Quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen

Lerne, quadratische Gleichungen zu lösen, indem du auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehst.

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Definition

Wenn eine quadratische Gleichung in der Form vorliegt, können wir sie lösen, indem wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen.
Wichtiges Konzept: Jede positive Zahl hat ZWEI Quadratwurzeln:
  • Eine positive Wurzel:
  • Eine negative Wurzel:
Zum Beispiel, wenn :
Das bedeutet ODER (denn sowohl als auch ).

Probier es gleich aus

Wie viele Lösungen hat ?

Lösungsbeispiele

Löse:

1

Identifiziere die Gleichungsform

Die Gleichung liegt bereits in der Form vor, wobei → Bereit zum Wurzelziehen

2

Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel

→

3

Vereinfache die Wurzel

→

4

Schreibe beide Lösungen

oder → Zwei Lösungen

Häufige Fehler

Die negative Lösung vergessen

Warum es falsch ist: Schüler schreiben oft nur die positive Wurzel und vergessen, dass auch gilt.

Richtig: Schreibe immer , um beide Lösungen anzugeben. Für schreibe , nicht nur .

Die Wurzel ziehen, bevor isoliert ist

Warum es falsch ist: Bei Gleichungen wie versuchen Schüler manchmal, direkt zu berechnen.

Richtig: Teile zuerst durch 2, um zu erhalten, dann ziehe die Wurzel: .

Denken, dass

Warum es falsch ist: Das gilt nur für positives . Für negatives ist .

Richtig: Schreibe oder genauer , was sowohl positive als auch negative Möglichkeiten einschließt.

Versuchen, (negativ) als reelle Zahl zu lösen

Warum es falsch ist: Schüler könnten versuchen, zu schreiben, was keine reelle Zahl ist.

Richtig: Erkenne, dass wenn , die Gleichung keine reelle Lösung hat.

Interaktive Visualisierung

Waage

x + 3=7
x
3
7
Auf beide Seiten anwenden:

Lösung: x = 4

bis

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

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Einfach

Wie viele Lösungen hat ?

Warum es wichtig ist

Die Wurzelmethode ist eine der schnellsten Methoden, um bestimmte quadratische Gleichungen zu lösen:
  • Physik: Geschwindigkeit oder Entfernung in Gleichungen wie finden
  • Geometrie: Seitenlängen aus der Fläche berechnen ()
  • Ingenieurwesen: Abmessungen bestimmen, wenn die Fläche bekannt ist
  • Finanzen: Zinssätze in Zinseszinsformeln berechnen
Diese Technik ist oft schneller als Faktorisieren oder die Anwendung der Mitternachtsformel und gehört deshalb in jedes Algebra-Werkzeugset!

Anwendungen im echten Leben

Entfernungen berechnen

In der Physik enthalten die Beziehungen zwischen Entfernung, Beschleunigung und Zeit quadratische Terme.

Beispiel:

Ein Ball fällt nach der Formel (in Metern). Wie lange dauert es, bis er 80 Meter gefallen ist? Löse , also , was Sekunden ergibt (wir verwenden nur den positiven Wert, da Zeit nicht negativ sein kann).

1Probiere es selbst

Ein Stein wird von einer Brücke fallen gelassen. Die Fallstrecke beträgt Meter.

Wie lange dauert es, bis er 45 Meter gefallen ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Stelle die Gleichung auf:

Seitenlängen aus der Fläche bestimmen

Wenn du die Fläche eines Quadrats kennst, kannst du die Seitenlänge mit Wurzeln berechnen.

Beispiel:

Ein quadratischer Garten hat eine Fläche von 144 Quadratmetern. Die Seitenlänge ist , wobei , also Meter.

2Probiere es selbst

Ein quadratischer Raum hat eine Fläche von 81 Quadratmetern.

Wie lang ist jede Wand?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wenn die Seitenlänge ist, dann gilt

Wurfbewegung

Die Höhe eines geworfenen Balls beinhaltet quadratische Gleichungen.

Beispiel:

Ein nach oben geworfener Ball erreicht die Höhe Fuß. Wann ist der Ball bei 48 Fuß? Löse , also , somit und Sekunde.

3Probiere es selbst

Ein Springbrunnen schießt Wasser mit der Höhe (in cm, in Sekunden).

Zu welchem Zeitpunkt ist das Wasser auf 36 cm Höhe?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Für Gleichungen der Form ziehe auf beiden Seiten die Wurzel:
  • 2Gib IMMER sowohl die positive als auch die negative Lösung an ()
  • 3Isoliere zuerst , bevor du die Wurzel ziehst
  • 4Wenn , gibt es keine reelle Lösung
  • 5Diese Methode funktioniert auch für — löse einfach nach dem Ausdruck in der Klammer

Häufig gestellte Fragen

Weil sowohl eine positive als auch eine negative Zahl, wenn sie quadriert werden, dasselbe positive Ergebnis liefern. Zum Beispiel: und . Wenn also , sind sowohl als auch gültige Lösungen.
Weil sowohl eine positive als auch eine negative Zahl, wenn sie quadriert werden, dasselbe positive Ergebnis liefern. Zum Beispiel: und . Wenn also , sind sowohl als auch gültige Lösungen.
Diese Methode funktioniert am besten, wenn die Gleichung als oder geschrieben werden kann. Wenn die Gleichung einen -Term hat (wie ), brauchst du stattdessen Faktorisierung oder die Mitternachtsformel.
Du kannst die Antwort in Wurzelform lassen (wie ) oder mit einem Taschenrechner annähern. Beide Formen sind richtig; die Wurzelform ist exakt.

Glossar

Quadratwurzel
Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt. , weil .
Quadratzahl
Eine Zahl, die das Quadrat einer ganzen Zahl ist: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Plus-Minus (±)
Ein Symbol, das sowohl positive als auch negative Werte anzeigt. bedeutet sowohl als auch .
Quadratische Gleichung
Eine Gleichung, bei der die höchste Potenz der Variablen 2 ist, wie oder .

Formelkarte

Wurzelmethode

Nur gültig wenn $k \geq 0$

Allgemeine Form

Dann die lineare Gleichung lösen

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