De rij van Fibonacci

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk getal komt hierna? $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
1. a)20
2. b)18
3. c)21
4. d)26
Antwoord: 21
De volgende term is $8 + 13 = 21$ .
2.
Met $F_1 = F_2 = 1$ : wat is $F_{10}$ , het 10e Fibonacci-getal?
Antwoord: 55
$F_8 = 21$ en $F_9 = 34$ , dus $F_{10} = 21 + 34 = 55$ .
3.
Welke regel maakt de rij van Fibonacci?
1. a)De twee vorige termen optellen
2. b)De vorige term kwadrateren
3. c)De vorige term met 2 vermenigvuldigen
4. d)2 bij de vorige term optellen
Antwoord: De twee vorige termen optellen
Elke term is de som van de twee termen ervoor: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Verdubbelen zou juist $1, 2, 4, 8, \ldots$ geven.
4.
Twee naburige Fibonacci-getallen zijn $34$ en $55$ . Wat is de volgende term?
Antwoord: 89
$34 + 55 = 89$ .
5.
In het konijnenprobleem van Fibonacci zijn er in maand 1 tot en met 4 $1, 1, 2, 3$ paren. Hoeveel paren zijn er in maand 7?
Antwoord: 13
1. Hoeveel paren zijn er in maand 5? 5
2. Hoeveel paren zijn er in maand 6? 8
3. Hoeveel paren zijn er in maand 7? 13
6.
Begin bij $F_4 = 3$ en $F_5 = 5$ en bereken $F_8$ .
Antwoord: 21
1. Wat is $F_6$ ? 8
2. Wat is $F_7$ ? 13
3. Wat is $F_8$ ? 21
7.
Welke verhouding van naburige Fibonacci-getallen ligt het dichtst bij de gulden snede $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)13/8
2. b)89/55
3. c)3/2
4. d)8/5
Antwoord: 89/55
$\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ , terwijl $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{3}{2} = 1{,}5$ en $\frac{13}{8} = 1{,}625$ . Hoe verder de termen, hoe dichter bij $\varphi$ .
8.
Bereken de som van de eerste 10 Fibonacci-getallen: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55$ .
Antwoord: 143
De som is $F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ .
9.
Twee naburige Fibonacci-getallen zijn $233$ en $377$ . Reken terug: welke term staat twee plaatsen voor $233$ ?
Antwoord: 89
1. Welke term komt vlak voor $233$ ? 144
2. Welke term komt daarvoor? 89
3. Controle: hoeveel is $89 + 144$ ? 233
10.
Elk derde Fibonacci-getal is even. Welke van deze termen is even?
1. a) $F_{24}$
2. b) $F_{20}$
3. c) $F_{22}$
4. d) $F_{25}$
Antwoord: $F_{24}$
$24 = 3 \times 8$ is een veelvoud van 3, dus $F_{24}$ is even (het is $46368$ ). 20, 22 en 25 zijn geen veelvouden van 3.
11.
De getallen van Lucas gebruiken de regel van Fibonacci, maar beginnen met 2 en 1: $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ Wat is de volgende term?
Antwoord: 29
$11 + 18 = 29$ .
12.
De Fibonacci-getallen $8$ en $13$ zijn buren. Bereken de volgende term en daarna de verhouding van die term tot $13$ , afgerond op 3 decimalen.
Antwoord: 1.615
1. Wat is de volgende term na $13$ ? 21
2. Wat is $\frac{21}{13}$ afgerond op 3 decimalen? 1.615
3. Hoe ver ligt $1{,}615$ van $1{,}618$ ? 0.003
13.
Gebruik de somregel $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ om $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13$ te berekenen.
Antwoord: 33
1. Hoeveel termen worden opgeteld? (Dat is $n$ .) 7
2. De regel gebruikt $F_{n+2}$ . Wat is $n + 2$ ? 9
3. Wat is $F_9$ ? 34
4. Wat is de som $F_9 - 1$ ? 33
14.
De gulden snede heeft de eigenschap $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Wat is $\varphi^2$ met $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)2,618
2. b)3,236
3. c)2,236
4. d)1,309
Antwoord: 2,618
$\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 1{,}618 + 1 = 2{,}618$ . Controle: $1{,}618 \times 1{,}618 \approx 2{,}618$ . ( $3{,}236$ is $2\varphi$ , niet $\varphi^2$ .)
15.
Je loopt een trap op met telkens 1 of 2 treden. Er is 1 manier voor 1 trede en er zijn 2 manieren voor 2 treden, en elk volgend aantal is de som van de twee vorige. Op hoeveel manieren kun je 10 treden oplopen?
Antwoord: 89
Voor 1 tot en met 10 treden: $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . Je kunt 10 treden dus op $89$ manieren oplopen (dat is $F_{11}$ ).
16.
Een nieuwe rij gebruikt de regel van Fibonacci, maar begint met $4$ en $10$ . Bereken de termen 3 tot en met 6 en daarna de verhouding van term 6 tot term 5, afgerond op 2 decimalen.
Antwoord: 1.63
1. Wat is term 3? 14
2. Wat is term 4? 24
3. Wat is term 5? 38
4. Wat is term 6? 62
5. Wat is $\frac{62}{38}$ afgerond op 2 decimalen? 1.63
17.
Hoeveel van de eerste 30 Fibonacci-getallen $F_1, F_2, \ldots, F_{30}$ zijn even?
Antwoord: 10
1. Op welke plaats staat het eerste even Fibonacci-getal? 3
2. Op welke plaats staat het volgende even getal? 6
3. Even termen staan op veelvouden van 3. Hoeveel veelvouden van 3 zijn er van 1 tot en met 30? 10
18.
Controleer met getallen dat $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ voldoet aan $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ . Rond elke uitkomst af op 3 decimalen.
Antwoord: 1.618
1. Wat is $\sqrt{5}$ afgerond op 3 decimalen? 2.236
2. Wat is $\frac{1 + 2{,}236}{2}$ ? 1.618
3. Wat is $\frac{1}{1{,}618}$ afgerond op 3 decimalen? 0.618
4. Wat is $1 + 0{,}618$ ? 1.618