Goniometrische uitdrukkingen vereenvoudigen

Antwoord: $\sin x$

$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$: de factor $\cos x$ valt weg.

Antwoord: $\cos^2 x$

Trek aan beide kanten van $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ de term $\sin^2 x$ af: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Antwoord: 5

$\tan x \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$, dus de uitdrukking is $1 + 4 = 5$.

Antwoord: $\sec x$

1. In sinus en cosinus: $\csc x \tan x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. Welke factor valt weg? $\sin x$
2. Wat blijft er over na het wegdelen? $\frac{1}{\cos x}$
3. Welke functie is gelijk aan $\frac{1}{\cos x}$? $\sec x$

Antwoord: 1

1. Schrijf $\cot x$ in sinus en cosinus. $\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Herschrijf $\sec x$. $\frac{1}{\cos x}$
3. Vermenigvuldig: $\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ 1

Antwoord: $\cos x$

1. Bereken de oorspronkelijke uitdrukking: $\dfrac{\sin 60°}{\tan 60°} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = ?$ 0.5
2. Bereken het antwoord van de leerling: $\sin^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ?$ 0.75
3. De waarden verschillen, dus de leerling heeft het fout. De juiste vorm is $\cos x$. Wat is $\cos 60°$? 0.5

Antwoord: $\tan x$

$\dfrac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Antwoord: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ en $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$, dus de som is $1 + 1 = 2$.

Antwoord: 1

1. Delen door $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ is vermenigvuldigen met $\sin x$. Wat wordt $\dfrac{\sin x}{\csc x}$? $\sin^2 x$
2. Wat wordt op dezelfde manier $\dfrac{\cos x}{\sec x}$? $\cos^2 x$
3. Wat is $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1

Antwoord: $\tan^2 x$

$\dfrac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$.

Antwoord: 4

$\dfrac{4(1 - \cos^2 x)}{\sin x} = \dfrac{4\sin^2 x}{\sin x} = 4\sin x$, dus $k = 4$.

Antwoord: $1 + \cos x$

1. Vervang $\sin^2 x$ met een Pythagorische identiteit. $1 - \cos^2 x$
2. Ontbind $1 - \cos^2 x$ als verschil van twee kwadraten. $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$
3. Deel $1 - \cos x$ weg: het resultaat is $1 + \cos x$. Wat is de waarde bij $x = 60°$? 1.5

Antwoord: $\sin^3 x$

1. Haal de gemeenschappelijke factor buiten haakjes. $\sin x(1 - \cos^2 x)$
2. Vervang $1 - \cos^2 x$ door $\sin^2 x$. De uitdrukking wordt $\sin^n x$: wat is $n$? 3
3. Bereken $\sin^3 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ als kommagetal. 0.125

Antwoord: $2\tan x$

Teller: $\cos x(1 + \sin x) - \cos x(1 - \sin x) = 2\sin x\cos x$. Noemer: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Dus $\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.

Antwoord: 8

$\dfrac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$. Bij $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, dus $\sec^2 60° = 4$ en de waarde is $2 \cdot 4 = 8$.

Antwoord: $\sec x - 1$

1. Vervang $\tan^2 x$ met een Pythagorische identiteit. $\sec^2 x - 1$
2. Ontbind de teller $\sec^2 x - 1$. $(\sec x - 1)(\sec x + 1)$
3. Deel $\sec x + 1$ weg: het resultaat is $\sec x - 1$. Bereken het bij $x = 60°$. 1

Antwoord: 2

1. Werk $(\sin x + \cos x)^2$ uit. $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$
2. $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$. Wat geven de middelste termen $2\sin x\cos x$ en $-2\sin x\cos x$ als je beide uitwerkingen optelt? 0
3. Wat overblijft: $2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = ?$ 2

Antwoord: 1

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$ en $\sec x \csc x = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$, dus het quotiënt is $1$.