Docentenhandleiding: Formules opstellen bij een sinusoïde

Lees het maximum, het minimum, de periode en een beginpunt af bij een golf en maak er y = A sin(B(x - C)) + D of een cosinusformule van.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische grafieken. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Het maximum, het minimum, de periode en een beginpunt aflezen bij de grafiek van een sinusoïde
A, B, C en D berekenen en de formule in sinus- of cosinusvorm opstellen
Meerdere gelijkwaardige formules opstellen bij dezelfde grafiek en controleren dat ze overeenkomen
Sinusoïdale modellen opstellen uit echte gegevens (reuzenrad, getijden, daglicht, veren) en daarmee waarden voorspellen

Vereisten

• De grafieken van $y = \sin(x)$ en $y = \cos(x)$ tekenen (lessen over de sinus- en de cosinusfunctie)
• Amplitude en periode: $|A|$ en $\frac{2\pi}{|B|}$ (les Amplitude en periode)
• Faseverschuiving en verticale verschuiving (lessen Faseverschuiving, Verticale verschuiving en Transformaties van goniometrische grafieken)
• Exacte waarden van sinus en cosinus bij veelvouden van $\frac{\pi}{6}$ en $\frac{\pi}{4}$

Discussiestarters

1. Twee klasgenoten hebben bij dezelfde grafiek verschillende formules opgesteld. Hoe beslis je wie gelijk heeft zonder te tekenen?
2. Waarom geeft een reuzenrad dat onderaan begint een negatieve A in een cosinusmodel?
3. Is de daglengte echt een perfecte sinusgolf? Waar zou het model kunnen afwijken?
4. Als je alleen twee naburige maxima van een golf kent, wat heb je dan nog nodig om de formule op te stellen?

Veelvoorkomende misvattingen

Bij een grafiek hoort precies één goede formule

Herstel: Laat de halve klas een sinusformule en de andere helft een cosinusformule opstellen bij dezelfde grafiek, teken ze daarna samen in de grafiekmaker en laat zien dat ze over elkaar heen vallen.

De amplitude is de grootste waarde

Herstel: Laat een golf zien met middellijn $y = 5$ die van $3$ tot $7$ gaat. Vraag hoe ver de top van de middellijn ligt, niet van de x-as.

B is de periode

Herstel: Vergelijk $\sin(2x)$ en $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ op het scherm: een grotere B drukt de golf in elkaar. Leid daarna $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ af uit $\text{periode} = \frac{2\pi}{B}$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met golven die bij $x = 0$ een maximum hebben, zodat alleen A, B en D nieuw zijn
• Geef een tabel met de kolommen max, min, periode en begin om in te vullen voordat de formule wordt opgesteld
• Gebruik de schuifregelaar-visual met hints aan

Voor leerlingen op niveau:

• Bij elke grafiek een sinus- en een cosinusformule opstellen
• Getijden en reuzenraderen modelleren vanuit tekstbeschrijvingen
• Elke formule controleren door een maximum en een minimum in te vullen

Voor gevorderde leerlingen:

• Echte gegevens verzamelen (daglicht in de eigen stad, maandtemperaturen) en een model passend maken
• Alle waarden van C tussen $0$ en één periode vinden die bij een gegeven grafiek passen
• Met het model bepalen wanneer een waarde voor het eerst wordt bereikt (een goniometrische vergelijking oplossen)

Standaarduitlijning

HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Goniometrische functies kiezen om periodieke verschijnselen met gegeven amplitude, frequentie en middellijn te modelleren
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Goniometrische functies tekenen met periode, middellijn en amplitude
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek herkennen van f(x) vervangen door f(x) + k, k f(x), f(kx) en f(x + k)

Lesbronnen

visualRaak de golf
Leerlingen lezen een doelgolf af en schuiven met A, B, C en D tot hun kromme er precies overheen ligt
activityReuzenrad van een kartonnen bordje
Leerlingen draaien een rad van een kartonnen bordje, noteren de hoogte bij elke achtste omwenteling, zetten de punten uit en stellen de formule op
worksheetVan grafiek naar formule
Twaalf grafieken en datasets om om te zetten in sinus- en cosinusformules, met elk twee antwoorden

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

In de vorige lessen ging je van formule naar grafiek. Nu gaan we de andere kant op: je kijkt naar een golf (of leest een beschrijving) en stelt de formule op.

Elke sinus- of cosinusgolf kun je schrijven in een van deze vormen:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

In Nederlandse schoolboeken zie je vaak

y = a + b\sin(c(x - d))

; dat is hetzelfde met andere letters. In deze les houden we

A

B

C

D

aan.

Je hebt maar vier aflezingen uit de grafiek nodig: het maximum, het minimum, de periode en een beginpunt.

Letter	Betekenis	Zo vind je hem
$D$	middellijn (verticale verschuiving)	$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$
$A$	amplitude	$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
$B$	hoe snel de golf zich herhaalt	$B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$
$C$	faseverschuiving (horizontale verschuiving)	waar een periode begint

**Zo kies je

C

:**

Cosinus begint in een maximum: $C$ = de $x$ van een maximum.
Sinus begint op de middellijn, stijgend: $C$ = de $x$ waar de grafiek stijgend door de middellijn gaat.

Bij één grafiek horen veel goede formules. Je kunt bij elk maximum beginnen (een hele periode bij

C

optellen of eraf halen), wisselen tussen sinus en cosinus (

C

een kwart periode verschuiven) of een negatieve

A

nemen (dan begint de cosinus in een minimum). Ze tekenen allemaal dezelfde golf.

Uitgewerkte voorbeelden

Een grafiek heeft een maximum van

5

bij

x = 0

, een minimum van

1

en periode

2\pi

. Stel de formule op.

Bepaal de middellijn D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Bepaal de amplitude A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Bepaal B uit de periode

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Kies de vorm en C

De golf begint bij

x = 0

in een maximum, dus cosinus met

C = 0

Antwoord: $y = 2\cos(x) + 3$

Veelgemaakte fouten

Het maximum als amplitude nemen (max $7$ , min $3$ , dus $A = 7$ )

Waarom het fout is: De amplitude meet je vanaf de middellijn, niet vanaf de x-as. De golf komt maar $2$ eenheden boven zijn middellijn $y = 5$ .

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , en de $5$ hoort bij $D$ .

De periode als B schrijven (periode $12$ , dus $B = 12$ )

Waarom het fout is: B is niet de periode. Een grotere B laat de golf sneller herhalen, dus de periode wordt korter.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{periode}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Het teken van C fout: een maximum bij $x = 2$ geschreven als $\cos(B(x + 2))$

Waarom het fout is: Binnen de haakjes heeft de verschuiving het omgekeerde teken. $(x + 2)$ schuift de golf naar links.

Correct: Een maximum bij $x = 2$ betekent $\cos(B(x - 2))$ . Controle: bij $x = 2$ is wat tussen de haakjes staat $0$ en $\cos(0) = 1$ .

Sinus gebruiken en C bij het maximum zetten

Waarom het fout is: De sinus begint niet in een maximum. Bij $x = C$ ligt de sinusgolf op de middellijn en stijgt.

Correct: Neem bij de sinus het punt waar de golf stijgend door de middellijn gaat, een kwart periode voor het maximum. Of neem de cosinus en het maximum.

Waarom het belangrijk is

Alles wat zich in een regelmatige cyclus herhaalt, kun je beschrijven met een sinus- of cosinusformule, en in het echt krijg je bijna nooit eerst de formule. Je krijgt gegevens: een hoogste waarde, een laagste waarde en hoe lang één cyclus duurt.

Reuzenraderen: je hoogte boven de grond stijgt en daalt bij elke omwenteling
Getijden: de waterstand gaat ongeveer elke 12 uur van hoog- naar laagwater en terug
Daglicht: het aantal uren daglicht is in de zomer het grootst en herhaalt zich elke 365 dagen
Veren en slingers: een gewicht beweegt in een vaste tijd op en neer
Temperatuur: de gemiddelde dagtemperatuur volgt een golf over het jaar

Als je de formule kunt opstellen, kun je voorspellen: de hoogte na 2 minuten, de waterstand om 6:00 uur, het daglicht op je verjaardag.

Toepassingen in de echte wereld

Uren daglicht

Sterrenkundigen en zonne-energietechnici beschrijven de daglengte met een cosinusgolf die zich elk jaar herhaalt.

Voorbeeld:

In een noordelijke stad heeft de langste dag (dag $172$ , rond 21 juni) $16$ uur daglicht en de kortste $8$ . Een model is $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Probeer het zelf

Een andere stad heeft op de langste dag $15$ uur daglicht en op de kortste $9$ uur. Het patroon herhaalt zich elke $365$ dagen.

Welke waarde van B hoort in het model $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ :

Reuzenraderen

Ontwerpers van attracties gebruiken de hoogteformule om te controleren hoe snel passagiers stijgen en hoe lang ze bovenin blijven.

Voorbeeld:

Een rad met een diameter van $50$ m en het midden op $30$ m hoogte draait één keer rond in $12$ minuten. Bij instappen onderaan geldt $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Probeer het zelf

Je stapt op $t = 0$ helemaal onderaan in het rad hierboven ( $50$ m diameter, midden op $30$ m, één omwenteling in $12$ minuten).

Hoe hoog ben je na $2$ minuten (in m)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul $t = 2$ in bij $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Een gewicht aan een veer

Ingenieurs beschrijven trillingen (vering van auto's, bruggen, sensoren) met dezelfde formules als een gewicht dat aan een veer op en neer beweegt.

Voorbeeld:

Een gewicht beweegt tussen $4$ cm en $16$ cm boven een tafel op en neer en doet $2$ seconden over één volledige trilling.

3Probeer het zelf

Het gewicht hierboven wordt op $t = 0$ in zijn hoogste punt ( $16$ cm) losgelaten. Eén volledige trilling duurt $2$ seconden, het laagste punt ligt op $4$ cm.

Hoe hoog is het gewicht na $\frac{1}{3}$ seconde (in cm)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $y = 6\cos(\pi t) + 10$ met $t = \frac{1}{3}$ :

Belangrijke punten

1Middellijn: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; amplitude: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
2Uit de periode: $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ (van een maximum naar het volgende minimum is een halve periode)
3Cosinus: $C$ is de $x$ van een maximum; sinus: $C$ is waar de golf stijgend door de middellijn gaat
4Een golf die in een minimum begint, is een cosinus met negatieve $A$
5Bij één grafiek horen veel goede formules: hele periodes bij $C$ optellen, een kwart periode schuiven om te wisselen tussen sinus en cosinus, of het teken van $A$ omdraaien en een halve periode schuiven
6Controleer in je formule altijd één punt (een maximum of een minimum)

Veelgestelde vragen

Moet ik sinus of cosinus gebruiken?

Allebei is goed. Neem wat

C

het makkelijkst maakt: cosinus als je een maximum goed kunt aflezen, sinus als je ziet waar de golf stijgend door de middellijn gaat.

Mijn antwoord is anders dan in het boek. Is het fout?

Niet per se. Controleer een maximum en een minimum in beide formules. Als ze bij dezelfde

x

dezelfde waarden geven, tekenen ze dezelfde golf. Zo zijn

y = 3\sin(2x) + 1

y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1

dezelfde grafiek.

Hoe vind ik de periode als ik maar een deel van de golf zie?

Meet de horizontale afstand tussen twee naburige maxima (een hele periode), of tussen een maximum en het volgende minimum (een halve periode) en verdubbel die.

En als de opgave uren of dagen gebruikt in plaats van radialen?

De werkwijze verandert niet:

B = \frac{2\pi}{\text{periode}}

, met de periode in dezelfde eenheid als

x

. Getijden met periode

12

uur hebben

B = \frac{\pi}{6}

, een jaarpatroon heeft

B = \frac{2\pi}{365}

Woordenlijst

Middellijn: De horizontale lijn $y = D$ precies tussen het maximum en het minimum van de golf
Amplitude: De afstand van de middellijn tot een maximum: $\frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
Periode: De horizontale lengte van één volledige cyclus; $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$
Faseverschuiving: De horizontale verschuiving $C$ : waar een periode van de standaard sinus- of cosinusgolf begint
Sinusoïdaal model: Een formule $y = A\sin(B(x - C)) + D$ of $y = A\cos(B(x - C)) + D$ die een echte, zich herhalende grootheid beschrijft

Formulekaart

Algemene vormen

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Elke sinus- of cosinusgolf past in een van deze vormen

Middellijn

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

Het gemiddelde van de hoogste en de laagste waarde

Amplitude

A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

De helft van de totale hoogte van de golf

B uit de periode

B = \frac{2\pi}{\text{periode}}

De periode is de afstand tussen twee maxima

Beginpunt C

\cos

C = x_{\text{max}}

;

\sin

C = x_{\text{middellijn, stijgend}}

Cosinus begint in een maximum, sinus stijgend op de middellijn

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Formules opstellen bij een sinusoïde

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Uren daglicht

Reuzenraderen

Een gewicht aan een veer

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Algemene vormen

Middellijn

Amplitude

B uit de periode

Beginpunt C

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode