Z-scores (standaardiseren)

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Toetsscores hebben gemiddelde $\mu = 50$ en standaarddeviatie $\sigma = 5$ . Wat is de z-score van een score van $60$ ?
1. a)-2
2. b)10
3. c)2
4. d)0,5
Antwoord: 2
$z = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . De score ligt 2 standaarddeviaties boven het gemiddelde. $10$ is alleen de afstand in punten.
2.
Een verdeling heeft $\mu = 40$ en $\sigma = 4$ . Bereken de z-score van $x = 46$ .
Antwoord: 1.5
$z = \frac{46 - 40}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : de waarde ligt 1,5 standaarddeviaties boven het gemiddelde.
3.
Een waarde $x = 18$ komt uit een verdeling met $\mu = 12$ en $\sigma = 3$ . Bereken de z-score.
Antwoord: 2
1. Wat is $x - \mu = 18 - 12$ ? 6
2. Deel door $\sigma = 3$ . Wat is z? 2
4.
Een waarde heeft z-score $z = -1{,}5$ . Wat betekent dat?
1. a)Hij ligt 1,5 standaarddeviatie onder het gemiddelde
2. b)Hij ligt 15% onder het gemiddelde
3. c)Hij ligt 1,5 punt onder het gemiddelde
4. d)Hij ligt 1,5 standaarddeviatie boven het gemiddelde
Antwoord: Hij ligt 1,5 standaarddeviatie onder het gemiddelde
Een z-score telt standaarddeviaties, geen punten of procenten. Het minteken betekent onder het gemiddelde, dus $z = -1{,}5$ ligt 1,5 standaarddeviatie onder het gemiddelde.
5.
In een groep volwassenen heeft het gewicht $\mu = 65$ kg en $\sigma = 10$ kg. Wat is de z-score van iemand die $47$ kg weegt?
Antwoord: -1.8
$z = \frac{47 - 65}{10} = \frac{-18}{10} = -1{,}8$ : 1,8 standaarddeviatie onder het gemiddelde.
6.
Een verdeling heeft $\mu = 60$ en $\sigma = 5$ . Welke waarde heeft z-score $z = -2$ ?
Antwoord: 50
1. Wat is $z\sigma = (-2) \cdot 5$ ? -10
2. Wat is $x = \mu + z\sigma = 60 + (-10)$ ? 50
7.
Vier leerlingen maakten verschillende toetsen. Wie deed het het best vergeleken met de anderen die dezelfde toets maakten?
1. a)Ben: 85 punten (μ = 75, σ = 10)
2. b)Ana: 78 punten (μ = 70, σ = 4)
3. c)Cleo: 90 punten (μ = 84, σ = 6)
4. d)Dan: 66 punten (μ = 60, σ = 5)
Antwoord: Ana: 78 punten (μ = 70, σ = 4)
Ana: $\frac{78 - 70}{4} = 2$ . Ben: $\frac{85 - 75}{10} = 1$ . Cleo: $\frac{90 - 84}{6} = 1$ . Dan: $\frac{66 - 60}{5} = 1{,}2$ . Ana heeft de grootste z-score, ook al heeft Cleo de meeste punten.
8.
De scores op een landelijke toets hebben $\mu = 500$ en $\sigma = 100$ . Welke score heeft z-score $z = -1{,}2$ ?
Antwoord: 380
$x = 500 + (-1{,}2) \cdot 100 = 500 - 120 = 380$ .
9.
Nora loopt 5 km in $24$ min (haar club: $\mu = 27$ min, $\sigma = 2$ min) en zwemt 100 m in $75$ s (haar club: $\mu = 80$ s, $\sigma = 4$ s). Lagere tijden zijn beter. In welke sport is ze relatief beter? Geef de z-score van die sport.
Antwoord: -1.5
1. Wat is haar z-score bij hardlopen, $\frac{24 - 27}{2}$ ? -1.5
2. Wat is haar z-score bij zwemmen, $\frac{75 - 80}{4}$ ? -1.25
3. Lager is beter, dus de kleinste z wint. Typ de kleinste z-score. -1.5
10.
IQ-scores hebben $\mu = 100$ en $\sigma = 15$ . Welke score is ongewoon ( $|z| > 2$ )?
1. a)75
2. b)85
3. c)134
4. d)120
Antwoord: 134
$z(120) \approx 1{,}33$ , $z(134) = \frac{34}{15} \approx 2{,}27$ , $z(85) = -1$ , $z(75) \approx -1{,}67$ . Alleen 134 heeft $|z| > 2$ ; het gewone gebied loopt van 70 tot 130.
11.
Bij de 100 meter van een school hebben de tijden $\mu = 13{,}5$ s en $\sigma = 0{,}6$ s. Bereken de z-score van een tijd van $12{,}6$ s.
Antwoord: -1.5
$z = \frac{12{,}6 - 13{,}5}{0{,}6} = \frac{-0{,}9}{0{,}6} = -1{,}5$ . Bij hardlopen is dat een goed resultaat: 1,5 standaarddeviatie sneller dan gemiddeld.
12.
Een telefoonaccu gaat gemiddeld $\mu = 40$ uur mee met $\sigma = 3$ uur. Eén accu gaat maar $33{,}4$ uur mee. Is dat ongewoon?
Antwoord: -2.2
1. Wat is $33{,}4 - 40$ ? -6.6
2. Deel door $\sigma = 3$ . Wat is z? -2.2
3. Is $|z| > 2$ , is de gebruiksduur dus ongewoon? Ja
13.
De rusthartslag van tieners heeft $\mu = 72$ slagen per minuut en $\sigma = 8$ . Bepaal het gebied van gewone waarden, van $z = -2$ tot $z = 2$ .
Antwoord: [56, 88]
1. Wat is $2\sigma = 2 \cdot 8$ ? 16
2. Ondergrens: $72 - 16$ ? 56
3. Bovengrens: $72 + 16$ ? 88
14.
Een docent geeft elke leerling 5 bonuspunten erbij. Wat gebeurt er met de z-score van elke leerling?
1. a)Hij daalt met 5
2. b)Hij stijgt met 5/σ
3. c)Hij stijgt met 5
4. d)Hij blijft gelijk
Antwoord: Hij blijft gelijk
Elke score en het gemiddelde stijgen met 5, dus $x - \mu$ verandert niet. De spreiding verandert ook niet, dus $\sigma$ blijft gelijk. Daarom blijft $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ gelijk.
15.
Een toets heeft gemiddelde $\mu = 80$ . Een score van $92$ heeft z-score $z = 1{,}5$ . Wat is de standaarddeviatie $\sigma$ ?
Antwoord: 8
$1{,}5 = \frac{92 - 80}{\sigma} = \frac{12}{\sigma}$ , dus $\sigma = \frac{12}{1{,}5} = 8$ .
16.
De scores op een toelatingsexamen hebben $\mu = 1050$ en $\sigma = 200$ . Voor een beurs is een z-score van minstens $1{,}75$ nodig. Wat is de laagste score die volstaat?
Antwoord: 1400
1. Wat is $z\sigma = 1{,}75 \cdot 200$ ? 350
2. Wat is $x = 1050 + 350$ ? 1400
17.
In een klas heeft een score van $78$ de z-score $z = 1{,}5$ en is de standaarddeviatie $\sigma = 6$ . Wat is het klasgemiddelde $\mu$ ?
Antwoord: 69
1. Hoeveel punten ligt 78 boven het gemiddelde? Bereken $z\sigma = 1{,}5 \cdot 6$ . 9
2. Wat is $\mu = 78 - 9$ ? 69
18.
Bij een toets heeft een score van $70$ de z-score $z = -1$ en een score van $94$ de z-score $z = 2$ . Bereken de standaarddeviatie $\sigma$ en het gemiddelde $\mu$ . Geef $\mu$ als eindantwoord.
Antwoord: 78
1. Hoeveel standaarddeviaties liggen de twee scores uit elkaar? ( $2 - (-1)$ ) 3
2. Hoeveel punten liggen ze uit elkaar? ( $94 - 70$ ) 24
3. Dus $3\sigma = 24$ . Wat is $\sigma$ ? 8
4. 70 ligt één standaarddeviatie onder het gemiddelde. Wat is $\mu = 70 + 8$ ? 78