Limieten naar oneindig

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^3}$ .
1. a)geen eindige limiet
2. b) $3$
3. c) $7$
4. d) $0$
Antwoord: $0$
Als $x$ onbegrensd groeit, groeit $x^3$ ook onbegrensd, dus $\frac{7}{x^3}$ komt steeds dichter bij $0$ . De limiet is $0$ .
2.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{x^2 - 4}$ .
Antwoord: 5
Beide delen hebben graad $2$ , dus de limiet is het quotiënt van de kopcoëfficiënten: $\frac{5}{1} = 5$ .
3.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ .
Antwoord: 4
1. Hoeveel is $\frac{1}{x}$ bij $x = 1000$ ? Schrijf het als kommagetal. 0.001
2. Waar gaat $\frac{1}{x}$ naartoe als $x \to \infty$ ? 0
3. Wat is $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ ? 4
4.
Wat is de horizontale asymptoot van $y = \frac{8x + 1}{2x - 3}$ ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = 8$
4. d) $y = -3$
Antwoord: $y = 4$
De graden zijn gelijk, dus de asymptoot ligt bij het quotiënt van de kopcoëfficiënten: $y = \frac{8}{2} = 4$ .
5.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \left(6 - 2e^{-x}\right)$ .
Antwoord: 6
$e^{-x} \to 0$ , dus $2e^{-x} \to 0$ en $6 - 2e^{-x} \to 6 - 0 = 6$ .
6.
Bereken $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 5}$ .
Antwoord: 2
1. Wat is de graad van de teller? 1
2. Wat is de graad van de noemer? 1
3. De graden zijn gelijk. Wat is de limiet $\frac{2}{1}$ ? 2
7.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 2}$ . Schrijf het antwoord als breuk.
Antwoord: 3/5
Delen door $x^2$ geeft $\frac{3 - \frac{1}{x}}{5 + \frac{2}{x^2}} \to \frac{3}{5}$ .
8.
Wat is $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^3 - 2x}$ ?
1. a) $0$
2. b)geen eindige limiet, de waarden groeien onbegrensd
3. c) $4$
4. d) $1$
Antwoord: geen eindige limiet, de waarden groeien onbegrensd
De teller heeft graad $4$ en de noemer graad $3$ . Delen door $x^3$ geeft $\frac{x + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2}}$ , dat groeit zoals $x$ , dus er is geen eindige limiet.
9.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 3x}{5x^2 - 7}$ door te delen door de hoogste macht van $x$ .
Antwoord: 2
1. De hoogste macht van $x$ in de noemer is $x^n$ . Wat is $n$ ? 2
2. Na delen door $x^2$ is de teller $10 + \frac{3}{x}$ . Waar gaat die naartoe? 10
3. De noemer is nu $5 - \frac{7}{x^2}$ . Waar gaat die naartoe? 5
4. Wat is de limiet? 2
10.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 9}{x^2 + 1}$ .
Antwoord: 0
Graad $1$ boven, graad $2$ onder. Delen door $x^2$ geeft $\frac{\frac{4}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{0}{1} = 0$ .
11.
De grafiek van $f(x) = \frac{12x^3 - 5}{4x^3 + x^2}$ heeft de horizontale asymptoot $y = L$ . Bepaal $L$ .
Antwoord: 3
1. Wat is de graad van de teller? 3
2. Wat is de graad van de noemer? 3
3. Wat is de kopcoëfficiënt van de teller? 12
4. Wat is de kopcoëfficiënt van de noemer? 4
5. Wat is $L$ ? 3
12.
Welke functie heeft de horizontale asymptoot $y = 0$ ?
1. a) $y = 5 + e^{-x}$
2. b) $y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
3. c) $y = \frac{x^3}{x + 1}$
4. d) $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Antwoord: $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
In $\frac{x + 4}{x^2 - 9}$ heeft de teller graad $1$ en de noemer graad $2$ , dus de limiet is $0$ . De andere naderen $2$ , groeien onbegrensd of naderen $5$ .
13.
Bereken $\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 6x^3}{2x^3 + x}$ .
Antwoord: -3
1. Wat is de kopcoëfficiënt van de teller $3 - 6x^3$ ? -6
2. Wat is de kopcoëfficiënt van de noemer $2x^3 + x$ ? 2
3. Beide graden zijn 3. Wat is de limiet? -3
14.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 3)^2}{x^2 + 1}$ .
Antwoord: 4
1. Uitgewerkt is $(2x + 3)^2 = ax^2 + 12x + 9$ . Wat is $a$ ? 4
2. Wat is de graad van de teller? 2
3. De graden zijn gelijk. Wat is de limiet? 4
15.
Wat gebeurt er met $\frac{5x^2 + 1}{3 - 2x}$ als $x \to -\infty$ ?
1. a)daalt onbegrensd ( $-\infty$ )
2. b) $0$
3. c) $-\frac{5}{2}$
4. d)groeit onbegrensd ( $+\infty$ )
Antwoord: groeit onbegrensd ( $+\infty$ )
Graad $2$ boven, graad $1$ onder: geen eindige limiet. Voor sterk negatieve $x$ is de teller positief en $3 - 2x$ ook, dus de breuk groeit onbegrensd: bij $x = -1000$ is hij ongeveer $4985$ .
16.
De gemiddelde kosten per stuk van een bedrijf zijn $C(x) = \frac{2000 + 8x}{x}$ euro bij $x$ stuks. Welk bedrag naderen de gemiddelde kosten als $x$ onbegrensd groeit?
Antwoord: 8
1. Wat is $C(500)$ ? 12
2. Schrijf $C(x) = \frac{2000}{x} + 8$ . Waar gaat $\frac{2000}{x}$ naartoe? 0
3. Wat is de limiet van $C(x)$ ? 8
17.
Voor welke waarde van $k$ heeft de grafiek van $y = \frac{kx^2 + 1}{4x^2 - 3}$ de horizontale asymptoot $y = 5$ ?
Antwoord: 20
Gelijke graden, dus de asymptoot is $y = \frac{k}{4}$ . Uit $\frac{k}{4} = 5$ volgt $k = 20$ .
18.
Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{6 + 2e^{-x}}{3 - e^{-x}}$ .
Antwoord: 2
1. Waar gaat $e^{-x}$ naartoe als $x \to \infty$ ? 0
2. Waar gaat de teller $6 + 2e^{-x}$ naartoe? 6
3. Waar gaat de noemer $3 - e^{-x}$ naartoe? 3
4. Wat is de limiet? 2