Formules opstellen bij een sinusoïde

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een sinusoïde heeft een maximum van $8$ en een minimum van $2$ . Wat is de middellijn?
1. a) $y = 10$
2. b) $y = 6$
3. c) $y = 3$
4. d) $y = 5$
Antwoord: $y = 5$
$D = \frac{8 + 2}{2} = 5$ , dus de middellijn is $y = 5$ . ( $3$ is de amplitude en $6$ de totale hoogte.)
2.
Een golf gaat van een minimum van $1$ naar een maximum van $9$ . Wat is de amplitude?
Antwoord: 4
$A = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ . De amplitude is de helft van de totale hoogte.
3.
Een sinusgolf heeft periode $4\pi$ . Wat is $B$ in $y = \sin(Bx)$ ?
Antwoord: 1/2
$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ . Een lange periode geeft een kleine $B$ .
4.
Een golf heeft een maximum bij $x = 0$ . Welke vorm beschrijft hem met $C = 0$ ?
1. a) $y = A\cos(Bx) + D$
2. b) $y = A\sin(Bx) + D$
3. c) $y = Ax + D$
4. d) $y = A\tan(Bx) + D$
Antwoord: $y = A\cos(Bx) + D$
$\cos(0) = 1$ is de grootste waarde van de cosinus, dus de cosinus begint in een maximum. De sinus begint op de middellijn, tangens en een rechte lijn schommelen niet tussen een maximum en een minimum.
5.
Een golf heeft een maximum van $6$ en een minimum van $-2$ . Bepaal de middellijn $D$ en de amplitude $A$ .
Antwoord: $D = 2$ , $A = 4$
1. Wat is de middellijn $D$ ? 2
2. Wat is de amplitude $A$ ? 4
6.
De waterstand in een haven herhaalt zich elke $12$ uur. Wat is $B$ in het model $y = A\cos(B(x - C)) + D$ met $x$ in uren? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld pi/4.)
Antwoord: pi/6
$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . Niet $12$ : de periode staat in de noemer.
7.
Een golf heeft amplitude $2$ , middellijn $y = 0$ , periode $2\pi$ en een maximum bij $x = \frac{\pi}{3}$ . Welke formule past?
1. a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
4. d) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
Antwoord: $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
$y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ geeft bij $x = \frac{\pi}{3}$ de waarde $2\cos(0) = 2$ . Met $(x + \frac{\pi}{3})$ ligt het maximum bij $-\frac{\pi}{3}$ , de sinusversie zit daar op de middellijn, en de laatste heeft amplitude $1$ en periode $\pi$ .
8.
Een golf heeft een maximum van $5$ bij $x = \frac{\pi}{6}$ , een minimum van $-1$ en periode $\frac{2\pi}{3}$ . Schrijf hem als $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Antwoord: $y = 3\cos\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2$
1. Wat is $D$ ? 2
2. Wat is $A$ ? 3
3. Wat is $B$ ? 3
4. Wat is $C$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) pi/6
9.
Een golf gaat bij $x = \frac{\pi}{4}$ stijgend door zijn middellijn $y = 0$ , heeft een maximum van $3$ en periode $\pi$ . Schrijf hem als $y = A\sin(B(x - C)) + D$ .
Antwoord: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
1. Wat is $A$ ? 3
2. Wat is $D$ ? 0
3. Wat is $B$ ? 2
4. Wat is $C$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) pi/4
10.
Welke formule tekent NIET dezelfde grafiek als $y = 2\cos(x)$ ?
1. a) $y = 2\cos(x - 2\pi)$
2. b) $y = -2\cos(x - \pi)$
3. c) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Antwoord: $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
Bij $x = 0$ : $2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ , $-2\cos(-\pi) = 2$ , $2\cos(-2\pi) = 2$ , maar $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$ . Die laatste grafiek is de omgekeerde golf $y = -2\cos(x)$ .
11.
De grafiek van $y = 4\sin(2x) + 1$ kun je ook schrijven als $y = 4\cos(2(x - C)) + 1$ . Wat is de kleinste positieve $C$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld pi/3.)
Antwoord: pi/4
$\sin(2x)$ is het grootst als $2x = \frac{\pi}{2}$ , dus $x = \frac{\pi}{4}$ . Dat is een kwart van de periode $\pi$ . Dus $C = \frac{\pi}{4}$ .
12.
Een reuzenrad heeft een diameter van $30$ m, het midden ligt $18$ m boven de grond en het draait één keer rond in $6$ minuten. Je stapt op $t = 0$ onderaan in. Gebruik $h(t) = A\cos(Bt) + D$ .
Antwoord: 33
1. Wat is $D$ in m? 18
2. Je begint onderaan, dus $A$ is negatief. Wat is $A$ ? -15
3. Wat is $B$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) pi/3
4. Hoe hoog ben je na $3$ minuten (in m)? 33
13.
Een golf heeft een maximum in $(1, 7)$ en het volgende minimum in $(4, 1)$ . Schrijf hem als $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Antwoord: $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}(x - 1)\right) + 4$
1. Wat is de periode? 6
2. Wat is $B$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) pi/3
3. Wat is $A$ ? 3
4. Wat is $D$ ? 4
5. Wat is $C$ ? 1
14.
In een haven is het hoogwater om 4:00 uur $9$ m en het volgende laagwater om 10:00 uur $1$ m. Beschrijf de diepte met $y = A\cos(B(x - C)) + D$ ( $x$ in uren na middernacht) en bereken de diepte om 6:00 uur.
Antwoord: 7
1. Wat is de periode in uren? 12
2. Wat is $A$ ? 4
3. Wat is $D$ ? 5
4. Wat is $B$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) pi/6
5. Hoe diep is het water om 6:00 uur (in m)? 7
15.
Een golf heeft een maximum van $10$ bij $x = 3$ en het volgende minimum van $2$ bij $x = 7$ . Wat is in $y = A\sin(B(x - C)) + D$ met $A > 0$ de kleinste positieve $C$ ?
Antwoord: 1
Halve periode $= 7 - 3 = 4$ , dus de periode is $8$ en een kwart periode is $2$ . De golf gaat stijgend door de middellijn bij $x = 3 - 2 = 1$ , dus $C = 1$ .
16.
Een gewicht aan een veer begint op $t = 0$ in zijn laagste punt, $2$ cm boven de vloer. Het hoogste punt ligt op $12$ cm en één volledige trilling duurt $4$ seconden. Welk model klopt?
1. a) $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
2. b) $h = -7\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 5$
3. c) $h = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
4. d) $h = -5\cos(4t) + 7$
Antwoord: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
$D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ , amplitude $= \frac{12 - 2}{2} = 5$ , $B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ , en $A = -5$ omdat hij onderaan begint: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$ . Controle: $t = 0$ geeft $-5 + 7 = 2$ .
17.
Een grafiek heeft een minimum van $-5$ bij $x = 0$ , een maximum van $3$ en periode $4\pi$ . Schrijf hem als $y = A\cos(Bx) + D$ (dus $C = 0$ ).
Antwoord: $y = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$
1. Wat is $D$ ? -1
2. Wat is de amplitude? 4
3. De grafiek begint in een minimum. Wat is $A$ ? -4
4. Wat is $B$ ? 1/2
18.
Een stad heeft op de langste dag (dag $172$ ) $17$ uur daglicht en op de kortste $7$ uur. Het patroon herhaalt zich elke $365$ dagen. Bepaal $A$ , $D$ , $B$ en $C$ in $y = A\cos(B(d - C)) + D$ .
Antwoord: $y = 5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$
1. Wat is $A$ in uren? 5
2. Wat is $D$ in uren? 12
3. Wat is $B$ ? (Typ pi voor $\pi$ , bijvoorbeeld 3pi/4.) 2pi/365
4. Wat is $C$ ? 172