Goniometrische identiteiten bewijzen

Naam:

Klas:

Datum:

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke bewering is een identiteit (waar voor elke toegestane hoek $x$ )?
1. a) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. b) $\sin x = \cos x$
3. c) $\sin x + \cos x = 1$
4. d) $\tan x = 1$
2.
Controleer de identiteit $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1$ bij $x = 60°$ . Wat is de waarde van het linkerlid? Gebruik $\tan 60° = \sqrt{3}$ en $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .
3.
Controleer numeriek dat $\tan x \cos x = \sin x$ geldt bij $x = 30°$ .
4.
Welke stap is NIET toegestaan bij het bewijzen van een identiteit?
1. a) $\tan x$ in één lid schrijven als $\frac{\sin x}{\cos x}$
2. b)Een gemeenschappelijke factor in een breuk wegdelen
3. c)Beide leden delen door $\cos x$
4. d)Eén lid vermenigvuldigen met $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$
5.
Laat zien dat $\sin(2x) = 2\sin x$ GEEN identiteit is: bereken linkerlid min rechterlid bij $x = 90°$ .
6.
Bewijs dat $\sin x \cot x = \cos x$ .
7.
Wat is de beste eerste stap om $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$ te bewijzen, als je bij het linkerlid begint?
1. a)Beide leden kwadrateren
2. b)Bij beide leden $\cos x$ optellen
3. c)Teller en noemer vermenigvuldigen met $1 - \cos x$
4. d)Teller en noemer vermenigvuldigen met $1 + \cos x$
8.
Bereken het rechterlid van $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ bij $x = 60°$ . Gebruik $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\tan 60° = \sqrt{3}$ .
9.
Bewijs dat $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$ .
10.
Bewijs dat $\dfrac{1}{1 - \cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} = 2\csc^2 x$ .
11.
Welke hoek is een tegenvoorbeeld dat laat zien dat $\sin x + \cos x = 1$ geen identiteit is?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $45°$
4. d) $0°$
12.
Bereken $\dfrac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$ bij $x = 30°$ .
13.
Weerleg de bewering $(\sin x + \cos x)^2 = 1$ en zoek waaraan het linkerlid echt gelijk is.
14.
Aan welke uitdrukking is $\dfrac{1}{1 - \sin x} - \dfrac{1}{1 + \sin x}$ gelijk?
1. a) $2\tan x \sec x$
2. b) $2\sin x$
3. c) $2\sec^2 x$
4. d) $2\tan^2 x$
15.
$\sec^4 x - \tan^4 x = 1 + A\tan^2 x$ is een identiteit. Welk getal is $A$ ?
16.
Bewijs dat $\dfrac{\cos x}{1 + \sin x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ .
17.
Bewijs dat $\cot^2 x - \cos^2 x = \cot^2 x \cos^2 x$ .
18.
Bewijs dat $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ .