Docentenhandleiding: Productregel voor logaritmen

Leer waarom de logaritme van een product de som van de logaritmen is, en gebruik de regel om logaritmen uit te schrijven, samen te voegen en te berekenen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De productregel voor logaritmen en de voorwaarden voor grondtal en argumenten formuleren
De regel verklaren met de rekenregel $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
Logaritmen van producten uitschrijven als sommen van logaritmen
Sommen van logaritmen met hetzelfde grondtal samenvoegen tot één logaritme
Logaritmen van producten benaderen met bekende waarden zoals $\log 2 \approx 0{,}301$

Vereisten

• Definitie van een logaritme: $\log_b y = x$ betekent $b^x = y$
• Rekenregel voor het vermenigvuldigen van machten: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
• Briggse logaritme (grondtal 10): $\log x$ lezen als $\log_{10} x$
• Eigenschappen van logaritmen: overzicht van de rekenregels

Discussiestarters

1. Waarom worden de logaritmen opgeteld als je twee getallen vermenigvuldigt? Hoe is dat hetzelfde als $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ ?
2. Als $\log 2 \approx 0{,}301$ , wat is dan $\log 20$ ? En $\log 200$ ? Welk patroon zie je?
3. Je vriend schrijft $\log(x + 5) = \log x + \log 5$ . Hoe zou je hem overtuigen dat dit fout is?
4. Waarom maakte een logaritmetabel het vermenigvuldigen van grote getallen makkelijker in de tijd vóór rekenmachines?

Veelvoorkomende misvattingen

$\log$ behandelen als een getal dat je over een som verdeelt: $\log(M + N) = \log M + \log N$

Herstel: Laat leerlingen $\log(6 + 4)$ en $\log 6 + \log 4$ vergelijken in de rekenmachine. Benadruk dat $\log$ een functie is en geen factor, en dat de regel een product in de logaritme vraagt.

Denken dat de logaritme van een product het product van de logaritmen is

Herstel: Vergelijk $\log_2(4 \cdot 8) = 5$ met $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$ . Koppel het aan exponenten: $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$ , de exponenten worden opgeteld, niet vermenigvuldigd.

Denken dat je elke twee logaritmen kunt samenvoegen, ook met verschillende grondtallen

Herstel: Bekijk het bewijs opnieuw: het vraagt één grondtal $b$ voor beide machten. Laat zien dat $\log_2 8 + \log_4 16 = 3 + 2 = 5$ , maar dat het product $8 \cdot 16 = 128$ is met $\log_2 128 = 7$ en $\log_4 128 = 3{,}5$ : geen van beide grondtallen geeft $5$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met grondtal 2 en machten van 2, zodat elke logaritme een geheel getal is ( $\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32$ )
• Elk getal eerst als macht schrijven ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ ) en de exponenten optellen
• Elke uitschrijving numeriek controleren met de rekenmachine

Voor leerlingen op niveau:

• Uitdrukkingen als $\log_5(25xy)$ uitschrijven en sommen als $\log_6 4 + \log_6 9$ samenvoegen
• $\log 6$ , $\log 12$ en $\log 2000$ benaderen met $\log 2$ en $\log 3$
• Ware en onware uitspraken over logaritmen herkennen en de onware verbeteren

Voor gevorderde leerlingen:

• De productregel in eigen woorden bewijzen vanuit de definitie van de logaritme
• Met de grafiek uitleggen waarom $y = \log_2(ax)$ een verticale verschuiving van $y = \log_2 x$ is
• Uitdrukkingen met variabelen samenvoegen en het domein geven, zoals $\log x + \log(x - 4)$

Standaarduitlijning

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentieel model als logaritme schrijven en de logaritme met technologie berekenen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen op te lossen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
De structuur van een uitdrukking gebruiken om manieren te vinden om haar te herschrijven

Lesbronnen

visualVerschoven logaritmegrafiek
Verschuif $a$ en zie dat $y = \log_2(a x)$ de grafiek van $y = \log_2 x$ is, $\log_2 a$ omhoog geschoven
activityControle met de rekenmachine
Leerlingen testen ware en onware uitspraken zoals $\log 20 = \log 4 + \log 5$ en $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
worksheetUitschrijven en samenvoegen
Gemengde oefeningen om producten uit te schrijven en sommen samen te voegen, plus schattingen met $\log 2$ en $\log 3$

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De productregel voor logaritmen zegt dat de logaritme van een product de som is van de logaritmen van de factoren:

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

De regel geldt voor elk grondtal

b > 0

b \neq 1

, en voor positieve getallen

M

N

Waarom het klopt: een logaritme is een exponent. Schrijf

M = b^m

N = b^n

, dus

\log_b M = m

\log_b N = n

. Als je machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, tel je de exponenten op:

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

De exponent van

MN

is dus

m + n

, en dat betekent

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Controle met getallen:

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Van links naar rechts gebruikt schrijft de regel de logaritme van een product uit als een som. Van rechts naar links gebruikt voegt hij een som van logaritmen (met hetzelfde grondtal) samen tot één logaritme.

Uitgewerkte voorbeelden

Laat zien dat $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ .

Bereken het linkerlid

$4 \cdot 8 = 32$ en $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Bereken elke logaritme in het rechterlid

$2^2 = 4$ en $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Tel op en vergelijk

$2 + 3 = 5$ , hetzelfde als links → $5 = 5$

Antwoord: Beide kanten zijn $5$ : $4$ keer $8$ telt de exponenten $2$ en $3$ op.

Veelgemaakte fouten

$\log(M + N) = \log M + \log N$ schrijven

Waarom het fout is: De regel gaat over een product in de logaritme, niet over een som. Controle: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , maar $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Correct: Alleen $\log(MN) = \log M + \log N$ klopt. De logaritme van een som, zoals $\log(x + 3)$ , kun je niet splitsen.

De logaritmen vermenigvuldigen: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Waarom het fout is: Als je de getallen vermenigvuldigt, tel je de exponenten op, je vermenigvuldigt ze niet. Controle: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , maar $\log_2 32 = 5$ .

Correct: Een product binnen wordt een som buiten: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Logaritmen met verschillende grondtallen samenvoegen: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Waarom het fout is: Het bewijs gebruikt $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , en dat werkt alleen als beide machten hetzelfde grondtal $b$ hebben.

Correct: Voeg alleen logaritmen met hetzelfde grondtal samen. $\log_2 x + \log_3 y$ blijft zoals het is (of gebruik eerst de formule voor verandering van grondtal).

De regel gebruiken met negatieve factoren: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Waarom het fout is: $\log 10 = 1$ bestaat, maar $\log(-2)$ en $\log(-5)$ bestaan niet: het argument van een logaritme moet positief zijn.

Correct: De regel vraagt $M > 0$ en $N > 0$ . Bij samenvoegen houd je het domein van de oorspronkelijke logaritmen aan (bijvoorbeeld $x > 0$ ).

Waarom het belangrijk is

De productregel maakt van vermenigvuldigen optellen, en precies daarom zijn logaritmen uitgevonden:

Rekenen met de hand: vóór de rekenmachine vermenigvuldigde men grote getallen door hun logaritmen uit een tabel op te tellen (ook de rekenliniaal telt lengtes op).
Logaritmen berekenen: als je $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ kent, krijg je $\log 6 \approx 0{,}778$ zonder rekenmachine.
Geluid en wetenschap: als een geluid 100 keer intenser wordt, stijgt het geluidsniveau in decibel met een vaste hoeveelheid, omdat $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Vergelijkingen oplossen: in de les Logaritmische vergelijkingen oplossen voeg je $\log_2 x + \log_2(x+2)$ samen tot één logaritme voordat je kunt oplossen.
Informatica: onafhankelijke keuzes combineren vermenigvuldigt de mogelijkheden maar telt de bits op, want $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Toepassingen in de echte wereld

Decibel en geluidsintensiteit

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Als de intensiteit $I$ met een factor $k$ wordt vermenigvuldigd, geeft de productregel $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, dus het niveau stijgt met $10 \log k$.

Voorbeeld:

Een geluid dat 10 keer intenser wordt, stijgt $10 \log 10 = 10$ decibel, ongeacht het beginniveau.

1Probeer het zelf

In een straat wordt $60$ decibel gemeten. Een bouwmachine maakt de geluidsintensiteit $1000$ keer groter.

Wat is het nieuwe geluidsniveau in decibel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel $10 \log(1000)$ op bij het oude niveau:

De rekenliniaal: vermenigvuldigen door optellen

Een rekenliniaal zet elk getal $x$ op een afstand $\log x$ van het begin. Door de ene schaal langs de andere te schuiven tel je twee afstanden op, en volgens de productregel is de som van de afstanden de logaritme van het product.

Voorbeeld:

Voor $2 \cdot 3$ tel je $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ op, en precies daar staat de $6$ .

2Probeer het zelf

Op een rekenliniaal staat de $4$ op afstand $\log 4 \approx 0{,}602$ en de $5$ op afstand $\log 5 \approx 0{,}699$ . Achter elkaar gelegd geven ze een totale afstand.

Welk product toont de rekenliniaal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zoek het getal waarvan de logaritme de totale afstand is:

Bits aan informatie

In de informatica heb je $\log_2 N$ bits nodig om één van $N$ even waarschijnlijke mogelijkheden op te slaan. Twee onafhankelijke keuzes combineren vermenigvuldigt de mogelijkheden, maar telt de bits op.

Voorbeeld:

Een keuze uit $8$ symbolen kost $\log_2 8 = 3$ bits, een keuze uit $4$ kost $2$ bits, en samen zijn er $32$ mogelijkheden: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

3Probeer het zelf

Een spelfiguur wordt opgeslagen met één van $16$ kleuren en één van $64$ vormen.

Hoeveel bits zijn nodig om kleur en vorm samen op te slaan?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Belangrijke punten

1Productregel: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ voor $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Hij volgt uit de rekenregel $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : getallen vermenigvuldigen telt hun exponenten op
3Uitschrijven: de logaritme van een product als som schrijven, zoals $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Samenvoegen: een som van logaritmen met hetzelfde grondtal tot één logaritme maken, zoals $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Met $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ kun je logaritmen van producten benaderen, zoals $\log 6 \approx 0{,}778$
6Voor $\log(M + N)$ bestaat geen regel: de logaritme van een som kun je niet splitsen

Veelgestelde vragen

Werkt de productregel ook met meer dan twee factoren?

Ja. Pas hem gewoon vaker toe:

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Bijvoorbeeld

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

Werkt hij ook voor de natuurlijke logaritme?

Ja, hij werkt voor elk geldig grondtal, ook voor

e

\ln(MN) = \ln M + \ln N

. Bijvoorbeeld

\ln 2 + \ln 5 = \ln 10

Bestaat er een regel voor $\log(M + N)$ ?

Nee. De logaritme van een som heeft in het algemeen geen eenvoudigere vorm.

\log(6 + 4) = \log 10 = 1

, terwijl

\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380

Wat is het verschil met de quotiëntregel en de machtsregel?

Het zijn broertjes van hetzelfde idee. De productregel maakt van vermenigvuldigen optellen; de Quotiëntregel voor logaritmen maakt van delen aftrekken; de Machtsregel voor logaritmen maakt van een macht een vermenigvuldiging met de exponent.

Woordenlijst

Productregel: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : de logaritme van een product is de som van de logaritmen
Uitschrijven (splitsen): Een logaritme schrijven als som van eenvoudigere logaritmen, zoals $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Samenvoegen: Een som van logaritmen met hetzelfde grondtal schrijven als één logaritme
Argument: Het getal in de logaritme, $M$ in $\log_b M$ ; het moet positief zijn
Briggse logaritme: De logaritme met grondtal 10, geschreven als $\log x$

Formulekaart

Productregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Voor $M, N > 0$ en $b > 0$, $b \neq 1$

Waar hij vandaan komt

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Machten vermenigvuldigen telt de exponenten op

Drie factoren

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

De regel meerdere keren toepassen

Handige waarden

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Briggse logaritmen om logaritmen van producten te schatten

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Productregel voor logaritmen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Decibel en geluidsintensiteit

De rekenliniaal: vermenigvuldigen door optellen

Bits aan informatie

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Productregel

Waar hij vandaan komt

Drie factoren

Handige waarden

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)