Leitfaden für Lehrer: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Lerne, warum man beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addiert, mit Zahlen, Variablen und Koeffizienten.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Potenzen & Wurzeln. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Das Potenzgesetz durch Zählen der Faktoren in jeder Potenz erklären
Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, indem man die Exponenten addiert
Den versteckten Exponenten 1 bei einer Basis ohne geschriebenen Exponenten erkennen
Produkte wie $3x^2 \cdot 4x^3$ vereinfachen, indem man die Koeffizienten multipliziert und die Exponenten addiert
Erkennen, wann das Potenzgesetz nicht gilt (verschiedene Basen, Addition)

Voraussetzungen

• Einführung in Potenzen: Basis, Exponent und was $2^5$ bedeutet
• Potenzgesetze: der Überblick über alle Regeln
• Ganze Zahlen in beliebiger Reihenfolge multiplizieren (Kommutativgesetz)

Diskussionsstarter

1. Wie kannst du ohne Rechnen erkennen, dass $2^3 \cdot 2^4$ gleich $2^7$ ist?
2. Jemand schreibt $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . Wie würdest du ihn überzeugen, dass das falsch ist?
3. Warum darf man bei $x^2 \cdot x^5$ die Exponenten addieren, aber nicht bei $x^2 + x^5$ ?
4. Welchen Exponenten hat $x$ , wenn keiner dasteht, und woher weißt du das?

Häufige Missverständnisse

Die Exponenten werden multipliziert ( $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$ )

Abhilfe: Lassen Sie die Lernenden jeden Faktor ausschreiben und zählen. Vergleich mit Zahlen: $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ , aber $2^{12} = 4096$ .

Die Basen werden multipliziert ( $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ )

Abhilfe: Fragen Sie, welche Zahl als Faktor wiederholt wird. Jeder Faktor ist immer noch 2, also bleibt die Basis 2. Eine Probe mit dem Rechner ( $4^7 = 16\,384$ ) zeigt, wie weit das Ergebnis danebenliegt.

Eine Variable ohne Exponent wird übersehen ( $x \cdot x^4 = x^4$ )

Abhilfe: Am Anfang jedes Mal $x = x^1$ schreiben und die Faktoren zählen: $x \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x)$ hat 5 Faktoren, das Ergebnis ist also $x^5$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Vor dem Anwenden der Regel jeden Faktor ausschreiben und dann zählen
• Mit kleinen Zahlen als Basis beginnen (2 und 3) und jedes Ergebnis mit dem Rechner prüfen
• Die Faktoren-Darstellung nutzen: erst die Faktoren jeder Potenz zählen, dann alle zusammen

Für Schüler auf Niveau:

• Produkte mit Koeffizienten vereinfachen, etwa $4x^3 \cdot 2x^5$
• Einen fehlenden Exponenten finden: $3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$
• Fehler in Musterlösungen finden und korrigieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Produkte als eine Zweierpotenz schreiben, etwa $4^3 \cdot 2^5 = 2^{11}$
• Einen unbekannten Exponenten bestimmen: $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$
• Begründen, warum $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ für alle positiven ganzen Zahlen $m$ und $n$ gilt

Standardausrichtung

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Eigenschaften ganzzahliger Exponenten kennen und anwenden, um äquivalente Zahlenterme zu erzeugen
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Zahlenterme mit natürlichen Exponenten aufschreiben und berechnen
HSA.SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu finden, ihn umzuformen

Lektionsressourcen

visualPotenzen als wiederholte Faktoren
Die 3 Faktoren von $2^3$ und die 4 Faktoren von $2^4$ stehen nebeneinander, zusammen $3 + 4 = 7$ Faktoren, das Produkt ist also $2^7$ . Mit Schiebereglern lassen sich beide Exponenten ändern.
activityFaktorkarten
Zu zweit Potenzen wie $3^2$ und $3^4$ notieren, jeden Faktor auf eine eigene Karte legen und die Karten zählen, um das Produkt zu finden.
worksheetÜbungen zum Potenzgesetz
Zahlen, Variablen und Koeffizienten, von $2^3 \cdot 2^4$ bis $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ , dazu Fehlersuche in Musterlösungen.

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Das Potenzgesetz für gleiche Basen (Multiplikation) sagt: Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, behältst du die Basis und addierst die Exponenten.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Warum das stimmt: Zähle die Faktoren.

2^3

bedeutet drei Faktoren

2

, und

2^4

bedeutet vier Faktoren

2

. Wenn du die beiden Potenzen multiplizierst, stehen alle Faktoren in einer Reihe:

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ Faktoren}} = 2^{7}

Drei Faktoren und vier Faktoren ergeben sieben Faktoren, also werden die Exponenten addiert:

3 + 4 = 7

. Probe mit Zahlen:

8 \cdot 16 = 128 = 2^7

Merke:

Die Basis bleibt gleich: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , niemals $4^7$ .
Die Exponenten werden addiert, nicht multipliziert: $2^7$ , nicht $2^{12}$ .
Die Basen müssen gleich sein: $2^3 \cdot 5^2$ lässt sich nicht als eine Potenz schreiben.
Eine Basis ohne geschriebenen Exponenten hat den Exponenten $1$ : $x = x^1$ .

Lösungsbeispiele

Vereinfache $3^2 \cdot 3^5$ und überprüfe das Ergebnis.

Prüfe die Basen

Beide Potenzen haben die Basis $3$ → Gleiche Basis, das Potenzgesetz gilt

Addiere die Exponenten

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ → $3^7$

Probe durch Zählen der Faktoren

$(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ hat $2 + 5 = 7$ Faktoren $3$ → $3^7$ ✓

Probe mit Zahlen

$3^2 = 9$ , $3^5 = 243$ , $9 \cdot 243 = 2187$ → $3^7 = 2187$ ✓

Antwort: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Häufige Fehler

Die Exponenten multiplizieren: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Warum es falsch ist: Die Exponenten zählen Faktoren. Drei Faktoren und vier Faktoren sind $3 + 4 = 7$ Faktoren, nicht $3 \cdot 4 = 12$ . Probe: $8 \cdot 16 = 128$ , aber $2^{12} = 4096$ . Exponenten multipliziert man bei der Potenz einer Potenz, etwa $(2^3)^4$ .

Richtig: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Die Basen multiplizieren: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Warum es falsch ist: Jeder Faktor in der Reihe ist immer noch eine $2$ . Nichts wird zur $4$ . Und $4^7 = 16\,384$ ist viel größer als das richtige Produkt $128$ .

Richtig: Behalte die Basis: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Exponenten verschiedener Basen addieren: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ oder $5^5$

Warum es falsch ist: Das Potenzgesetz braucht die gleiche Basis, denn nur dann sind alle Faktoren gleich. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ , aber $6^5 = 7776$ .

Richtig: Lass es als $2^3 \cdot 3^2$ stehen oder rechne es aus: $8 \cdot 9 = 72$

Die Koeffizienten addieren: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Warum es falsch ist: Die Koeffizienten $3$ und $4$ sind ganz normale Faktoren, sie werden multipliziert. Nur die Exponenten derselben Basis werden addiert.

Richtig: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Warum es wichtig ist

Das Potenzgesetz erspart dir lange Reihen von Faktoren, und es kommt in Mathematik und Naturwissenschaften überall vor:

Wissenschaftliche Schreibweise: $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , also ist tausend mal zehntausend zehn Millionen.
Computerspeicher: $2^{10}$ Byte sind ein Kilobyte und $2^{10}$ Kilobyte sind ein Megabyte, also hat ein Megabyte $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ Byte.
Wiederholtes Verdoppeln: Was sich 3-mal und danach noch 4-mal verdoppelt, ist auf das $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ -Fache gewachsen.
Algebra: Flächen und Volumen wie $x^2 \cdot x$ oder $3x^2 \cdot 4x^3$ musst du vereinfachen, bevor du Gleichungen lösen oder mit Polynomen rechnen kannst.

Außerdem bauen die anderen Potenzgesetze darauf auf: Die Division von Potenzen mit gleicher Basis und die Potenz einer Potenz folgen genauso aus dem Zählen von Faktoren.

Anwendungen im echten Leben

Computerspeicher

Computer zählen Speicher in Zweierpotenzen, deshalb multipliziert man Speichergrößen mit dem Potenzgesetz.

Beispiel:

Ein Kilobyte hat $2^{10}$ Byte und ein Megabyte hat $2^{10}$ Kilobyte, also hat ein Megabyte $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ Byte.

1Probiere es selbst

Eine Datei ist in $2^6$ Blöcken gespeichert, und jeder Block fasst $2^{10}$ Byte.

Wie viele Byte belegt die Datei?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die Anzahl der Blöcke mit den Byte pro Block, $2^6 \cdot 2^{10}$ , und gib das Ergebnis an:

Zählen mit Zehnerpotenzen

Große Stückzahlen in Geschäften und Lagern lassen sich als Zehnerpotenzen leicht handhaben.

Beispiel:

$10^2$ Kisten mit je $10^3$ Schrauben enthalten $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ Schrauben.

2Probiere es selbst

Ein Lager hat $10^2$ Regale. Jedes Regal fasst $10^3$ Schachteln, und in jeder Schachtel sind $10$ Stifte.

Wie viele Stifte sind im Lager?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere alle drei Zahlen, $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10$ , und gib das Ergebnis an:

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Lagen eines Blatts Papier, deshalb wächst die Zahl der Lagen in Zweierpotenzen.

Beispiel:

Nach 2-mal Falten gibt es $2^2 = 4$ Lagen, nach 3-mal Falten $2^3 = 8$ Lagen.

3Probiere es selbst

Du faltest ein Blatt Papier 3-mal in der Mitte. Danach faltest du den Stapel noch 4-mal in der Mitte.

Wie viele Lagen Papier gibt es am Ende?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Das erste Falten ergibt $2^3$ Lagen, das weitere Falten multipliziert das mit $2^4$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Potenzgesetz für gleiche Basen: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Gleiche Basis, Exponenten addieren.
2Es gilt, weil du Faktoren zählst: $2^3 \cdot 2^4$ hat $3 + 4 = 7$ Faktoren $2$ .
3Die Basis bleibt gleich: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , nicht $4^7$ .
4Die Exponenten werden addiert, nicht multipliziert: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , nicht $2^{12}$ .
5Eine Basis ohne geschriebenen Exponenten hat den Exponenten 1: $x \cdot x^4 = x^5$ .
6Mit Koeffizienten multiplizierst du die Zahlen und addierst die Exponenten jeder Basis: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$ . Verschiedene Basen bleiben getrennt.

Häufig gestellte Fragen

Warum addiert man die Exponenten und multipliziert sie nicht?

Jeder Exponent zählt Faktoren.

2^3

sind 3 Faktoren 2 und

2^4

sind 4 weitere Faktoren 2, zusammen also

3 + 4 = 7

Faktoren:

2^7

. Exponenten multipliziert man in einer anderen Situation, bei der Potenz einer Potenz wie

(2^3)^4

, die eine eigene Lektion hat.

Gilt die Regel auch für mehr als zwei Potenzen?

Ja. Addiere alle Exponenten:

2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64

Kann ich das Potenzgesetz bei $2^3 \cdot 3^3$ verwenden?

Nein, die Basen sind verschieden, also darfst du die Exponenten nicht addieren. Hier sind zufällig die Exponenten gleich, und dann hilft eine andere Regel:

2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216

. Probe:

8 \cdot 27 = 216

. Bei verschiedenen Basen und verschiedenen Exponenten, etwa

2^3 \cdot 3^2

, rechnest du einfach aus:

8 \cdot 9 = 72

Ist $2^3 + 2^4$ gleich $2^7$ ?

Nein. Das Potenzgesetz gilt nur für die Multiplikation.

2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24

, aber

2^7 = 128

Glossar

Basis: Die Zahl oder Variable, die mit sich selbst multipliziert wird. In $x^5$ ist die Basis $x$ .
Exponent (Hochzahl): Die kleine hochgestellte Zahl, die sagt, wie viele Faktoren der Basis es gibt. In $x^5$ ist der Exponent $5$ .
Potenz: Eine Basis mit Exponent, zum Beispiel $2^7$ , oder ihr Wert, $128$ .
Faktor: Jede Zahl oder Variable, die in einem Produkt multipliziert wird. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ hat drei Faktoren $2$ .
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $12x^5$ ist der Koeffizient $12$ .
Potenzgesetz für gleiche Basen: Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst du, indem du die Basis behältst und die Exponenten addierst: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Formelkarte

Potenzgesetz (Multiplikation)

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Gleiche Basis: Basis behalten, Exponenten addieren.

Drei oder mehr Potenzen

a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}

Addiere alle Exponenten derselben Basis.

Versteckter Exponent

a = a^1

Eine Basis ohne geschriebenen Exponenten hat den Exponenten 1.

Mit Koeffizienten

c\,a^m \cdot d\,a^n = (c \cdot d)\,a^{m+n}

Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren.

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Computerspeicher

Zählen mit Zehnerpotenzen

Papier falten

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Potenzgesetz (Multiplikation)

Drei oder mehr Potenzen

Versteckter Exponent

Mit Koeffizienten

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Potenzen

Potenzgesetze

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Division von Potenzen mit gleicher Basis