Limieten door direct invullen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke limiet kun je meteen door direct invullen berekenen?
1. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
4. d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$
Antwoord: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
Bij $x = 1$ is de noemer $x + 1 = 2 \neq 0$ , dus $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ . De andere drie geven $\frac{0}{0}$ en moeten eerst vereenvoudigd worden.
2.
Bereken $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 4)$ .
Antwoord: 14
$3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 12 - 2 + 4 = 14$ .
3.
Bereken $\lim_{x \to 4} (x^2 - 3x + 1)$ door direct invullen.
Antwoord: 5
1. Wat is $x^2$ bij $x = 4$ ? 16
2. Wat is $-3x$ bij $x = 4$ ? -12
3. Tel alles op: $16 - 12 + 1$ . Wat is de limiet? 5
4.
Direct invullen in $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ geeft $\frac{0}{0}$ . Wat moet je concluderen?
1. a)De limiet bestaat niet
2. b)De limiet is 1
3. c)Eerst vereenvoudigen, dan opnieuw invullen
4. d)De limiet is 0
Antwoord: Eerst vereenvoudigen, dan opnieuw invullen
$\frac{0}{0}$ zegt nog niets over de limiet. Ontbinden geeft $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , dus de limiet is $8$ .
5.
Bereken $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 6}{x + 3}$ .
Antwoord: 4
Teller: $2 \cdot (-1)^2 + 6 = 8$ . Noemer: $-1 + 3 = 2$ . Limiet: $\frac{8}{2} = 4$ .
6.
Bereken $\lim_{x \to 2} \frac{x + 6}{x^2 + 1}$ . Schrijf het antwoord als breuk.
Antwoord: 8/5
1. Wat is de noemer $x^2 + 1$ bij $x = 2$ ? 5
2. Wat is de teller $x + 6$ bij $x = 2$ ? 8
3. De noemer is niet 0. Wat is de limiet? (breuk) 8/5
7.
Bereken $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .
Antwoord: 10
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ , en $5 + 5 = 10$ .
8.
Bereken $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .
Antwoord: -6
1. Wat is de teller $x^2 - 9$ bij $x = -3$ ? 0
2. Wat is de noemer $x + 3$ bij $x = -3$ ? 0
3. Het is $\frac{0}{0}$ , dus ontbind: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - \square)$ . Welk getal hoort in het vakje? 3
4. Na het wegdelen van $(x + 3)$ blijft $x - 3$ over. Wat is de limiet? -6
9.
Wat is $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ ?
1. a) $1$
2. b) $-1$
3. c) $0$
4. d) $5$
Antwoord: $1$
Invullen geeft $\frac{0}{0}$ . $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$ , en $-2 + 3 = 1$ .
10.
Bereken $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ .
Antwoord: 6
1. Wat is de teller $x^2 - 2x - 8$ bij $x = 4$ ? 0
2. De noemer is ook 0. Ontbind: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + \square)$ . Welk getal hoort in het vakje? 2
3. Na het wegdelen blijft $x + 2$ over. Wat is de limiet? 6
11.
Om $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ te berekenen, vermenigvuldig je teller en noemer met:
1. a) $x + 9$
2. b) $\sqrt{x}$
3. c) $\sqrt{x} - 3$
4. d) $\sqrt{x} + 3$
Antwoord: $\sqrt{x} + 3$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$ , dat wegvalt tegen de noemer: de limiet wordt $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .
12.
Bereken $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ .
Antwoord: 2
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$ , en $\frac{3 + 3}{3} = 2$ .
13.
Bereken $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ .
Antwoord: 2
1. Wat is de teller $x^2 + 2x - 3$ bij $x = 1$ ? 0
2. Wat is de noemer $x^2 - 1$ bij $x = 1$ ? 0
3. Na het wegdelen van $(x - 1)$ blijft $\frac{x + 3}{x + 1}$ over. Wat is de nieuwe teller $x + 3$ bij $x = 1$ ? 4
4. Wat is de nieuwe noemer $x + 1$ bij $x = 1$ ? 2
5. Wat is de limiet? 2
14.
Wat is $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ?
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $0$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $1$
Antwoord: $\frac{3}{2}$
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , en bij $x = 1$ : $\frac{3}{2}$ .
15.
Bereken $\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ door met de geconjugeerde te vermenigvuldigen.
Antwoord: 1/10
1. Wat is de teller $\sqrt{x} - 5$ bij $x = 25$ ? 0
2. $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) = x - \square$ . Welk getal hoort in het vakje? 25
3. Na het wegdelen van $(x - 25)$ heb je $\frac{1}{\sqrt{x} + 5}$ . Wat is $\sqrt{x} + 5$ bij $x = 25$ ? 10
4. Wat is de limiet? (breuk) 1/10
16.
Bereken $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . Geef het antwoord als breuk of decimaal getal.
Antwoord: 1/4
Na vermenigvuldigen met de geconjugeerde: $\frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ , en bij $x = 0$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
17.
Bereken $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Antwoord: 12
1. Wat is de teller $x^3 - 8$ bij $x = 2$ ? 0
2. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + \square)$ . Welk getal hoort in het vakje? 4
3. Na het wegdelen blijft $x^2 + 2x + 4$ over. Wat is de limiet? 12
18.
Bereken $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ .
Antwoord: 1/4
1. Wat is de teller $\sqrt{x + 3} - 2$ bij $x = 1$ ? 0
2. $(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2) = (x + 3) - \square$ . Welk getal hoort in het vakje? 4
3. Na het wegdelen van $(x - 1)$ heb je $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . Wat is $\sqrt{x + 3} + 2$ bij $x = 1$ ? 4
4. Wat is de limiet? (breuk) 1/4