Multiplikation rationaler Ausdrücke
Lerne, rationale Ausdrücke zu multiplizieren, indem du Zähler und Nenner multiplizierst und dann vereinfachst.
Definition
Probier es gleich aus
Lösungsbeispiele
Multipliziere:
Als einen Bruch schreiben
→
Gemeinsame Terme faktorisieren
→ Gemeinsame Faktoren identifizieren: 12 und
Gemeinsame Faktoren kürzen
und →
Endergebnis schreiben
Die vereinfachten Teile kombinieren → , wobei
Antwort: , wobei
Häufige Fehler
Vergessen, vor dem Multiplizieren zu faktorisieren
Warum es falsch ist: Das Multiplizieren nicht faktorisierter Polynome erzeugt größere Ausdrücke, die später schwerer zu vereinfachen sind.
Richtig: Faktorisiere immer jeden Zähler und Nenner vollständig VOR dem Multiplizieren. Das macht das Kürzen viel einfacher.
Terme statt Faktoren kürzen
Warum es falsch ist: Du kannst nur Faktoren (Dinge, die multipliziert werden) kürzen, nicht Terme (Dinge, die addiert werden).
Richtig: kann nicht durch Kürzen von vereinfacht werden. Aber , weil ein Faktor ist.
Definitionsbereichseinschränkungen vergessen
Warum es falsch ist: Auch nach dem Kürzen bleiben Werte, die den ursprünglichen Ausdruck undefiniert machten, ausgeschlossen.
Richtig: Gib alle Einschränkungen aus den URSPRÜNGLICHEN Nennern an, nicht nur aus der vereinfachten Form.
Addieren statt Multiplizieren
Warum es falsch ist: Multiplikation und Addition von Brüchen folgen unterschiedlichen Regeln.
Richtig: Bei der Multiplikation: über Kreuz multiplizieren.
Interaktive Visualisierung
Faktorbaum
Gib eine Zahl ein, um ihren Faktorbaum und die Primfaktorzerlegung zu sehen.
Interaktiver Sandkasten
Ausdrucksrechner
Probiere diese:
Verlauf
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Übungsaufgaben
16 AufgabenWas ist ?
Warum es wichtig ist
- Gleichungen lösen: Viele algebraische Gleichungen erfordern das Multiplizieren von Brüchen, um Variablen zu isolieren
- Physikformeln: Die Kombination von Raten, wie Geschwindigkeit und Zeit, beinhaltet oft das Multiplizieren von Ausdrücken
- Ingenieurwesen: Berechnung kombinierter Effekte in Schaltkreisen oder mechanischen Systemen
- Wirtschaft: Berechnung zusammengesetzter Wachstumsraten und kombinierter Wahrscheinlichkeiten
Anwendungen im echten Leben
Kombinierte Raten in der Physik
Bei der Berechnung kombinierter Effekte wie Widerstand oder Geschwindigkeitsänderungen modelliert das Multiplizieren rationaler Ausdrücke, wie Größen kombiniert werden.
Beispiel:
Wenn ein Auto km/h für die erste Etappe fährt und seine Geschwindigkeit um den Faktor ändert, ist die effektive Rate km/h.
Eine Fabrik produziert Einheiten pro Stunde, wobei die Anzahl der Arbeiter ist. Wenn die Effizienz um den Faktor steigt, wie hoch ist die neue Produktionsrate?
Multipliziere die Ausdrücke und vereinfache.
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Berechne:
Wahrscheinlichkeitsberechnungen
Das Finden der Wahrscheinlichkeit kombinierter unabhängiger Ereignisse erfordert das Multiplizieren rationaler Ausdrücke.
Beispiel:
Wenn die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist und Ereignis B , dann ist .
Ein Spiel hat zwei unabhängige Stufen. Die Wahrscheinlichkeit, Stufe 1 zu bestehen, ist und Stufe 2 ist .
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beide Stufen zu bestehen?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Berechne:
Wichtige Erkenntnisse
- 1Um rationale Ausdrücke zu multiplizieren: multipliziere Zähler miteinander und Nenner miteinander
- 2Faktorisiere immer vollständig VOR dem Multiplizieren, um gemeinsame Faktoren zu identifizieren
- 3Kürze gemeinsame Faktoren zwischen jedem Zähler und jedem Nenner
- 4Gib alle Definitionsbereichseinschränkungen aus den ursprünglichen Ausdrücken an
- 5Das Produkt rationaler Ausdrücke ist ebenfalls ein rationaler Ausdruck
Häufig gestellte Fragen
Glossar
- Rationaler Ausdruck
- Ein Bruch, bei dem Zähler und/oder Nenner Polynome sind
- Faktor
- Eine Zahl oder ein Ausdruck, der gleichmäßig in einen anderen teilt
- Definitionsbereichseinschränkung
- Werte der Variablen, die den Ausdruck undefiniert machen (Nenner gleich Null)
- Kürzen
- Gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner herausdividieren
Formelkarte
Multiplikation rationaler Ausdrücke
Multipliziere Zähler miteinander und Nenner miteinander, dann vereinfache
Vereinfachter Prozess
Faktorisiere alle Teile, kürze gemeinsame Faktoren, dann multipliziere verbleibende Terme