Einführung in rationale Ausdrücke

Lerne, was rationale Ausdrücke sind, wie man sie erkennt und verstehe ihre wichtigsten Eigenschaften einschließlich Definitionsbereichseinschränkungen.

Fortgeschritten25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind.
Rationaler Ausdruck=PolynomPolynom\text{Rationaler Ausdruck} = \frac{\text{Polynom}}{\text{Polynom}}
Genau wie bei Brüchen mit Zahlen darf der Nenner niemals gleich null sein.
Beispiele für rationale Ausdrücke:
x+3x−2x2−4x+152x−63x2+2x−1x2+5\frac{x + 3}{x - 2} \quad \frac{x^2 - 4}{x + 1} \quad \frac{5}{2x - 6} \quad \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}
Wichtiges Konzept - Definitionsbereichseinschränkungen: Wenn der Nenner gleich null ist, ist der Ausdruck undefiniert. Die Werte, die den Nenner zu null machen, heißen ausgeschlossene Werte oder Einschränkungen.

Probier es gleich aus

Welches der folgenden ist ein rationaler Ausdruck?

Lösungsbeispiele

Welche davon sind rationale Ausdrücke? a) x2+3xx−1\frac{x^2 + 3x}{x - 1} b) xx+2\frac{\sqrt{x}}{x + 2} c) 5x3−8\frac{5}{x^3 - 8}
1

Prüfe Ausdruck (a)

Zähler: x2+3xx^2 + 3x (Polynom). Nenner: x−1x - 1 (Polynom) → JA - rationaler Ausdruck
2

Prüfe Ausdruck (b)

Zähler: x\sqrt{x} (KEIN Polynom - enthält eine Wurzel) → NEIN - kein rationaler Ausdruck
3

Prüfe Ausdruck (c)

Zähler: 55 (konstantes Polynom). Nenner: x3−8x^3 - 8 (Polynom) → JA - rationaler Ausdruck

Häufige Fehler

Den Zähler statt des Nenners gleich null setzen

Warum es falsch ist: Bei der Suche nach Einschränkungen müssen wir finden, wann der Ausdruck undefiniert ist. Division durch null ist undefiniert, nicht Division von null.

Richtig: Setze immer den NENNER gleich null, um Einschränkungen zu finden. Wenn der Zähler null ist, ist der Ausdruck einfach gleich null.

Vergessen, den Nenner vollständig zu faktorisieren

Warum es falsch ist: Ein quadratischer Nenner wie x2−9x^2 - 9 hat ZWEI Nullstellen, also gibt es ZWEI Einschränkungen.

Richtig: Faktorisiere den Nenner immer vollständig, bevor du löst. x2−9=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) ergibt Einschränkungen bei x=−3x = -3 UND x=3x = 3.

Denken, dass 05\frac{0}{5} und 50\frac{5}{0} gleich sind

Warum es falsch ist: 05=0\frac{0}{5} = 0 (null geteilt durch etwas ist null), aber 50\frac{5}{0} ist undefiniert (man kann nicht durch null teilen).

Richtig: Null im Zähler ergibt null. Null im Nenner ist undefiniert.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-8-6-4-202468-4-2024xyx = -3x = 3

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = (x + 5)/(x² - 9)Asymptote

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welches der folgenden ist ein rationaler Ausdruck?

Warum es wichtig ist

Rationale Ausdrücke erscheinen in der höheren Mathematik und in realen Anwendungen:
  • Physik: Die Formel für die Linsenvergrößerung ist hiho=−dido\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}
  • Chemie: Konzentrationsberechnungen verwenden Verhältnisse von Polynomen
  • Wirtschaft: Kosten pro Einheit werden oft als GesamtkostenMenge\frac{\text{Gesamtkosten}}{\text{Menge}} ausgedrückt
  • Ingenieurwesen: Elektrischer Widerstand in Parallelschaltungen verwendet 1RT=1R1+1R2\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Das Verständnis rationaler Ausdrücke ist für die Analysis unerlässlich, wo Grenzwerte rationaler Funktionen ein Kernkonzept sind.

Anwendungen im echten Leben

Durchschnittsgeschwindigkeitsprobleme

Wenn man verschiedene Strecken mit verschiedenen Geschwindigkeiten zurücklegt, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit ein rationaler Ausdruck.

Beispiel:

Wenn du 100 km mit Geschwindigkeit vv fährst und mit Geschwindigkeit v+20v + 20 zurückkehrst, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt 2×100100v+100v+20\frac{2 \times 100}{\frac{100}{v} + \frac{100}{v+20}}

Arbeitsratenprobleme

Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, beinhaltet ihre kombinierte Rate rationale Ausdrücke.

Beispiel:

Wenn Alice eine Arbeit in xx Stunden erledigt und Bob in yy Stunden, schaffen sie es zusammen in xyx+y\frac{xy}{x + y} Stunden.

Elektrische Schaltkreise

Parallelwiderstandsformeln verwenden rationale Ausdrücke.

Beispiel:

Für zwei Widerstände parallel: Rgesamt=R1×R2R1+R2R_{gesamt} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner
  • 2Der Nenner darf NIEMALS gleich null sein (Division durch null ist undefiniert)
  • 3Um Definitionsbereichseinschränkungen zu finden, setze den Nenner gleich null und löse
  • 4Faktorisiere den Nenner vollständig, um ALLE Einschränkungen zu finden
  • 5Prüfe immer auf Einschränkungen, bevor du einen rationalen Ausdruck auswertest

Häufig gestellte Fragen

Der Begriff 'rational' kommt von 'Verhältnis'. Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis (Bruch) von zwei Polynomen, genau wie eine rationale Zahl ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ist.
Der Begriff 'rational' kommt von 'Verhältnis'. Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis (Bruch) von zwei Polynomen, genau wie eine rationale Zahl ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ist.
Division fragt 'wie oft passt der Divisor in den Dividenden?' Null passt unendlich oft in jede Zahl, was die Antwort undefiniert macht. Es gibt keine Zahl, die mit null multipliziert ein Ergebnis ungleich null ergibt.
Ja! Die Zahl 55 ist ein konstantes Polynom (Grad 0), und xx ist ein Polynom (Grad 1). Also ist 5x\frac{5}{x} ein rationaler Ausdruck mit der Einschränkung x≠0x \neq 0.

Glossar

Rationaler Ausdruck
Ein Bruch, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind
Definitionsbereichseinschränkung
Ein Wert der Variable, der den Ausdruck undefiniert macht (wenn der Nenner null ist)
Ausgeschlossener Wert
Ein anderer Begriff für Definitionsbereichseinschränkung; ein Wert, der aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden muss
Undefiniert
Wenn ein Ausdruck keinen gültigen numerischen Wert hat, typischerweise aufgrund von Division durch null
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Rationale Ausdrücke vereinfachen

Fortgeschritten25 Min

Multiplikation rationaler Ausdrücke

Fortgeschritten25 Min

Division von rationalen Ausdrücken

Fortgeschritten25 Min

Rationale Ausdrücke addieren (gleiche Nenner)

Fortgeschritten25 Min