Division von Potenzen mit gleicher Basis

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Vereinfache $\frac{7^9}{7^3}$ .
1. a) $7^6$
2. b) $7^3$
3. c) $7^{12}$
4. d) $1^6$
Lösung: $7^6$
$\frac{7^9}{7^3} = 7^{9-3} = 7^6$ . Die Exponenten werden subtrahiert, nicht dividiert ( $7^3$ ) oder addiert ( $7^{12}$ ), und die Basis bleibt $7$ .
2.
$\frac{x^{11}}{x^4} = x^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 7
$4$ der $11$ Faktoren $x$ kürzen sich weg, also bleiben $11 - 4 = 7$ : $x^7$ .
3.
Vereinfache $\frac{2^8}{2^5}$ und berechne den Wert.
Lösung: 8
1. Subtrahiere die Exponenten: $8 - 5$ 3
2. Berechne $2^3$ 8
4.
Welcher Term ist gleich $\frac{a^{10}}{a^2}$ (mit $a \neq 0$ )?
1. a) $a^{12}$
2. b) $a^5$
3. c) $a^{20}$
4. d) $a^8$
Lösung: $a^8$
$\frac{a^{10}}{a^2} = a^{10-2} = a^8$ . Die Auswahl $a^5$ entsteht, wenn man die Exponenten dividiert, der häufigste Fehler.
5.
Berechne $\frac{10^9}{10^6}$ .
Lösung: 1000
$\frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$ .
6.
Vereinfache $\frac{y^7}{y^2}$ , indem du Faktoren kürzt.
Lösung: y^5
1. Wie viele Faktoren $y$ stehen oben? 7
2. Wie viele Faktoren kürzen sich weg? 2
3. Wie viele Faktoren $y$ bleiben übrig? Das ist der neue Exponent. 5
7.
Ana hat $\frac{x^{12}}{x^3}$ vereinfacht und $x^4$ erhalten. Was hat sie falsch gemacht?
1. a)Sie hat die Basen dividiert
2. b)Sie hat die Exponenten in der falschen Reihenfolge subtrahiert
3. c)Sie hat die Exponenten dividiert statt subtrahiert
4. d)Nichts, $x^4$ ist richtig
Lösung: Sie hat die Exponenten dividiert statt subtrahiert
$12 : 3 = 4$ : Ana hat die Exponenten dividiert. Richtig ist $\frac{x^{12}}{x^3} = x^{12-3} = x^9$ .
8.
$\frac{15x^8}{3x^5} = \square\, x^3$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 5
$15 : 3 = 5$ und $x^{8-5} = x^3$ , also $\frac{15x^8}{3x^5} = 5x^3$ .
9.
Vereinfache $\frac{20m^9}{5m^4}$ .
Lösung: 4m^5
1. Dividiere die Koeffizienten: $20 : 5$ 4
2. Welchen Exponenten hat $m$ im Ergebnis? 5
10.
Vereinfache $\frac{24a^7b^4}{8a^3b}$ .
1. a) $16a^4b^3$
2. b) $3a^4b^3$
3. c) $3a^{10}b^5$
4. d) $3a^4b^4$
Lösung: $3a^4b^3$
$24 : 8 = 3$ , $a^{7-3} = a^4$ und $b^{4-1} = b^3$ , also ist das Ergebnis $3a^4b^3$ .
11.
Berechne $\frac{3^{10}}{3^7}$ .
Lösung: 27
$\frac{3^{10}}{3^7} = 3^{10-7} = 3^3 = 27$ , ohne $3^{10} = 59049$ auszurechnen.
12.
Vereinfache $\frac{18p^6q^5}{6p^2q^3}$ .
Lösung: 3p^4q^2
1. Dividiere die Koeffizienten: $18 : 6$ 3
2. Welchen Exponenten hat $p$ im Ergebnis? 4
3. Welchen Exponenten hat $q$ im Ergebnis? 2
13.
Vereinfache $\frac{4^3 \cdot 4^5}{4^6}$ und berechne den Wert.
Lösung: 16
1. Im Zähler: Welchen Exponenten hat $4^3 \cdot 4^5$ ? 8
2. Division: Welchen Exponenten hat $\frac{4^8}{4^6}$ ? 2
3. Berechne $4^2$ 16
14.
Welcher Term ist NICHT gleich $x^6$ (mit $x \neq 0$ )?
1. a) $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3}$
2. b) $\frac{x^9}{x^3}$
3. c) $\frac{x^{12}}{x^2}$
4. d) $\frac{x^{10}}{x^4}$
Lösung: $\frac{x^{12}}{x^2}$
$\frac{x^9}{x^3} = x^6$ , $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3} = x^{9-3} = x^6$ und $\frac{x^{10}}{x^4} = x^6$ , aber $\frac{x^{12}}{x^2} = x^{10}$ . ( $12$ geteilt durch $2$ ergibt $6$ , das ist die Falle.)
15.
$\frac{x^{\square}}{x^4} = x^9$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 13
Das Gesetz liefert $\square - 4 = 9$ , also $\square = 13$ . Probe: $\frac{x^{13}}{x^4} = x^{13-4} = x^9$ .
16.
Vereinfache $\frac{6x^5 \cdot 3x^4}{9x^7}$ .
Lösung: 2x^2
1. Multipliziere die Koeffizienten im Zähler: $6 \cdot 3$ 18
2. Welchen Exponenten hat $x^5 \cdot x^4$ ? 9
3. Dividiere die Koeffizienten: $18 : 9$ 2
4. Welchen Exponenten hat $x$ im Ergebnis? 2
17.
Vereinfache $\frac{5a^3 \cdot 4a^6}{10a^2 \cdot a^4}$ .
Lösung: 2a^3
1. Koeffizient des Zählers: $5 \cdot 4$ 20
2. Exponent von $a$ im Zähler 9
3. Exponent von $a$ im Nenner ( $a^2 \cdot a^4$ ) 6
4. Koeffizient des Ergebnisses: $20 : 10$ 2
5. Exponent von $a$ im Ergebnis 3
18.
Eine Festplatte fasst $2^{40}$ Byte. Ein Film braucht $2^{32}$ Byte. Wie viele Filme passen auf die Festplatte?
Lösung: 256
1. Welchen Exponenten hat $\frac{2^{40}}{2^{32}}$ ? 8
2. Berechne $2^8$ 256