Steigungsform (y = mx + b)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Steigung von $y = 4x + 3$ ?
Lösung: 4
Bei $y = mx + b$ ist die Steigung m die Zahl, die mit x multipliziert wird. Hier ist $m = 4$ .
2.
Was ist der y-Achsenabschnitt von $y = 2x - 5$ ?
Lösung: -5
Bei $y = mx + b$ ist der y-Achsenabschnitt b die Konstante. Hier ist $b = -5$ (beachte das Minus!).
3.
Eine Gerade geht durch $(0, 7)$ und hat die Steigung $-3$ . Wie lautet ihre Gleichung in der Steigungsform? Schreibe sie als y=mx+b
Lösung: y=-3x+7
Der Punkt $(0, 7)$ liegt auf der y-Achse, also $b = 7$ . Mit Steigung $m = -3$ ist die Gleichung $y = -3x + 7$ .
4.
Wenn eine Gerade Steigung $\frac{1}{2}$ hat und bei $(0, 3)$ beginnt, was ist der y-Wert bei $x = 4$ ?
Lösung: 5
Gleichung: $y = \frac{1}{2}x + 3$ . Bei $x = 4$ : $y = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$ .
5.
Eine Gerade geht durch $(2, 8)$ und $(4, 14)$ . Was ist die Steigung?
Lösung: 3
$m = \frac{14 - 8}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$
6.
Welche Gerade hat eine positive Steigung?
1. a) $y = 3x - 4$
2. b) $y = -x$
3. c) $y = 5$
4. d) $y = -2x + 1$
Lösung: $y = 3x - 4$
Bei $y = 3x - 4$ ist die Steigung $+3$ , also positiv. Die anderen Gleichungen haben eine negative Steigung oder die Steigung 0.
7.
Wo schneidet die Gerade $y = 2x + 6$ die y-Achse?
1. a) $(2, 6)$
2. b) $(0, 6)$
3. c) $(0, 2)$
4. d) $(6, 0)$
Lösung: $(0, 6)$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = 6$ , also schneidet die Gerade die y-Achse bei $(0, 6)$ .
8.
Forme $3x + y = 9$ in die Steigungsform um.
1. a) $y = 3x - 9$
2. b) $y = 3x + 9$
3. c) $y = -3x - 9$
4. d) $y = -3x + 9$
Lösung: $y = -3x + 9$
$3x + y = 9$ → $y = -3x + 9$ . Subtrahiere dazu 3x auf beiden Seiten.
9.
Welche Geraden sind parallel?
1. a) $y = 2x + 1$ und $y = 3x + 1$
2. b) $y = 2x + 1$ und $y = 2x - 3$
3. c) $y = 2x + 1$ und $y = x + 2$
4. d) $y = 2x + 1$ und $y = -2x + 1$
Lösung: $y = 2x + 1$ und $y = 2x - 3$
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. $y = 2x + 1$ und $y = 2x - 3$ haben beide die Steigung $m = 2$ .
10.
Eine Gerade geht durch $(0, 5)$ und $(3, -1)$ . Was ist ihre Gleichung?
1. a) $y = 2x - 1$
2. b) $y = -2x - 1$
3. c) $y = -2x + 5$
4. d) $y = 2x + 5$
Lösung: $y = -2x + 5$
Steigung: $m = \frac{-1 - 5}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2$ . y-Achsenabschnitt: $b = 5$ . Gleichung: $y = -2x + 5$ .
11.
Ein Handytarif kostet 25 € pro Monat plus 2 € pro GB. Welche Gleichung beschreibt die Gesamtkosten y für x GB?
1. a) $y = 2x - 25$
2. b) $y = 27x$
3. c) $y = 2x + 25$
4. d) $y = 25x + 2$
Lösung: $y = 2x + 25$
Die Kosten pro GB (2) sind die Steigung (Änderungsrate). Die Monatsgebühr (25) ist der y-Achsenabschnitt (Startwert). Also $y = 2x + 25$ .
12.
Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt von $y = 5x - 2$
Lösung: m = 5, b = -2
1. Was ist der Koeffizient von x (die Steigung)? 5
2. Was ist die Konstante (der y-Achsenabschnitt)? -2
13.
Zeichne $y = 2x + 3$ . Finde den y-Achsenabschnitt und einen weiteren Punkt.
Lösung: (0, 3), (1, 5)
1. Was ist der y-Achsenabschnitt? Das gibt Punkt (0, ?) 3
2. Die Steigung ist 2. Gehe von (0, 3) aus 1 nach rechts und 2 nach oben. Was ist die y-Koordinate des neuen Punktes? 5
3. Was ist die x-Koordinate dieses neuen Punktes? 1
14.
Forme $2x + y = 10$ in die Steigungsform um.
Lösung: y=-2x+10
1. Subtrahiere 2x auf beiden Seiten. Was steht jetzt links? y
2. Was steht rechts? -2x+10
3. Was ist die Steigung? -2
15.
Finde die Gleichung einer Geraden mit Steigung $3$ , die durch $(0, -4)$ geht.
Lösung: y=3x-4
1. Der Punkt $(0, -4)$ liegt auf der y-Achse. Was ist der y-Achsenabschnitt (b)? -4
2. Wir wissen $m = 3$ und $b = -4$ . Schreibe die Gleichung als y=mx+b: y=3x-4
16.
Finde die Steigung der Geraden durch $(1, 2)$ und $(4, 11)$ .
Lösung: 3
1. Berechne die senkrechte Änderung (Änderung von y): $11 - 2 = ?$ 9
2. Berechne die waagerechte Änderung (Änderung von x): $4 - 1 = ?$ 3
3. Berechne die Steigung: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 9 \div 3 = ?$ 3
17.
Eine Gerade geht durch $(2, 5)$ und $(4, 9)$ . Schreibe die Gleichung in Steigungsform.
Lösung: y=2x+1
1. Berechne die Steigung: $(9-5) \div (4-2) = ?$ 2
2. Benutze Punkt $(2, 5)$ um b zu finden. Wenn $5 = 2(2) + b$ , was ist b? 1
3. Schreibe die finale Gleichung: y=2x+1
18.
Ein Fitnessstudio verlangt 50 € Anmeldegebühr plus 30 € pro Monat. Wie viel zahlst du nach 6 Monaten?
Lösung: 230
1. Was ist die Steigung (Monatskosten)? 30
2. Was ist der y-Achsenabschnitt (Anmeldegebühr)? 50
3. Berechne Gesamt für 6 Monate: $30 \times 6 + 50 = ?$ 230