Leitfaden für Lehrer: Division von Potenzen mit gleicher Basis

Lerne, warum man beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten subtrahiert, und wende die Regel auf Zahlen, Variablen und Koeffizienten an.

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10 Fragen zu Potenzen & Wurzeln. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Das Potenzgesetz für die Division erklären, indem man Potenzen als Faktoren schreibt und gemeinsame Faktoren kürzt
Quotienten von Potenzen mit einer Zahl oder Variablen als Basis vereinfachen
Monome dividieren, indem man die Koeffizienten dividiert und die Exponenten subtrahiert
Die Gesetze für Multiplikation und Division von Potenzen in einem Term kombinieren

Voraussetzungen

• Potenzen als wiederholte Multiplikation (Lektion Einführung in Potenzen)
• Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis (Lektion Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren)
• Brüche durch Kürzen gemeinsamer Faktoren vereinfachen

Diskussionsstarter

1. Warum subtrahieren wir die Exponenten beim Dividieren, addieren sie aber beim Multiplizieren?
2. Wie könntest du $\frac{2^{20}}{2^{17}}$ ohne Taschenrechner bestimmen?
3. Ein Mitschüler sagt $\frac{x^{10}}{x^2} = x^5$ . Wie würdest du ihn vom Gegenteil überzeugen?
4. Was passiert deiner Meinung nach bei $\frac{7^4}{7^4}$ ? Was liefert das Gesetz?

Häufige Missverständnisse

Potenzen dividieren heißt Exponenten dividieren ( $\frac{x^{10}}{x^2} = x^5$ )

Abhilfe: Lassen Sie die Schüler die Faktoren ausschreiben und Paare durchstreichen. Wenn nach dem Streichen von $2$ Faktoren noch $8$ Faktoren $x$ übrig sind, wird die Subtraktion offensichtlich. Danach Probe mit Zahlen: $\frac{2^{10}}{2^2} = 256 = 2^8$ , nicht $2^5 = 32$ .

Die Koeffizienten werden wie die Exponenten subtrahiert ( $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$ )

Abhilfe: Zerlegen Sie den Bruch in $\frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ , damit die Schüler zwei getrennte Divisionen sehen. Nur die zweite benutzt das Potenzgesetz.

Die Reihenfolge der Subtraktion ist egal

Abhilfe: Vergleichen Sie $\frac{3^7}{3^2}$ (Faktoren bleiben oben, Ergebnis größer als $1$ ) mit $\frac{3^2}{3^7}$ (Faktoren bleiben unten, Ergebnis kleiner als $1$ ). Der Exponent oben kommt immer zuerst.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Vor dem Anwenden des Gesetzes immer die Faktoren ausschreiben und kürzen
• Kleine Basen und Exponenten verwenden, die man mit dem Taschenrechner prüfen kann
• Zuerst nur mit Zahlen arbeiten, dann mit einzelnen Variablen ohne Koeffizienten

Für Schüler auf Niveau:

• Monome mit Koeffizienten und zwei Variablen dividieren
• Die Gesetze für Multiplikation und Division in einem Term kombinieren
• Aufgaben in wissenschaftlicher Schreibweise mit Division lösen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den fehlenden Exponenten in Gleichungen wie $\frac{x^{\square}}{x^4} = x^9$ finden
• Untersuchen, was bei gleichen Exponenten passiert, und es mit dem Exponenten null verbinden
• Quotienten mit drei Variablen und Produkten in Zähler und Nenner vereinfachen

Standardausrichtung

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Die Eigenschaften ganzzahliger Exponenten kennen und anwenden, um gleichwertige Zahlterme zu erzeugen
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise rechnen, auch in Aufgaben, die Dezimalschreibweise und wissenschaftliche Schreibweise verbinden

Lektionsressourcen

visualFaktoren kürzen am Bildschirm
Die Schüler sehen $5^6$ über $5^2$ als ausgeschriebene Faktoren mit durchgestrichenen gemeinsamen Faktoren, verschieben dann die Regler für $m$ und $n$ und beobachten, wie sich der Exponent $m - n$ ändert
activityFaktoren kürzen
Die Schüler schreiben Potenzen als Faktorstreifen, streichen passende Faktoren oben und unten durch und zählen, was übrig bleibt
worksheetÜbungen zur Division von Potenzen
Gemischte Aufgaben mit Zahlen, Variablen, Koeffizienten und dem Gesetz für die Multiplikation

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Das Potenzgesetz für die Division sagt: Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst, behältst du die Basis und subtrahierst die Exponenten (Exponent oben minus Exponent unten):

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

Warum das funktioniert: Schreibe beide Potenzen als Produkt gleicher Faktoren und kürze die gemeinsamen Faktoren, denn jede Zahl geteilt durch sich selbst ergibt

1

\frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^4

Die

2

Faktoren im Nenner kürzen

2

der

6

Faktoren im Zähler weg, also bleiben

6 - 2 = 4

Faktoren übrig.

Probe mit Zahlen:

5^6 : 5^2 = 15625 : 25 = 625 = 5^4

In dieser Lektion ist der Exponent oben immer der größere (

m > n

). Sind beide Exponenten gleich, kürzt sich alles weg (Lektion Exponent null); ist der Exponent unten größer, bleiben Faktoren im Nenner (Lektion Negative Exponenten).

Lösungsbeispiele

Vereinfache $\frac{5^6}{5^2}$ und berechne den Wert.

Prüfe die Basen

Beide Potenzen haben die Basis $5$ → Gleiche Basis, das Gesetz gilt

Subtrahiere die Exponenten (oben minus unten)

$6 - 2 = 4$ → $5^4$

Berechne die Potenz

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ → $625$

Mache die Probe mit beiden Potenzen

$5^6 : 5^2 = 15625 : 25$ → $625$ , dasselbe Ergebnis

Antwort: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Häufige Fehler

Die Exponenten dividieren: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Warum es falsch ist: Potenzen dividieren heißt nicht Exponenten dividieren. Die $2$ Faktoren im Nenner kürzen $2$ der $8$ Faktoren im Zähler weg, also bleiben $8 - 2$ Faktoren übrig, nicht $8 : 2$ .

Richtig: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

In der falschen Reihenfolge subtrahieren: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Warum es falsch ist: Der Exponent des Zählers kommt immer zuerst. Hier hat der Zähler mehr Faktoren, also bleiben die Faktoren nach dem Kürzen oben und der Exponent ist positiv.

Richtig: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Die Basen dividieren: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Warum es falsch ist: Die Basis sagt, welche Zahl multipliziert wird, und sie ändert sich nicht. Nur die Anzahl der Faktoren ändert sich.

Richtig: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Auch die Koeffizienten subtrahieren: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Warum es falsch ist: Koeffizienten sind gewöhnliche Zahlen, und ein Bruchstrich bedeutet Division: $12 : 4$ . Nur die Exponenten gleicher Basen werden subtrahiert.

Richtig: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Warum es wichtig ist

Potenzen werden immer dann dividiert, wenn Zahlen sehr groß oder sehr klein sind:

Computer: Speichergrößen sind Zweierpotenzen. Wie viele Dateien mit 1 MB ( $2^{20}$ Byte) passen auf 1 GB ( $2^{30}$ Byte)? $\frac{2^{30}}{2^{20}} = 2^{10} = 1024$
Naturwissenschaften: Entfernungen und Geschwindigkeiten in wissenschaftlicher Schreibweise teilt man, indem man die Zehnerexponenten subtrahiert: $\frac{10^8}{10^5} = 10^3$
Kopfrechnen: $\frac{2^{20}}{2^{17}} = 2^3 = 8$ , ohne jemals $2^{20} = 1048576$ auszurechnen
Algebra: Brüche wie $\frac{12x^7}{4x^3}$ zu vereinfachen ist der erste Schritt zu Bruchtermen und zum Lösen von Gleichungen

Das Potenzgesetz macht aus einer langen Division riesiger Zahlen eine kleine Subtraktion.

Anwendungen im echten Leben

Fotos auf einer Speicherkarte

Computerspeicher wird in Zweierpotenzen gezählt, darum ist das Teilen von Speichergrößen ein Fall für das Potenzgesetz.

Beispiel:

1 MB sind $2^{20}$ Byte und 1 KB sind $2^{10}$ Byte, also passen in 1 MB genau $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

1Probiere es selbst

Eine Speicherkarte fasst $2^{30}$ Byte. Jedes Foto braucht $2^{22}$ Byte.

Wie viele Fotos passen auf die Karte?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile die Größe der Karte durch die Größe eines Fotos:

Wie lange das Sonnenlicht bis zur Erde braucht

Astronomen teilen riesige Entfernungen durch Geschwindigkeiten in wissenschaftlicher Schreibweise: Zahlen vorne dividieren, Zehnerexponenten subtrahieren.

Beispiel:

Eine Strecke von $6 \cdot 10^8$ km mit $3 \cdot 10^5$ km pro Sekunde dauert $\frac{6}{3} \cdot 10^{8-5} = 2 \cdot 10^3 = 2000$ Sekunden.

2Probiere es selbst

Die Sonne ist etwa $1{,}5 \cdot 10^8$ km von der Erde entfernt. Licht legt etwa $3 \cdot 10^5$ km pro Sekunde zurück.

Ungefähr wie viele Sekunden braucht das Sonnenlicht bis zur Erde?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zeit = Strecke geteilt durch Geschwindigkeit:

Budget pro Person

Volkswirte teilen große Geldbeträge durch die Zahl der Menschen, um Länder unterschiedlicher Größe zu vergleichen.

Beispiel:

Werden $8 \cdot 10^9$ € auf $4 \cdot 10^6$ Menschen verteilt, bekommt jeder $2 \cdot 10^3 = 2000$ €.

3Probiere es selbst

Ein Land gibt in einem Jahr $6 \cdot 10^{10}$ € für Schulen aus und hat $2 \cdot 10^7$ Einwohner.

Wie viel Euro sind das pro Einwohner?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile das Budget durch die Zahl der Einwohner:

Wichtige Erkenntnisse

1Potenzgesetz für die Division: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ für $a \neq 0$ : Basis beibehalten, Exponenten subtrahieren
2Das Gesetz gilt, weil sich gemeinsame Faktoren kürzen: Jeder Faktor im Nenner kürzt einen Faktor im Zähler
3Subtrahiere immer oben minus unten: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5$
4Die Basis ändert sich nie und die Exponenten werden nie dividiert: $\frac{x^8}{x^2} = x^6$ , nicht $x^4$
5Mit Koeffizienten: Zahlen dividieren und Exponenten subtrahieren: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$
6In gemischten Termen vereinfachst du zuerst den Zähler mit dem Gesetz für die Multiplikation und dividierst dann

Häufig gestellte Fragen

Warum steht beim Gesetz $a \neq 0$ ?

Weil man nicht durch null teilen kann. Mit

a = 0

wäre der Nenner

0^n

gleich

0

, und der Bruch hätte überhaupt keinen Wert.

Was passiert, wenn beide Exponenten gleich sind?

Dann kürzt sich jeder Faktor weg, zum Beispiel

\frac{4^3}{4^3} = 1

. Das Gesetz liefert

4^{3-3} = 4^0

, und warum

4^0

gleich

1

ist, erklärt die Lektion Exponent null.

Was ist, wenn der Exponent unten größer ist, wie bei $\frac{2^3}{2^5}$ ?

Kürze wie gewohnt:

3

Faktoren kürzen sich weg und

2

Faktoren

2

bleiben im Nenner, also

\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

. Wie man das mit einem einzigen Exponenten schreibt, zeigt die Lektion Negative Exponenten.

Darf ich das Gesetz bei verschiedenen Basen anwenden, etwa bei $\frac{6^4}{2^3}$ ?

Nein. Das Gesetz zählt nur Faktoren ein und derselben Basis. Berechne stattdessen die Potenzen:

\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162

Glossar

Quotient: Das Ergebnis einer Division. In $\frac{a^m}{a^n}$ bilden die Potenzen einen Quotienten.
Basis: Die Zahl oder Variable, die multipliziert wird. In $5^6$ ist die Basis $5$ .
Exponent (Hochzahl): Die Anzahl der Faktoren der Basis. In $5^6$ ist der Exponent $6$ .
Gemeinsamer Faktor: Ein Faktor, der im Zähler und im Nenner eines Bruchs vorkommt und sich deshalb zu $1$ kürzt.
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $12x^7$ ist der Koeffizient $12$ .

Formelkarte

Division von Potenzen

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Gleiche Basis $a \neq 0$: Basis beibehalten, Exponenten subtrahieren (oben minus unten)

Mit Koeffizienten

\frac{c\,a^m}{d\,a^n} = \frac{c}{d}\,a^{m-n}

Koeffizienten dividieren, Exponenten subtrahieren

Erst multiplizieren, dann dividieren

\frac{a^m \cdot a^p}{a^n} = a^{m+p-n}

Exponenten im Zähler addieren, dann den Exponenten im Nenner subtrahieren

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Fotos auf einer Speicherkarte

Wie lange das Sonnenlicht bis zur Erde braucht

Budget pro Person

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Division von Potenzen

Mit Koeffizienten

Erst multiplizieren, dann dividieren

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Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren