijd op de $y$ -as aflezen. Laat leerlingen eerst zeggen 'als $x$ naar $2$ gaat, gaat de hoogte naar ...' voordat ze iets opschrijven.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met grafieken met maar één bijzonder punt en hoogtes op de roosterlijnen
• Gebruik twee gekleurde stiften om de linker- en rechterkant te volgen voordat de limiet genoemd wordt
• Houd voor elk punt een tabel met twee kolommen bij: limiet (kromme volgen) en waarde (dicht punt)

Voor leerlingen op niveau:

• Limieten en functiewaarden aflezen in meerdere punten van één gesplitste grafiek
• Kaarten met grafieken sorteren: limiet gelijk aan waarde, limiet anders dan waarde, limiet bestaat niet
• Een grafiek schetsen die past bij gegeven limieten en functiewaarden

Voor gevorderde leerlingen:

• Een functie ontwerpen waarvan de limiet bij $x = 1$ bestaat maar verschilt van $f(1)$ , en het gesplitste voorschrift opschrijven
• Een constante vinden waarmee twee stukken op elkaar aansluiten zodat de limiet bestaat
• De notatie van linker- en rechterlimiet voorbereiden door de hoogtes aan beide kanten van een sprong te beschrijven

Standaarduitlijning

HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Belangrijke kenmerken van grafieken van functies interpreteren en grafieken met die kenmerken schetsen
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Functies met een gesplitst voorschrift tekenen, ook trapfuncties
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Limieten van functies schatten op basis van grafieken

Lesbronnen

visualGrafiek met gat en punt
Interactieve grafiek van $y = x + 1$ met een gat in $(2, 3)$ en een dicht punt in $(2, 5)$ om de limiet te vergelijken met $f(2)$
visualGesplitste grafiek met limieten
Interactieve grafiek van een functie met een gesplitst voorschrift, met een sprong en een gat, die bij elke breuk beide kanten en de functiewaarde toont
activityVingerwandeling
Leerlingen volgen geprinte grafieken met twee vingers van beide kanten naar elke gemarkeerde $x$ en noteren de hoogtes die ze bereiken

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om een limiet uit een grafiek af te lezen, lees je

\lim_{x \to a} f(x)

direct af uit de grafiek van

f

. Zet aan elke kant van

x = a

een vinger op de kromme, schuif naar

x = a

en kijk naar welke hoogte (

y

-waarde) de kromme gaat.

Gaan beide kanten naar dezelfde hoogte $L$ , dan is $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Gaan de twee kanten naar verschillende hoogtes, dan bestaat de limiet niet.

Limiet en functiewaarde. Dat zijn twee verschillende vragen:

$\lim_{x \to a} f(x)$ vraagt waar de kromme in de buurt van $x = a$ naartoe gaat.
$f(a)$ vraagt waar het dichte punt bij $x = a$ echt ligt.

Een open rondje (een gat) markeert een punt dat in de grafiek ontbreekt. Een dicht punt markeert de echte functiewaarde. De limiet negeert wat er precies bij

x = a

gebeurt, dus een gat, of een punt dat ergens anders ligt, verandert de limiet niet.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{als beide kanten van de grafiek naar de hoogte } L \text{ gaan}

Uitgewerkte voorbeelden

De grafiek van $f$ is de lijn $y = x + 1$ met een open rondje in $(2, 3)$ en een dicht punt in $(2, 5)$ (de eerste grafiek in deze les). Bepaal $\lim_{x \to 2} f(x)$ en $f(2)$ .

Volg de kromme vanaf links

Voor $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ stijgt de lijn naar het open rondje → De hoogte nadert $3$

Volg de kromme vanaf rechts

Voor $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ daalt de lijn naar hetzelfde open rondje → De hoogte nadert $3$

Vergelijk beide kanten

Beide kanten gaan naar dezelfde hoogte → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Zoek het dichte punt bij $x = 2$

Het dichte punt ligt in $(2, 5)$ , naast de lijn → $f(2) = 5$

Antwoord: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ maar $f(2) = 5$ . De limiet volgt de kromme, de functiewaarde is het dichte punt.

Veelgemaakte fouten

Het dichte punt als limiet aflezen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antwoorden omdat er een punt in $(2, 5)$ staat

Waarom het fout is: De limiet beschrijft waar de kromme in de buurt van $x = 2$ naartoe gaat. Eén los punt naast de kromme verandert niet waar de kromme naartoe gaat.

Correct: Volg de kromme van beide kanten: hij gaat naar het open rondje op hoogte $3$ , dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , terwijl $f(2) = 5$ .

Zeggen dat de limiet niet bestaat omdat er een gat is

Waarom het fout is: Een gat betekent alleen dat $f(a)$ ontbreekt. De limiet kijkt nooit naar $x = a$ zelf, alleen naar de waarden eromheen.

Correct: Als beide kanten de hoogte van het gat naderen, bestaat de limiet en is hij gelijk aan die hoogte, ook als $f(a)$ niet gedefinieerd is.

Bij een sprong de hoogte van het dichte punt (of van één kant) als limiet geven

Waarom het fout is: Voor een tweezijdige limiet moeten beide kanten overeenkomen. Bij een sprong naderen de linker- en rechterkant verschillende hoogtes.

Correct: Controleer beide kanten. Naderen ze verschillende hoogtes, schrijf dan dat de limiet niet bestaat, wat het dichte punt ook laat zien.

Antwoorden met de $x$ -waarde: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schrijven

Waarom het fout is: De $2$ onder het limietteken is waar $x$ naartoe gaat. De limiet zelf is een hoogte, een $y$ -waarde.

Correct: Lees het antwoord af op de $y$ -as: de hoogte die de kromme nadert als $x$ dicht bij $2$ komt.

Waarom het belangrijk is

Een grafiek is vaak de snelste manier om te zien wat een functie in de buurt van een punt doet:

Differentiaalrekening begint hier: de afgeleide (helling van een raaklijn) is een limiet, en je ziet hem eerst als plaatje.
Echte data heeft gaten en fouten: de grafiek van een sensor kan een ontbrekende meting of een foute piek hebben. De limiet geeft het echte verloop rond dat moment.
Prijzen en tarieven maken sprongen: verzendkosten, taxitarieven en belastingschijven hebben grafieken met sprongen, waar de waarde net voor en net na een grens verschilt.
Continuïteit bouwt hierop voort: later noem je een functie continu in $a$ precies als de limiet bestaat en gelijk is aan $f(a)$ , en dat kun je op een grafiek met het oog controleren.

Limieten aflezen uit grafieken traint de belangrijkste gewoonte van de analyse: kijk wat er in de buurt van een punt gebeurt, niet alleen in dat punt.

Toepassingen in de echte wereld

Verzendkosten met een gewichtsgrens

Pakketdiensten rekenen per gewichtsklasse, dus de grafiek van de prijs tegen het gewicht is een trap met sprongen bij de klassengrenzen.

Voorbeeld:

Een pakketdienst vraagt 5 € tot 2 kg en 8 € boven 2 kg. Net onder 2 kg ligt de grafiek op 5, net erboven op 8, dus de limiet van de prijs als het gewicht naar 2 kg gaat, bestaat niet.

1Probeer het zelf

Een pakketdienst vraagt 5 € voor pakketten tot 2 kg (2 kg inbegrepen) en 8 € voor pakketten van net boven 2 kg tot 5 kg. De grafiek van de prijs $C(w)$ heeft een dicht punt in $(2, 5)$ en een open rondje in $(2, 8)$ .

Hoe groot is de sprong bij $w = 2$ (de hoogte die de rechterkant nadert min de hoogte die de linkerkant nadert)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogte rechts min hoogte links:

Een fout in sensordata

Weerstations en sporthorloges zetten metingen uit tegen de tijd. Als een meting verloren gaat of fout is, krijgt de grafiek een gat of een los punt, en de limiet laat het echte verloop zien.

Voorbeeld:

Een hartslaggrafiek die van beide kanten van een moment 120 slagen per minuut nadert, met één foute meting van 0 op dat moment, heeft daar toch de limiet 120.

2Probeer het zelf

Een weerstation zet de temperatuur $T(t)$ in °C uit, met $t$ in uren. Rond $t = 3$ nadert de kromme van beide kanten $18$ °C, maar door een fout is de losse waarde $T(3) = 0$ opgeslagen.

Wat is $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De hoogte die beide kanten naderen:

Gaten op de grafische rekenmachine

Grafieksoftware tekent $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als iets wat op een rechte lijn lijkt, maar met trace geeft $x = 3$ een foutmelding. De grafiek heeft daar een gat, en de hoogte van dat gat is de limiet.

Voorbeeld:

Voor $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ lijkt de grafiek op $y = x + 2$ met een gat in $(2, 4)$ , dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ terwijl $f(2)$ niet gedefinieerd is.

3Probeer het zelf

Je tekent $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Met trace verschijnt ERROR bij $x = 3$ , en de grafiek lijkt op de lijn $y = x + 3$ met een gat.

Wat is $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De hoogte van het gat:

Belangrijke punten

1Om $\lim_{x \to a} f(x)$ uit een grafiek af te lezen, volg je de kromme van beide kanten naar $x = a$ en lees je de hoogte af die hij nadert
2De limiet is een $y$ -waarde (een hoogte), niet de $x$ -waarde $a$
3Een open rondje (gat) markeert een ontbrekend punt, een dicht punt markeert de echte waarde $f(a)$
4De limiet negeert het punt bij $x = a$ : een gat of een punt dat ergens anders ligt, verandert hem niet
5Naderen de twee kanten verschillende hoogtes (een sprong), dan bestaat de limiet niet, wat $f(a)$ ook is
6Waar de grafiek geen onderbreking heeft, is de limiet gewoon gelijk aan $f(a)$

Veelgestelde vragen

Kan de limiet bestaan als $f(a)$ niet gedefinieerd is?

Ja. Heeft de grafiek een gat bij

x = a

en naderen beide kanten de hoogte van het gat, dan is de limiet gelijk aan die hoogte. Zo is

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

niet gedefinieerd bij

x = 2

, maar is de limiet daar

4

Als er een dicht punt bij $x = a$ staat, bestaat de limiet dan?

Nee, niet per se. Het punt geeft alleen

f(a)

. Bij een sprong heeft de grafiek een dicht punt, maar de twee kanten naderen verschillende hoogtes, dus de limiet bestaat niet.

Wat schrijf ik op als een limiet niet bestaat?

Schrijf:

\lim_{x \to a} f(x)

bestaat niet, en geef de reden, bijvoorbeeld: de linkerkant nadert

2

en de rechterkant nadert

4

Hoe nauwkeurig is het aflezen van een limiet uit een grafiek?

Alleen zo nauwkeurig als de grafiek. Gebruik de roosterlijnen en de gelabelde punten, en als de hoogte niet duidelijk op een roosterlijn valt, controleer hem dan met een tabel of algebraïsch (de volgende lessen).

Woordenlijst

Limiet: De hoogte $L$ die de grafiek van $f$ van beide kanten nadert als $x$ naar $a$ gaat, genoteerd als $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Functiewaarde $f(a)$: De echte hoogte van de grafiek bij $x = a$ , aangegeven door een dicht punt of door de kromme die door $x = a$ loopt
Open rondje (gat): Een punt getekend als leeg rondje: de grafiek komt er willekeurig dichtbij, maar het hoort niet bij de grafiek
Dicht punt: Een gevuld punt dat bij de grafiek hoort en daar de functiewaarde geeft
Sprong: Een plek waar de grafiek afbreekt en op een andere hoogte verdergaat, zodat de twee kanten verschillende waarden naderen
Bestaat niet: Wat we van een limiet zeggen als de twee kanten van de grafiek niet dezelfde hoogte naderen

Formulekaart

Een limiet aflezen uit een grafiek

\lim_{x \to a} f(x) = L

Beide kanten van de grafiek naderen de hoogte $L$ als $x$ naar $a$ gaat

Wanneer de limiet niet bestaat

\text{hoogte links} \neq \text{hoogte rechts} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ bestaat niet}

Als de twee kanten verschillende hoogtes naderen, bestaat $\lim_{x \to a} f(x)$ niet

Limiet en functiewaarde

\lim_{x \to a} f(x) \text{ en } f(a) \text{ kunnen verschillen}

De limiet volgt de kromme in de buurt van $a$, de waarde is het dichte punt bij $a$. Ze kunnen verschillen

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Limieten aflezen uit een grafiek

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Verzendkosten met een gewichtsgrens

Een fout in sensordata

Gaten op de grafische rekenmachine

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Een limiet aflezen uit een grafiek

Wanneer de limiet niet bestaat

Limiet en functiewaarde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten bepalen met een tabel

Limieten door direct invullen