Scheitelpunktform

Lerne quadratische Funktionen in Scheitelpunktform zu schreiben und zu interpretieren, um den Scheitelpunkt leicht zu erkennen und Parabeln zu zeichnen.

Mittelstufe25 MinLektion
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Definition

Die Scheitelpunktform ist eine Schreibweise für quadratische Funktionen, die es einfach macht, den Scheitelpunkt der Parabel zu erkennen:
y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k
Dabei gilt:
  • (h,k)(h, k) ist der Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt)
  • aa bestimmt die Öffnungsrichtung und Breite der Parabel
  • Wenn a>0a > 0: Parabel öffnet sich nach oben (Scheitelpunkt ist Minimum)
  • Wenn a<0a < 0: Parabel öffnet sich nach unten (Scheitelpunkt ist Maximum)
  • Wenn ∣a∣>1|a| > 1: Parabel ist schmaler
  • Wenn ∣a∣<1|a| < 1: Parabel ist breiter
  • Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=hx = h

Probier es gleich aus

Was ist der Scheitelpunkt von y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3?

Lösungsbeispiele

Bestimme den Scheitelpunkt von y=2(x−3)2+5y = 2(x - 3)^2 + 5
1

Form identifizieren

Dies ist in Scheitelpunktform: y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k → a=2a = 2, h=3h = 3, k=5k = 5
2

h finden (x-Koordinate)

In (x−h)2(x - h)^2 haben wir (x−3)2(x - 3)^2, also h=3h = 3
3

k finden (y-Koordinate)

Die Konstante am Ende ist k=5k = 5
4

Scheitelpunkt angeben

Scheitelpunkt = (h,k)(h, k) → (3,5)(3, 5)

Häufige Fehler

Das Vorzeichen von h falsch verstehen: denken, dass (x+4)2(x + 4)^2 bedeutet h=4h = 4

Warum es falsch ist: Die Formel lautet (x−h)2(x - h)^2. Wenn du (x+4)2(x + 4)^2 siehst, ist es tatsächlich (x−(−4))2(x - (-4))^2.

Richtig: Wenn du ++ in der Klammer siehst, ist hh negativ. (x+4)2(x + 4)^2 bedeutet h=−4h = -4.

Die Öffnungsrichtung der Parabel verwechseln

Warum es falsch ist: Schüler denken manchmal, dass aa die horizontale statt der vertikalen Richtung beeinflusst.

Richtig: a>0a > 0 bedeutet öffnet nach OBEN (wie ein Lächeln). a<0a < 0 bedeutet öffnet nach UNTEN (wie ein trauriges Gesicht).

Vergessen, dass der Scheitelpunkt ein Minimum ist wenn a>0a > 0 und ein Maximum wenn a<0a < 0

Warum es falsch ist: Der Scheitelpunkt ist immer ein Extrempunkt, aber welcher Typ hängt von der Richtung ab.

Richtig: Öffnung nach oben = Tal = Minimum. Öffnung nach unten = Berg = Maximum.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-8-6-4-202468-10-5051015xy(3 | 5)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = a(x - h)² + k
  • Scheitelpunkt: (3 | 5)

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2(x - 3)^2 + 5

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist der Scheitelpunkt von y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3?

Warum es wichtig ist

Die Scheitelpunktform ist unglaublich nützlich, weil sie sofort wichtige Informationen über eine Parabel zeigt:
  • Physik: Wenn du einen Ball wirfst, zeigt die Scheitelpunktform die maximale Höhe und wann sie erreicht wird
  • Wirtschaft: Finden des Preises, der den Gewinn maximiert oder die Kosten minimiert
  • Ingenieurwesen: Entwerfen von Parabolspiegeln und Satellitenschüsseln, die auf einen bestimmten Punkt fokussieren
  • Architektur: Erstellen von Bögen und Brücken mit präzisen höchsten/tiefsten Punkten
Anstatt den Scheitelpunkt aus der Normalform zu berechnen, gibt dir die Scheitelpunktform die Antwort direkt!

Anwendungen im echten Leben

Wurfbewegung

Wenn ein Objekt geworfen wird, folgt seine Höhe über der Zeit einer Parabel. Die Scheitelpunktform zeigt die maximale Höhe.

Beispiel:

Die Höhe eines Balls ist h(t)=−5(t−2)2+25h(t) = -5(t - 2)^2 + 25 Meter. Der Scheitelpunkt (2,25)(2, 25) sagt uns, dass der Ball bei t=2t = 2 Sekunden 25 Meter erreicht.

1Probiere es selbst

Die Höhe einer Rakete ist gegeben durch h(t)=−4(t−5)2+100h(t) = -4(t - 5)^2 + 100 Meter.

Was ist die maximale Höhe und wann wird sie erreicht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme den Scheitelpunkt (h,k)(h, k):

Gewinnoptimierung

Unternehmen verwenden quadratische Funktionen zur Gewinnmodellierung. Der Scheitelpunkt zeigt den Preis, der den Gewinn maximiert.

Beispiel:

Die Gewinnfunktion P(x)=−2(x−50)2+5000P(x) = -2(x - 50)^2 + 5000 hat den Scheitelpunkt (50,5000)(50, 5000). Ein Verkauf zu 50 Euro ergibt einen maximalen Gewinn von 5000 Euro.

2Probiere es selbst

Der Gewinn eines Unternehmens ist P(x)=−3(x−40)2+4800P(x) = -3(x - 40)^2 + 4800 Euro, wobei xx der Preis ist.

Welcher Preis maximiert den Gewinn, und wie hoch ist dieser Gewinn?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde den Scheitelpunkt:

Architektur - Parabelbögen

Architekten entwerfen Bögen mit Parabeln. Der Scheitelpunkt bestimmt den höchsten Punkt des Bogens.

Beispiel:

Ein Bogen, der durch y=−0,1(x−10)2+10y = -0,1(x - 10)^2 + 10 modelliert wird, hat seinen Höhepunkt bei (10,10)(10, 10) - die Mitte ist 10 Meter hoch.

3Probiere es selbst

Ein Brückenbogen folgt y=−0,05(x−20)2+15y = -0,05(x - 20)^2 + 15 Meter.

Wie hoch ist der Bogen an seinem höchsten Punkt, und wo befindet sich dieser?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme den Scheitelpunkt:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Scheitelpunktform ist y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k, wobei (h,k)(h, k) der Scheitelpunkt ist
  • 2Wenn a>0a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben (Scheitelpunkt ist Minimum)
  • 3Wenn a<0a < 0, öffnet sich die Parabel nach unten (Scheitelpunkt ist Maximum)
  • 4Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=hx = h
  • 5Achte auf die Vorzeichen: (x+4)2(x + 4)^2 bedeutet h=−4h = -4, nicht h=4h = 4

Häufig gestellte Fragen

Verwende die quadratische Ergänzung. Für y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c klammere aa aus den ersten beiden Termen aus, ergänze quadratisch und vereinfache. Alternativ finde den Scheitelpunkt mit h=−b2ah = -\frac{b}{2a} und k=f(h)k = f(h).
Verwende die quadratische Ergänzung. Für y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c klammere aa aus den ersten beiden Termen aus, ergänze quadratisch und vereinfache. Alternativ finde den Scheitelpunkt mit h=−b2ah = -\frac{b}{2a} und k=f(h)k = f(h).
Ja! Wenn ∣a∣<1|a| < 1 (wie a=0,5a = 0,5 oder a=12a = \frac{1}{2}), ist die Parabel breiter. Wenn ∣a∣>1|a| > 1, ist sie schmaler.
Dann ist a=1a = 1. Zum Beispiel hat y=(x−3)2+2y = (x - 3)^2 + 2 den Wert a=1a = 1.

Glossar

Scheitelpunkt
Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel; der Wendepunkt
Symmetrieachse
Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt, die die Parabel in zwei Spiegelbilder teilt
Parabel
Die U-förmige Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion ist
Scheitelpunktform
Die Form y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k, bei der der Scheitelpunkt leicht als (h,k)(h, k) erkennbar ist

Formelkarte

Scheitelpunktform

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Standardform der Scheitelpunktgleichung

Scheitelpunkt

(h,k)(h, k)

Koordinaten des Scheitelpunkts

Symmetrieachse

x=hx = h

Senkrechte Linie durch den Scheitelpunkt

Öffnungsrichtung

a>0a > 0: oben, a<0a < 0: unten

Öffnungsrichtung der Parabel

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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