Als ik $\frac{0}{0}$ krijg, bestaat de limiet dan?

Dat kun je nog niet zeggen. Achter $\frac{0}{0}$ kan elke waarde zitten: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$. Vereenvoudig eerst en beslis daarna.

Wanneer vermenigvuldig ik met de geconjugeerde in plaats van te ontbinden?

Als de 0 komt uit een verschil met een wortel, zoals $\sqrt{x} - 2$ of $\sqrt{x + 4} - 2$. Vermenigvuldig teller en noemer met de geconjugeerde (dezelfde termen, tegengesteld teken in het midden), want $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$ bevat geen wortel meer.

Is de limiet hetzelfde als de functiewaarde?

Bij polynomen en bij gebroken functies met een noemer die niet 0 is: ja, dat is precies wat direct invullen zegt. Bij een gat bestaat de functiewaarde niet, maar de limiet wel (de lessen ‘Continuïteit’ en ‘Soorten discontinuïteiten’ gaan hier verder op in).

Leermiddelen

Limieten door direct invullen

Q: Waarom mag ik $(x - 3)$ wegdelen als het bij $x = 3$ nul is?

Een limiet voor $x \to 3$ gebruikt alleen $x$-waarden dicht bij 3, nooit $x = 3$ zelf. Voor al die waarden is $x - 3 \neq 0$, dus wegdelen mag. De twee uitdrukkingen zijn overal gelijk behalve bij $x = 3$, en dat ene punt doet er voor de limiet niet toe.

Bereken limieten algebraïsch: vul de waarde in als het kan, en als je 0/0 krijgt, ontbind en vereenvoudig of vermenigvuldig eerst met de geconjugeerde.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Direct invullen betekent: je vindt een limiet door de waarde gewoon in de functie in te vullen:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Dit werkt voor elke polynoomfunctie en voor elke gebroken rationale functie waarvan de noemer bij

x = a

niet nul is. Hun grafiek heeft daar geen gat, dus de waarde die de functie nadert is precies de waarde die ze aanneemt.

Waarom het werkt: de rekenregels voor limieten. Als

\lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} g(x)

bestaan, mag je limieten opsplitsen:

som en verschil: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
constante factor: $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$
product: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
quotiënt: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , alleen als $\lim g \neq 0$
macht: $\lim f^n = (\lim f)^n$

Wat het invullen je vertelt:

een getal, zoals $\frac{5}{5} = 1$ : dat getal is de limiet
$\frac{\text{niet nul}}{0}$ , zoals $\frac{3}{0}$ : geen eindige limiet (de grafiek heeft een verticale asymptoot, zie de les ‘Oneindige limieten’)
$\frac{0}{0}$ : de onbepaalde vorm 0/0. Dit is GEEN antwoord. Het zegt dat je de uitdrukking eerst moet herschrijven.

Zo los je 0/0 op:

1.Ontbinden en vereenvoudigen: teller en noemer hebben een gemeenschappelijke factor $(x - a)$ . Deel die weg en vul daarna opnieuw in.
2.Vermenigvuldigen met de geconjugeerde: bij een wortel zoals $\sqrt{x} - 2$ vermenigvuldig je teller en noemer met $\sqrt{x} + 2$ , vereenvoudig je en vul je opnieuw in.

Wegdelen mag, omdat de limiet alleen kijkt naar

x

-waarden dicht bij

a

, nooit naar

x = a

zelf, dus

x - a \neq 0

Probeer het meteen

Welke limiet kun je meteen door direct invullen berekenen?

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$ .

Bekijk het soort functie

$x^2 - 2x + 3$ is een polynoom, gedefinieerd voor elke $x$ → Direct invullen werkt

Vul $x = 3$ in

$3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ → $6$

Schrijf de limiet op

$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ → De limiet is $6$

Antwoord: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ . In de eerste grafiek ligt het punt $(3, 6)$ op de kromme en naderen de waarden in de tabel $6$ .

Veelgemaakte fouten

Stoppen bij $\frac{0}{0}$ en antwoorden "de limiet is 0", "1" of "bestaat niet"

Waarom het fout is: $\frac{0}{0}$ is geen getal en geen eindantwoord. Het zegt alleen dat teller en noemer een gemeenschappelijke factor hebben die de echte waarde verbergt.

Correct: Zie $\frac{0}{0}$ als een signaal: ontbind en deel weg (of vermenigvuldig met de geconjugeerde) en vul dan opnieuw in. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$ .

Termen wegstrepen in plaats van factoren, zoals $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Waarom het fout is: Je mag alleen een factor wegdelen die de hele teller en de hele noemer vermenigvuldigt. Een $x$ in een som is zo'n factor niet.

Correct: Eerst ontbinden: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , dus de limiet voor $x \to 3$ is $6$ .

$\frac{3}{0}$ behandelen als $\frac{0}{0}$ en proberen te ontbinden

Waarom het fout is: Als alleen de noemer nul is, is er geen gemeenschappelijke factor om weg te delen. De waarden worden onbegrensd groot dicht bij die $x$ .

Correct: $\frac{\text{niet nul}}{0}$ betekent geen eindige limiet (verticale asymptoot). Alleen $\frac{0}{0}$ vraagt om ontbinden of vermenigvuldigen met de geconjugeerde.

Alleen de teller met de geconjugeerde vermenigvuldigen

Waarom het fout is: Als je maar één deel vermenigvuldigt, verandert de waarde van de breuk. Je mag wel vermenigvuldigen met $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ , want dat is 1.

Correct: Vermenigvuldig teller EN noemer met de geconjugeerde, en laat de noemer ontbonden staan zodat je $(x - 4)$ kunt wegdelen.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

f(x) = x² − 2x + 3

Waardetabel

x	2,9	2,99	3	3,01	3,1
y	5,61	5,9601	6	6,0401	6,41

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

g(x) = (x² − x − 6)/(x − 3)

Waardetabel

x	2,9	2,99	3,01	3,1
y	4,9	4,99	5,01	5,1

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

h(x) = (√x − 2)/(x − 4)

Waardetabel

x	3,9	3,99	4,01	4,1
y	0,251582	0,250156	0,249844	0,248457

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke limiet kun je meteen door direct invullen berekenen?

Waarom het belangrijk is

In de lessen ‘Limieten aflezen uit een grafiek’ en ‘Limieten bepalen met een tabel’ heb je limieten geschat door te kijken. Direct invullen geeft de exacte waarde in een paar seconden, en het is de methode die je in de analyse het vaakst gebruikt.

Afgeleiden: elke afgeleide begint als een limiet van de vorm $\frac{0}{0}$ , bijvoorbeeld $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ . Ontbinden en vereenvoudigen is precies hoe je die oplost.
Natuurkunde: de momentane snelheid is de limiet van gemiddelde snelheden en vind je door een differentiequotiënt te ontbinden.
Continuïteit: een functie is continu in $a$ precies als direct invullen daar werkt (les ‘Continuïteit’).
Gaten in grafieken: de factor die je wegdeelt laat zien waar een gebroken functie een gat heeft, en de limiet geeft de hoogte ervan.

Als je weet wanneer je mag invullen en wat je doet bij

\frac{0}{0}

, voorkom je foute antwoorden zoals "de limiet is 0" of "de limiet bestaat niet".

Toepassingen in de echte wereld

Momentane snelheid

Een snelheidsmeter toont de snelheid op één moment. In de natuurkunde vind je die als limiet van gemiddelde snelheden over steeds kortere tijdsintervallen, en die limiet begint altijd als 0/0.

Voorbeeld:

Een karretje beweegt zo dat zijn positie na $t$ seconden $s(t) = t^2 + 3t$ meter is. De gemiddelde snelheid tussen seconde 2 en tijdstip $t$ is $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ . Ontbinden geeft $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ .

1Probeer het zelf

De positie van het karretje is $s(t) = t^2 + 3t$ meter. De snelheid op $t = 2$ seconden is $\lim_{t \to 2} \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ .

Wat is de snelheid van het karretje op $t = 2$ seconden, in meter per seconde?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Ontbind, deel weg en vul in: de snelheid is

Groeiende vierkante tegels

Ontwerpers en ingenieurs willen weten hoe snel een oppervlakte verandert als een lengte verandert. Voor een vierkant met zijde $x$ is de oppervlakte $x^2$, en de veranderingssnelheid bij één bepaalde maat is een limiet van de vorm 0/0.

Voorbeeld:

Een vierkante tegel met zijde $x$ cm heeft oppervlakte $A(x) = x^2$ cm². Als de zijde groeit van 5 cm naar $x$ cm, verandert de oppervlakte gemiddeld $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² per cm zijde.

2Probeer het zelf

Hoe snel de oppervlakte van de tegel groeit bij een zijde van precies 5 cm is $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

Met hoeveel cm² per cm groeit de oppervlakte bij een zijde van 5 cm?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Ontbind $x^2 - 25$ , deel weg en vul in: de snelheid is

Groeisnelheid van een plant

Biologen beschrijven groei vaak met wortelfuncties. De groeisnelheid op een bepaalde dag is een limiet waarvoor je met de geconjugeerde moet vermenigvuldigen.

Voorbeeld:

Een kiemplant is na $t$ dagen $h(t) = \sqrt{t}$ dm hoog. De gemiddelde groei tussen dag 9 en dag $t$ is $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm per dag.

3Probeer het zelf

De groeisnelheid op dag 9 is $\lim_{t \to 9} \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ . Teller en noemer vermenigvuldigen met $\sqrt{t} + 3$ maakt er $\lim_{t \to 9} \frac{1}{\sqrt{t} + 3}$ van.

Wat is de groeisnelheid op dag 9, in dm per dag?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul in de vereenvoudigde uitdrukking in: de snelheid is

Belangrijke punten

1Voor polynomen geldt $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : gewoon invullen
2Bij gebroken functies mag je invullen als de noemer bij $x = a$ niet 0 is
3Met de rekenregels voor limieten splits je een limiet op in sommen, producten, quotiënten (limiet van de noemer niet 0) en machten
4 $\frac{0}{0}$ is een onbepaalde vorm, nooit het antwoord: herschrijf eerst de uitdrukking
5Ontbind en deel de gemeenschappelijke factor $(x - a)$ weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde bij een wortel, en vul daarna opnieuw in
6 $\frac{\text{niet nul}}{0}$ betekent geen eindige limiet (verticale asymptoot), geen gat

Veelgestelde vragen

Een limiet voor

x \to 3

gebruikt alleen

x

-waarden dicht bij 3, nooit

x = 3

zelf. Voor al die waarden is

x - 3 \neq 0

, dus wegdelen mag. De twee uitdrukkingen zijn overal gelijk behalve bij

x = 3

, en dat ene punt doet er voor de limiet niet toe.

Woordenlijst

Direct invullen: $\lim_{x \to a} f(x)$ vinden door $f(a)$ te berekenen; werkt bij polynomen en bij gebroken functies waarvan de noemer in $a$ niet nul is
Rekenregels voor limieten: Regels die de limiet van een som, verschil, product, quotiënt of macht opsplitsen in limieten van de delen
Onbepaalde vorm 0/0: De uitkomst $\frac{0}{0}$ na invullen; die geeft geen waarde en betekent dat je de uitdrukking moet herschrijven
Geconjugeerde: De geconjugeerde van $\sqrt{x} - b$ is $\sqrt{x} + b$ ; hun product $x - b^2$ bevat geen wortel
Vermenigvuldigen met de geconjugeerde: Teller en noemer met de geconjugeerde vermenigvuldigen om een wortel uit een verschil te verwijderen

Formulekaart

Direct invullen

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Bij polynomen, en bij gebroken functies als de noemer in $a$ niet 0 is

Quotiëntregel

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

Alleen als $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Ontbinden en wegdelen

\frac{(x - a) \cdot p(x)}{(x - a) \cdot q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Gebruik dit als invullen $\frac{0}{0}$ geeft, en vul daarna opnieuw in

Product met de geconjugeerde

(\sqrt{x} - b)(\sqrt{x} + b) = x - b^2

Om een 0/0-limiet met een wortel op te lossen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Momentane snelheid

Groeiende vierkante tegels

Groeisnelheid van een plant

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Direct invullen

Quotiëntregel

Ontbinden en wegdelen

Product met de geconjugeerde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten aflezen uit een grafiek

Limieten bepalen met een tabel