Docentenhandleiding: Som- en verschilformules

Leer de som- en verschilformules voor sinus, cosinus en tangens, bereken exacte waarden zoals sin 75° en combineer hoeken uit verschillende kwadranten.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische identiteiten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De som- en verschilformules voor sinus, cosinus en tangens geven
Exacte waarden van hoeken als 15°, 75°, 105° en 165° berekenen uit bijzondere hoeken
sin(A + B), cos(A + B) en tan(A + B) berekenen uit gegeven waarden, met de tekens van de kwadranten
Een uitgewerkte uitdrukking als sin 70° cos 20° + cos 70° sin 20° herkennen en vereenvoudigen
De formules voor de dubbele hoek afleiden uit de somformules

Vereisten

• Exacte waarden van sin, cos en tan voor 30°, 45°, 60° en de eenheidscirkel
• Pythagorische identiteiten: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Tekens van de goniometrische functies in de vier kwadranten
• Complementformules en even en oneven identiteiten
• Breuken met wortels vereenvoudigen

Discussiestarters

1. Waarom kan sin 30° + sin 60° niet de sinus van een hoek zijn?
2. Waarom draait de cosinusformule het teken om terwijl de sinusformule het houdt? Test A = B = 45°.
3. 75° = 45° + 30° en 75° = 120° - 45°. Geven beide dezelfde exacte waarde? Waarom?
4. Hoe krijg je de formules voor de dubbele hoek in één stap uit de somformules?
5. In welke echte situaties tellen twee hoeken op, en waar zou je deze formules nodig hebben?

Veelvoorkomende misvattingen

Goniometrische functies mag je over een som verdelen: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Herstel: Test met $A = 30^\circ$ , $B = 60^\circ$ : het linkerlid is 1, het rechterlid ongeveer 1,366. Gebruik daarna de grafiek met schuifjes: de rode kromme $\sin x + \sin b$ wijkt af van $\sin(x + b)$ voor elke $b$ behalve $0^\circ$ .

De tekens in alle formules volgen het teken tussen A en B

Herstel: Laat leerlingen $\cos(45^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ met beide tekenkeuzes testen. Alleen de versie met min geeft 0. Samenvatting: sinus houdt, cosinus draait om, tangens houdt boven en draait onder om.

Een waarde berekend met $\sqrt{1 - \sin^2 A}$ is altijd positief

Herstel: Teken voor het rekenen de hoek in zijn kwadrant op de eenheidscirkel en schrijf eerst het teken op. Vergelijk het eindantwoord met de rekenmachine voor de echte hoek.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef een formulekaart en een tabel met bijzondere waarden, begin alleen met sinus en cosinus van een som
• Oefen eerst alleen exacte waarden (75°, 15°) voordat kwadrantopgaven komen
• Controleer elke exacte uitkomst met de rekenmachine voor meer zelfvertrouwen

Voor leerlingen op niveau:

• Bereken alle exacte waarden van 15°, 75°, 105°, 165° voor sinus, cosinus en tangens
• Los kwadrantopgaven op voor sin(A ± B) en cos(A ± B)
• Vereenvoudig uitdrukkingen door een uitgewerkte formule te herkennen

Voor gevorderde leerlingen:

• Bewijs de verschilformule voor de cosinus met de afstandsformule op de eenheidscirkel
• Leid de formule voor de drievoudige hoek sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A af uit sin(2A + A)
• Schrijf a cos t + b sin t als één golf R sin(t + φ) en bepaal R en φ

Standaarduitlijning

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
De som- en verschilformules voor sinus, cosinus en tangens bewijzen en gebruiken om problemen op te lossen
F-TF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.3)
Met bijzondere driehoeken meetkundig de sinus, cosinus en tangens van π/3, π/4 en π/6 bepalen

Lesbronnen

visualGrafiek van de somformule
Schuifjes voor a en b laten zien dat sin(a + b) gelijk is aan sin a cos b + cos a sin b, maar niet aan sin a + sin b
visualBewijzen stap voor stap
Leid sin(x + 90°) = cos x, cos(180° - x) = -cos x en tan(x + 45°) regel voor regel af, met een numerieke controle
activityJacht op exacte waarden
Groepen bouwen 15°, 75°, 105°, 165° op twee verschillende manieren op uit bijzondere hoeken en vergelijken de uitkomsten
worksheetCombinaties van kwadranten
Gegeven sin A en cos B met kwadranten: bereken sin(A ± B), cos(A ± B) en het kwadrant van A + B

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De som- en verschilformules geven de sinus, cosinus en tangens van

A + B

A - B

, alleen met de waarden van

A

B

Sinus

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Cosinus

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangens

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Zo onthoud je de tekens:

De sinus houdt het teken: een $+$ in $A + B$ geeft een $+$ in de formule, en hij mengt sinus met cosinus.
De cosinus draait het teken om: $A + B$ geeft een min, $A - B$ een plus, en hij koppelt cosinus aan cosinus, sinus aan sinus.
Tangens: de teller houdt het teken, de noemer draait het om.

Let op:

\sin(A + B)

is niet

\sin A + \sin B

. Zo is

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, maar

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Met de bijzondere hoeken

30^\circ

45^\circ

60^\circ

geven deze formules exacte waarden voor nieuwe hoeken zoals

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Neem je

B = A

, dan krijg je de formules voor de dubbele hoek.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken de exacte waarde van

\sin 75^\circ

Schrijf $75^\circ$ als som van bijzondere hoeken

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Pas de somformule voor de sinus toe

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Twee producten van bekende waarden

Vul de exacte waarden in

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Controleer met de rekenmachine

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ De waarden komen overeen

Antwoord: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Veelgemaakte fouten

Schrijven: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Waarom het fout is: De sinus is geen lineaire functie, dus je mag hem niet over een som verdelen. Met $A = 30^\circ$ en $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , maar $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , en dat is niet eens een mogelijke sinuswaarde.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Verschuif de schuifjes in de grafiek: de rode kromme $\sin x + \sin b$ wijkt af van de andere twee.

Het teken in de cosinusformule laten staan: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Waarom het fout is: De cosinus draait het teken om. Test met $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , maar $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ en $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Elke ontbrekende waarde positief nemen, bijvoorbeeld $\cos A = \frac{4}{5}$ als $\sin A = \frac{3}{5}$ en $A$ in het tweede kwadrant ligt

Waarom het fout is: De Pythagorische identiteit geeft alleen de grootte. Het kwadrant bepaalt het teken, en een fout teken verandert de hele uitkomst.

Correct: Gebruik het kwadrant: in het tweede kwadrant is de cosinus negatief, dus $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Onthoud: eerste kwadrant alles positief, tweede alleen sinus, derde alleen tangens, vierde alleen cosinus.

In de noemer van $\tan(A + B)$ de vorm $1 + \tan A \tan B$ gebruiken

Waarom het fout is: In de tangensformule houdt de teller het teken, maar draait de noemer het om, net als bij de cosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ en $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Waarom het belangrijk is

De som- en verschilformules zijn de basis van de meeste andere goniometrische identiteiten:

Exacte waarden: de rekenmachine geeft $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , maar de formule geeft de exacte waarde $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , en die heb je nodig op toetsen en in bewijzen.
Meer identiteiten: dubbele hoek, halve hoek en de complementformules volgen er allemaal uit (neem $B = A$ of $A = 90^\circ$ ).
Golven en geluid: natuurkundigen schrijven $3\sin t + 4\cos t$ als één golf $5\sin(t + \varphi)$ om de amplitude af te lezen.
Draaiingen: elk computerspel en elke robotarm draait punten met $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ en $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , en dat is precies de somformule.
Hoeken tussen lijnen: de verschilformule voor de tangens geeft de hoek tussen twee wegen, hellingen of daklijnen rechtstreeks uit hun richtingscoëfficiënten.

Toepassingen in de echte wereld

Twee golven samenvoegen

In de natuurkunde en elektronica beschrijft een som als $3\sin t + 4\cos t$ twee golven die over elkaar heen lopen. De somformule voor de sinus laat zien dat het één golf $R\sin(t + \varphi)$ is, en $R$ is de amplitude (hoe sterk de golf is).

Voorbeeld:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Vergelijken met $3\sin t + 4\cos t$ geeft $R\cos\varphi = 3$ en $R\sin\varphi = 4$ .

1Probeer het zelf

Een signaal is $3\sin t + 4\cos t$ . Je wilt het schrijven als $R\sin(t + \varphi)$ met $R > 0$ .

Hoe groot is de amplitude $R$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Punten draaien in games en robotica

Een punt op afstand $r$ en met hoek $\alpha$ heeft coördinaten $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Draaien over $\beta$ geeft de hoek $\alpha + \beta$, en de somformules maken daar de draaiformules $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ en $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ van.

Voorbeeld:

$(1, 0)$ draaien over $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ en $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , dus het punt gaat naar $(0, 1)$ .

2Probeer het zelf

Een robotarm houdt een gereedschap vast in het punt $(4, 3)$ . De arm draait over een hoek $\beta$ met $\cos\beta = 0{,}8$ en $\sin\beta = 0{,}6$ .

Wat is de nieuwe $y$ -coördinaat van het gereedschap?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

De hoek tussen twee wegen

Een lijn met richtingscoëfficiënt $m$ maakt met de $x$-as een hoek $\theta$ met $\tan\theta = m$. De verschilformule voor de tangens geeft de hoek tussen twee lijnen rechtstreeks uit hun richtingscoëfficiënten, wat ontwerpers gebruiken voor kruispunten, hellingen en daklijnen.

Voorbeeld:

Lijnen met richtingscoëfficiënten $1$ en $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , dus ze snijden elkaar onder $45^\circ$ .

3Probeer het zelf

Op een kaart heeft de ene weg richtingscoëfficiënt $3$ en een tweede weg richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ .

Hoe groot is de hoek tussen de wegen, in graden?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ met $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Belangrijke punten

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : de sinus houdt het teken en mengt sinus met cosinus
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : de cosinus draait het teken om
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : de teller houdt het teken, de noemer draait het om
4Exacte waarden van $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ komen uit sommen en verschillen van $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (en $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Bij hoeken in andere kwadranten bereken je de ontbrekende sinus of cosinus met de Pythagorische identiteit en neem je het teken uit het kwadrant
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; met $B = A$ krijg je de formules voor de dubbele hoek

Veelgestelde vragen

Waarom is er geen eenvoudige regel zoals $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

Omdat de sinus geen lineaire functie is. Een hoek verdubbelen verdubbelt de sinus niet:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, maar

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, niet

1

. De somformule is de juiste vervanging van die foute regel.

Wat is het verband tussen de somformules en de formules voor de dubbele hoek?

Neem

B = A

. Dan is

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

. De tangensformule geeft

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

Welk paar bijzondere hoeken moet ik gebruiken?

Elk paar dat de hoek oplevert werkt:

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

60^\circ - 45^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

135^\circ + 30^\circ

. Verschillende paren geven dezelfde eindwaarde.

Wanneer bestaat $\tan(A + B)$ niet?

Als

1 - \tan A \tan B = 0

, dus als

\tan A \tan B = 1

. Dan is

A + B

gelijk aan

90^\circ

(of

270^\circ

), waar de tangens niet bestaat. Voorbeeld:

\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1

30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

Woordenlijst

Somformule: Een formule voor een goniometrische functie van $A + B$ , bijvoorbeeld $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Verschilformule: Een formule voor een goniometrische functie van $A - B$ , bijvoorbeeld $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Exacte waarde: Een waarde met gehele getallen, breuken en wortels, zoals $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , in plaats van een afgerond decimaal getal
Bijzondere hoeken: $30^\circ$ , $45^\circ$ en $60^\circ$ (en hun verwanten op de eenheidscirkel), waarvan sinus, cosinus en tangens exact bekend zijn
Teken per kwadrant: Het teken van een goniometrische waarde in elk kwadrant: I alles positief, II sinus, III tangens, IV cosinus

Formulekaart

Sinus van een som

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Houdt het teken, mengt sinus en cosinus

Sinus van een verschil

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Min tussen de twee producten

Cosinus van een som

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Het teken wordt min

Cosinus van een verschil

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Het teken wordt plus

Tangens van een som

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Teller houdt het teken, noemer draait het om

Tangens van een verschil

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Teller min, noemer plus

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Som- en verschilformules

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Sinus

Cosinus

Tangens

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Twee golven samenvoegen

Punten draaien in games en robotica

De hoek tussen twee wegen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Sinus van een som

Sinus van een verschil

Cosinus van een som

Cosinus van een verschil

Tangens van een som

Tangens van een verschil

Meer over dit onderwerp

Reciproke identiteiten

Pythagorische identiteiten

Even en oneven goniometrische identiteiten

Cofunctie-identiteiten