Som- en verschilformules

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\sin(A + B)$ ?
1. a) $\sin A \sin B + \cos A \cos B$
2. b) $\cos A \cos B - \sin A \sin B$
3. c) $\sin A \cos B + \cos A \sin B$
4. d) $\sin A + \sin B$
Antwoord: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . De optie $\sin A + \sin B$ is de klassieke fout, en $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ is $\cos(A + B)$ .
2.
Vereenvoudig zonder rekenmachine: $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$
Antwoord: 1
Dit is de somformule voor de sinus achterstevoren: $\sin(70^\circ + 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ .
3.
Gebruik de verschilformule voor de cosinus om $\cos(90^\circ - 30^\circ)$ te berekenen.
Antwoord: $\frac{1}{2}$
1. Wat is $\cos 90^\circ$ ? 0
2. Wat is $\sin 90^\circ$ ? 1
3. Bereken $\cos 90^\circ \cos 30^\circ + \sin 90^\circ \sin 30^\circ$ . 1/2
4.
Welke uitdrukking is gelijk aan $\cos(A - B)$ ?
1. a) $\sin A \cos B - \cos A \sin B$
2. b) $\cos A \cos B - \sin A \sin B$
3. c) $\cos A \cos B + \sin A \sin B$
4. d) $\cos A - \cos B$
Antwoord: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ . Met een minteken zou het $\cos(A + B)$ zijn, en $\sin A \cos B - \cos A \sin B$ is $\sin(A - B)$ .
5.
Vereenvoudig zonder rekenmachine: $\cos 50^\circ \cos 10^\circ - \sin 50^\circ \sin 10^\circ$
Antwoord: 1/2
$\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B)$ , dus de uitdrukking is $\cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .
6.
Bereken $\sin 105^\circ$ met $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ .
Antwoord: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
1. Bereken $\sin 60^\circ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ (exact, zoals sqrt(6)/4, of op 4 decimalen). 0.6124
2. Bereken $\cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ (exact of op 4 decimalen). 0.3536
3. Tel de exacte producten $\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ op en rond pas aan het eind af (de afgeronde producten optellen geeft 0,9660). Geef $\sin 105^\circ$ afgerond op 4 decimalen. 0.9659
7.
Wat is de exacte waarde van $\sin 75^\circ$ ?
1. a) $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$
2. b) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$
3. c) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
4. d) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Antwoord: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$ . De optie $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ is $\sin 30^\circ + \sin 45^\circ \approx 1{,}21$ , groter dan 1, dus geen sinuswaarde.
8.
Gebruik $\tan(45^\circ - 30^\circ)$ met $\tan 45^\circ = 1$ en $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ om $\tan 15^\circ$ te berekenen. Rond af op 4 decimalen.
Antwoord: 0.2679
$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}2679$ .
9.
$\sin A = \frac{5}{13}$ met $A$ in het eerste kwadrant, en $\cos B = -\frac{3}{5}$ met $B$ in het tweede kwadrant. Bereken $\sin(A + B)$ .
Antwoord: $\frac{33}{65}$
1. Wat is $\cos A$ ? 12/13
2. Wat is $\sin B$ ? 4/5
3. Bereken $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ als breuk. 33/65
10.
Bereken $\cos 75^\circ$ met $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ .
Antwoord: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
1. Bereken $\cos 45^\circ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ (exact of op 4 decimalen). 0.6124
2. Bereken $\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ (exact of op 4 decimalen). 0.3536
3. Trek het tweede product af van het eerste. Geef $\cos 75^\circ$ afgerond op 4 decimalen. 0.2588
11.
Welke waarde is gelijk aan $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ ?
1. a) $\cos 60^\circ$
2. b) $\sin 100^\circ$
3. c) $\cos 100^\circ$
4. d) $\sin 60^\circ$
Antwoord: $\cos 60^\circ$
$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$ , dus de uitdrukking is $\cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ$ . Wie $\cos 100^\circ$ kiest, heeft het teken per ongeluk laten staan.
12.
$\sin A = \frac{4}{5}$ en $\cos B = \frac{12}{13}$ , met $A$ en $B$ in het eerste kwadrant. Bereken $\cos(A + B)$ als breuk.
Antwoord: 16/65
$\cos(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}$ .
13.
$\tan A = 2$ en $\tan B = 3$ , met $A$ en $B$ scherpe hoeken. Bereken $\tan(A + B)$ en de hoek $A + B$ .
Antwoord: $\tan(A + B) = -1$ , $A + B = 135^\circ$
1. Wat is de teller $\tan A + \tan B$ ? 5
2. Wat is de noemer $1 - \tan A \tan B$ ? -5
3. Wat is $\tan(A + B)$ ? -1
4. $A + B$ ligt tussen $0^\circ$ en $180^\circ$ . Welke hoek daar heeft tangens $-1$ ? (in graden) 135
14.
$\sin A = \frac{3}{5}$ met $A$ in het eerste kwadrant. Gebruik $\cos(A + B)$ met $B = A$ om $\cos 2A$ te berekenen.
Antwoord: $\frac{7}{25}$
1. Wat is $\cos A$ ? 4/5
2. Wat is $\cos A \cos A$ ? 16/25
3. Wat is $\sin A \sin A$ ? 9/25
4. Wat is $\cos 2A = \cos A \cos A - \sin A \sin A$ ? 7/25
15.
Wat is de exacte waarde van $\cos 165^\circ$ ? (Tip: $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ )
1. a) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
2. b) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
3. c) $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
4. d) $-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Antwoord: $-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\cos 165^\circ = \cos 120^\circ \cos 45^\circ - \sin 120^\circ \sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx -0{,}9659$ . De waarde moet negatief zijn en dicht bij $-1$ , omdat $165^\circ$ dicht bij $180^\circ$ ligt.
16.
$\cos A = -\frac{3}{5}$ met $A$ in het tweede kwadrant, en $\sin B = -\frac{5}{13}$ met $B$ in het derde kwadrant. Bereken $\sin(A - B)$ als breuk.
Antwoord: -63/65
$\sin A = \frac{4}{5}$ en $\cos B = -\frac{12}{13}$ . $\sin(A - B) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}$ .
17.
$\cos A = -\frac{4}{5}$ met $A$ in het derde kwadrant, en $\sin B = \frac{12}{13}$ met $B$ in het tweede kwadrant. Bereken $\cos(A + B)$ .
Antwoord: $\frac{56}{65}$
1. Wat is $\sin A$ ? -3/5
2. Wat is $\cos B$ ? -5/13
3. Bereken $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ als breuk. 56/65
18.
Bereken $\tan 105^\circ$ met $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ .
Antwoord: $-2 - \sqrt{3}$
1. Wat is de teller $\tan 60^\circ + \tan 45^\circ$ ? (exact, zoals sqrt(3)+1, of op 4 decimalen) 2.7321
2. Wat is de noemer $1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ$ (exact of op 4 decimalen)? -0.7321
3. Deel de exacte waarden $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ en rond pas aan het eind af (met de afgeronde waarden krijg je -3,7319). Geef $\tan 105^\circ$ afgerond op 4 decimalen. -3.7321