Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Term ist gleich $5^2 \cdot 5^6$ ?
1. a) $5^8$
2. b) $10^8$
3. c) $5^{12}$
4. d) $25^8$
Lösung: $5^8$
Gleiche Basis $5$ , also addierst du die Exponenten: $5^{2+6} = 5^8$ . Bei $5^{12}$ wurden die Exponenten multipliziert, bei $25^8$ und $10^8$ wurde die Basis verändert.
2.
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 7
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ . Probe: $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ .
3.
Welches Produkt kannst du mit dem Potenzgesetz für gleiche Basen als eine einzige Potenz schreiben?
1. a) $2^3 \cdot 5^2$
2. b) $5^2 \cdot 3^3$
3. c) $7^3 \cdot 7^5$
4. d) $2^4 + 2^3$
Lösung: $7^3 \cdot 7^5$
Nur $7^3 \cdot 7^5$ ist ein Produkt mit gleicher Basis: $7^{3+5} = 7^8$ . $2^3 \cdot 5^2$ und $5^2 \cdot 3^3$ haben verschiedene Basen, und $2^4 + 2^3$ ist eine Summe, kein Produkt.
4.
$x \cdot x^6 = x^{\square}$ . Wie lautet der Exponent?
Lösung: 7
$x = x^1$ , also $x^1 \cdot x^6 = x^{1+6} = x^7$ .
5.
Schreibe $3^2 \cdot 3^3$ als eine Potenz und berechne ihren Wert.
Lösung: 243
1. Wie viele Faktoren 3 stecken in $3^2$ ? 2
2. Wie viele Faktoren 3 stecken in $3^3$ ? 3
3. Zusammen sind das $2 + 3$ Faktoren. Ergänze $3^2 \cdot 3^3 = 3^{\square}$ . 5
4. Welchen Wert hat $3^5$ ? 243
6.
Vereinfache $10^2 \cdot 10^4$ und schreibe das Ergebnis als normale Zahl.
Lösung: 1000000
1. Beide Potenzen haben die Basis 10. Addiere die Exponenten $2 + 4$ . 6
2. Schreibe $10^6$ als normale Zahl. 1000000
7.
Vereinfache $4x^3 \cdot 2x^5$ .
1. a) $8x^{15}$
2. b) $8x^8$
3. c) $6x^8$
4. d) $8x^2$
Lösung: $8x^8$
Koeffizienten multiplizieren: $4 \cdot 2 = 8$ . Exponenten addieren: $x^{3+5} = x^8$ . Also $4x^3 \cdot 2x^5 = 8x^8$ .
8.
$y^4 \cdot y^2 \cdot y^3 = y^{\square}$ . Wie lautet der Exponent?
Lösung: 9
$4 + 2 + 3 = 9$ , also ist das Produkt $y^9$ .
9.
Sam schreibt $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . Was ist schiefgelaufen?
1. a)Er hätte die Exponenten multiplizieren müssen
2. b)Er hätte die Exponenten subtrahieren müssen
3. c)Nichts, das Ergebnis stimmt
4. d)Er hat die Basen multipliziert, statt die Basis 2 zu behalten
Lösung: Er hat die Basen multipliziert, statt die Basis 2 zu behalten
Die Basis muss 2 bleiben: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ . Sams Ergebnis $4^7 = 16\,384$ ist viel zu groß. Das Addieren der Exponenten, $3 + 4 = 7$ , war richtig, nur die Basis wurde verändert.
10.
Vereinfache $3x^2 \cdot 4x^3$ und berechne dann den Wert für $x = 2$ .
Lösung: 384
1. Multipliziere die Koeffizienten $3 \cdot 4$ . 12
2. Addiere die Exponenten von $x$ : $2 + 3$ . 5
3. Das Produkt ist also $12x^5$ . Welchen Wert hat es für $x = 2$ ? 384
11.
Vereinfache $5a \cdot 2a^4$ .
Lösung: 10a^5
1. Multipliziere die Koeffizienten $5 \cdot 2$ . 10
2. Welchen Exponenten hat $a$ in $5a$ ? 1
3. Addiere die Exponenten von $a$ : $1 + 4$ . 5
12.
Ein Rechteck ist $2^5$ cm lang und $2^3$ cm breit. Berechne seinen Flächeninhalt in cm².
Lösung: 256
1. Der Flächeninhalt ist $2^5 \cdot 2^3$ . Schreibe ihn als $2^{\square}$ : Wie lautet der Exponent? 8
2. Wie viel ist $2^8$ ? 256
13.
$3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 6
Die Exponenten werden addiert: $\square + 4 = 10$ , der fehlende Exponent ist also $6$ . Probe: $3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$ .
14.
Welches Produkt ist NICHT gleich $2^{10}$ ?
1. a) $2 \cdot 2^9$
2. b) $2^4 \cdot 2^6$
3. c) $2^2 \cdot 2^5$
4. d) $2^5 \cdot 2^5$
Lösung: $2^2 \cdot 2^5$
$2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 = 128$ , nicht $2^{10} = 1024$ . Auf $10$ käme man hier nur, wenn man die Exponenten $2 \cdot 5$ multipliziert, und das ist der typische Fehler. Die anderen stimmen: $4 + 6 = 10$ , $1 + 9 = 10$ und $5 + 5 = 10$ .
15.
Berechne den Wert von $(-2)^3 \cdot (-2)^4$ .
Lösung: -128
$(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$ . Sieben negative Faktoren ergeben ein negatives Ergebnis: $(-2)^7 = -128$ . Probe: $-8 \cdot 16 = -128$ .
16.
Vereinfache $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ .
Lösung: 10a^7b^3
1. Multipliziere die Koeffizienten $2 \cdot 5$ . 10
2. Exponent von $a$ : Addiere $3 + 4$ . 7
3. Exponent von $b$ : Addiere die Exponenten von $b$ und $b^2$ . 3
17.
Schreibe $4^3 \cdot 2^5$ als eine einzige Zweierpotenz und berechne ihren Wert.
Lösung: 2048
1. Schreibe 4 als Zweierpotenz: $4 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 2
2. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2$ . Schreibe es als $2^{\square}$ : Wie lautet der Exponent? 6
3. Jetzt $2^6 \cdot 2^5 = 2^{\square}$ . Wie lautet der Exponent? 11
4. Wie viel ist $2^{11}$ ? 2048
18.
Bestimme $n$ , wenn $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$ gilt.
Lösung: 4
1. Die Exponenten werden addiert: $n + 3 + n = 11$ . Wie viel ist $2n$ ? 8
2. Wie groß ist $n$ ? 4