Productregel voor logaritmen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\log_b(MN)$ (met $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M \cdot \log_b N$
3. c) $\log_b(M + N)$
4. d) $\log_b M - \log_b N$
Antwoord: $\log_b M + \log_b N$
Volgens de productregel is $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ . De logaritme van een product is de som van de logaritmen, niet hun product.
2.
Gebruik de productregel: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = \;?$
Antwoord: 5
$\log_2 4 = 2$ en $\log_2 8 = 3$ , dus de som is $5$ . Controle: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ .
3.
Schrijf $\log_3(5x)$ uit voor $x > 0$ .
1. a) $\log_3(5 + x)$
2. b) $5 \log_3 x$
3. c) $\log_3 5 + \log_3 x$
4. d) $\log_3 5 \cdot \log_3 x$
Antwoord: $\log_3 5 + \log_3 x$
$\log_3(5x) = \log_3 5 + \log_3 x$ . De factor $5$ gaat niet vóór de logaritme (daarvoor is een macht nodig, $x^5$ ).
4.
Bereken $\log 2 + \log 50$ (briggse logaritme, grondtal 10) zonder rekenmachine.
Antwoord: 2
$\log 2 + \log 50 = \log 100 = 2$ , want $10^2 = 100$ .
5.
Schrijf $\log_6 4 + \log_6 9$ als één logaritme en bereken die.
Antwoord: 2
1. Vermenigvuldig de argumenten: $4 \cdot 9 = \;?$ 36
2. Wat is $\log_6 36$ ? 2
6.
Controleer dat $\log_2 32 = \log_2 4 + \log_2 8$ .
Antwoord: 5
1. Wat is $\log_2 4$ ? 2
2. Wat is $\log_2 8$ ? 3
3. Wat is $\log_2 32$ ? (Het moet de som van de twee uitkomsten zijn.) 5
7.
Welke uitspraak is waar?
1. a) $\log(10 + 10) = 2$
2. b) $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
3. c) $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
4. d) $\log 2 \cdot \log 5 = \log 10$
Antwoord: $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
$\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$ is de productregel ( $= \log 10 = 1$ ). De andere zijn onwaar: $\log(6+4) = 1$ , maar $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$ ; $\log 2 \cdot \log 5 \approx 0{,}210$ ; $\log 20 \approx 1{,}301$ , niet $2$ .
8.
Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ om $\log 6$ te benaderen. Geef het antwoord in 3 decimalen.
Antwoord: 0.778
$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ . (De rekenmachine geeft $0{,}77815\ldots$ )
9.
Als $\log_b M = 3{,}2$ en $\log_b N = 1{,}5$ , wat is dan $\log_b(MN)$ ?
Antwoord: 4.7
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N = 3{,}2 + 1{,}5 = 4{,}7$ . Je hoeft $b$ , $M$ en $N$ niet te kennen.
10.
Benader $\log 12$ met $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ . Geef het antwoord in 3 decimalen.
Antwoord: 1.079
1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Hoeveel factoren $2$ zijn er? 2
2. Wat is $\log 2 + \log 2$ ? 0.602
3. Tel $\log 3$ erbij op: wat is $\log 12$ ? 1.079
11.
Schrijf $\log_2(8xy) = \log_2 8 + \log_2 x + \log_2 y$ uit en bereken de waarde voor $x = 4$ en $y = 16$ .
Antwoord: 9
1. Wat is $\log_2 8$ ? 3
2. Wat is $\log_2 x$ voor $x = 4$ ? 2
3. Wat is $\log_2 y$ voor $y = 16$ ? 4
4. Tel de drie uitkomsten op. Wat is $\log_2(8xy)$ ? 9
12.
Voeg $\log_4 2 + \log_4 32$ samen tot één logaritme en bereken die.
Antwoord: 3
1. Vermenigvuldig de argumenten: $2 \cdot 32 = \;?$ 64
2. Wat is $\log_4 64$ ? 3
13.
Voeg $\log_5 x + \log_5(x + 3)$ samen tot één logaritme.
1. a) $2\log_5 x + 3$
2. b) $\log_5(x^2 + 3x)$
3. c) $\log_5(x^2 + 3)$
4. d) $\log_5(2x + 3)$
Antwoord: $\log_5(x^2 + 3x)$
$\log_5 x + \log_5(x+3) = \log_5\big(x(x+3)\big) = \log_5(x^2 + 3x)$ , geldig voor $x > 0$ .
14.
Voor welke waarden van $x$ geldt $\log x + \log(x - 4) = \log(x^2 - 4x)$ ?
1. a)Voor $x > 4$
2. b)Voor alle reële getallen $x$
3. c)Voor $x > 0$
4. d)Voor $x < 0$ of $x > 4$
Antwoord: Voor $x > 4$
Het linkerlid bestaat alleen als $x > 0$ en $x > 4$ , dus voor $x > 4$ . Het rechterlid bestaat ook voor $x < 0$ (bijvoorbeeld $x = -1$ geeft $\log 5$ ), maar dan bestaat $\log(-1)$ links niet. De gelijkheid geldt precies voor $x > 4$ .
15.
Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ om $\log 2000$ te benaderen. Geef het antwoord in 3 decimalen.
Antwoord: 3.301
$\log 2000 = \log 2 + \log 1000 \approx 0{,}301 + 3 = 3{,}301$ . Vermenigvuldigen met $1000$ telt gewoon $3$ op bij de logaritme.
16.
Voeg $\log_3 x + \log_3 9 + \log_3 x$ samen tot één logaritme $\log_3(9x^2)$ en bereken die voor $x = 3$ .
Antwoord: 4
1. Wat is het argument $9x^2$ voor $x = 3$ ? 81
2. Wat is $\log_3 81$ ? 4
3. Controleer met de oorspronkelijke som: $\log_3 3 + \log_3 9 + \log_3 3 = \;?$ 4
17.
Een geluid heeft een niveau van $50$ decibel: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 50$ . De intensiteit wordt met $100$ vermenigvuldigd. Gebruik $10 \log\left(100 \cdot \frac{I}{I_0}\right) = 10 \log 100 + 10 \log\frac{I}{I_0}$ om het nieuwe niveau te vinden.
Antwoord: 70
1. Wat is $\log 100$ ? 2
2. Wat is $10 \log 100$ ? 20
3. Wat is het nieuwe niveau in decibel? 70
18.
Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ , $\log 3 \approx 0{,}477$ en $\log 7 \approx 0{,}845$ om $\log 42$ te benaderen. Geef het antwoord in 3 decimalen.
Antwoord: 1.623
1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot \;?$ 7
2. Wat is $\log 2 + \log 3$ ? 0.778
3. Tel $\log 7$ erbij op: wat is $\log 42$ ? 1.623