Leitfaden für Lehrer: Exponent null

Lerne, warum jede Zahl außer null hoch null gleich 1 ist und wie du Ausdrücke wie $5x^0$ und $(-3)^0$ richtig berechnest.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Potenzen & Wurzeln. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Regel $a^0 = 1$ für jede Basis ungleich null angeben
Die Regel mit dem Muster der Division durch die Basis und mit der Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis begründen
Terme berechnen, in denen Potenzen hoch null zusammen mit anderen Potenzen vorkommen
Ausdrücke wie $5x^0$ und $(5x)^0$ oder $-3^0$ und $(-3)^0$ unterscheiden
Erkennen, dass $0^0$ ein Sonderfall ist, der undefiniert bleibt

Voraussetzungen

• Einführung in Potenzen: Basis, Exponent und Berechnen von Potenzen wie $2^5$
• Division von Potenzen mit gleicher Basis: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Rechenreihenfolge, insbesondere Potenzen vor Multiplikation und Vorzeichen

Diskussionsstarter

1. Viele vermuten, dass $5^0 = 0$ ist. Warum wirkt diese Vermutung naheliegend, und was ist daran falsch?
2. Schreibe die Zehnerpotenzen von $10^3$ bis $10^0$ auf. Was macht jeder Schritt mit der Zahl?
3. Warum zwingt die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis $a^0$ dazu, gleich 1 zu sein?
4. Wie würdest du einer Freundin erklären, warum $-2^0$ und $(-2)^0$ verschiedene Ergebnisse haben?
5. Warum lässt man $0^0$ auf dieser Stufe wohl undefiniert?

Häufige Missverständnisse

Ein Exponent null bedeutet, dass das Ergebnis null ist ( $a^0 = 0$ )

Abhilfe: Die Tabelle der Zweierpotenzen von $2^4$ abwärts aufbauen. Fragen, welche Rechnung von einer Zeile zur nächsten führt (durch 2 teilen), und die Lernenden $2 \div 2$ selbst rechnen lassen.

Ein Exponent null lässt die Basis unverändert ( $a^0 = a$ )

Abhilfe: $a^1$ und $a^0$ in derselben Tabelle vergleichen. Darauf hinweisen, dass der Exponent 1 schon die Basis liefert, der Exponent 0 also eine Division weiter liegen muss.

Der Exponent null macht den ganzen Term zu 1 ( $5x^0 = 1$ , $-3^0 = 1$ )

Abhilfe: Vor dem Rechnen die Basis einkreisen, zu der der Exponent gehört. $5x^0$ als $5 \times x^0$ und $-3^0$ als $-(3^0)$ umschreiben und mit dem Taschenrechner prüfen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Zuerst nur die Mustertabelle mit kleinen Basen (2, 3, 10) verwenden, bevor die Divisionsregel eingeführt wird
• $\frac{3 \times 3}{3 \times 3}$ ausgeschrieben kürzen, um zu sehen, dass es 1 ergibt
• Eine Merkkarte mit $a^1 = a$ und $a^0 = 1$ nebeneinander geben

Für Schüler auf Niveau:

• Gemischte Terme wie $4^0 + 2^3 \times 6^0$ berechnen
• Karten mit $5x^0$ , $(5x)^0$ , $-3^0$ und $(-3)^0$ nach gleich 1 und ungleich 1 sortieren
• Den Exponenten null in der Stellenwertschreibweise ganzer Zahlen und im Binärsystem verwenden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Das Muster unter $2^0$ fortsetzen und $2^{-1}$ und $2^{-2}$ vorhersagen (Ausblick auf negative Exponenten)
• Erklären, warum das Musterargument für die Basis 0 nicht funktioniert
• Zeigen, dass auch die Multiplikationsregel $a^0 = 1$ erzwingt: $a^0 \times a^n = a^n$

Standardausrichtung

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Die Eigenschaften ganzzahliger Exponenten kennen und anwenden, um äquivalente Zahlenterme zu erzeugen
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Zahlenterme mit natürlichen Exponenten aufschreiben und berechnen

Lektionsressourcen

visualFaktoren kürzen
$5^3$ über $5^3$ als einzelne Faktoren schreiben, gemeinsame Faktoren kürzen und sehen, dass $1 = 5^0$ übrig bleibt
visualZweierpotenzen am Zahlenstrahl
Den Exponenten von $2^6$ bis $2^0$ verkleinern und beobachten, wie sich der Wert jedes Mal halbiert, bis er 1 erreicht
activityMustertabellen
Die Lernenden füllen Tabellen für Potenzen von 2, 3, 5 und 10 bis zum Exponenten 0 aus und beschreiben die Regel
worksheetMit oder ohne Klammer
Paare wie $4y^0$ und $(4y)^0$ oder $-7^0$ und $(-7)^0$ nebeneinander berechnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Regel für den Exponenten null besagt: Jede Zahl ungleich null hoch

0

ergibt

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Also ist

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

und

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Warum? Schau dir das Muster an. Jedes Mal, wenn der Exponent um

1

kleiner wird, teilst du durch die Basis:

Potenz	Wert
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis bestätigt das. Eine Potenz geteilt durch sich selbst ergibt

1

, und die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis liefert den Exponenten

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{und} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Achte darauf, wozu der Exponent gehört. Ein Exponent gilt nur für die Basis direkt davor:

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , aber $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , aber $(-3)^0 = 1$

Sonderfall:

0^0

bleibt auf dieser Stufe undefiniert. Die Regel

a^0 = 1

gilt nur für

a \neq 0

Lösungsbeispiele

Bestimme $3^0$ mit dem Muster der Dreierpotenzen.

Beginne mit einer bekannten Potenz

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Exponent um 1 verkleinern: durch 3 teilen

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Noch einmal verkleinern: durch 3 teilen

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Ein letzter Schritt bis zum Exponenten 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Antwort: $3^0 = 1$

Häufige Fehler

$a^0 = 0$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 0$

Warum es falsch ist: Der Exponent $0$ bedeutet nicht, mit null zu multiplizieren. Im Muster nach unten teilst du durch die Basis, und $9 \div 9 = 1$ .

Richtig: $9^0 = 1$ , denn $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ und $\frac{9}{9} = 1$

$a^0 = a$ schreiben, zum Beispiel $9^0 = 9$

Warum es falsch ist: Das ist die Regel für den Exponenten $1$ : $9^1 = 9$ . Der Exponent $0$ ist ein Schritt weiter unten, also teilst du noch einmal durch $9$ .

Richtig: $9^1 = 9$ , aber $9^0 = 1$

$5x^0 = 1$ schreiben

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört nur zu $x$ , nicht zum Koeffizienten $5$ . Nur $x^0$ wird zu $1$ .

Richtig: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , während $(5x)^0 = 1$ ist

$-3^0 = 1$ schreiben

Warum es falsch ist: Ohne Klammer ist die Basis $3$ , nicht $-3$ . Das Minuszeichen bleibt vor dem Ergebnis stehen.

Richtig: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , während $(-3)^0 = 1$ ist

Warum es wichtig ist

Der Exponent null taucht überall auf, wo Potenzen verwendet werden:

Stellenwert: Die Einerstelle ist $10^0 = 1$ , also $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Computer: Die Ziffer ganz rechts einer Binärzahl ist $2^0 = 1$ wert
Wachstumsmodelle: In $P = 500 \times 2^t$ ist der Startwert bei $t = 0$ gleich $500 \times 2^0 = 500$
Algebra: Um $\frac{x^4}{x^4}$ oder $3x^0$ zu vereinfachen, brauchst du die Regel jedes Mal

Wäre

a^0

gleich

0

, dann wäre die Einerstelle nichts wert und jedes Wachstumsmodell würde bei null beginnen. Nur der Wert

1

sorgt dafür, dass alle Potenzgesetze weiter funktionieren.

Anwendungen im echten Leben

Stellenwert und Zehnerpotenzen

Jede Stelle in unserem Zahlensystem ist eine Zehnerpotenz. Die Einerstelle ist $10^0 = 1$.

Beispiel:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , und der letzte Summand ist $2 \times 1 = 2$ .

1Probiere es selbst

Eine Lehrerin schreibt $6072$ in Stellenwertschreibweise: $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Welchen Wert hat der letzte Summand $2 \times 10^0$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den letzten Summanden als Rechnung:

Binärzahlen im Computer

Computer speichern Zahlen im Binärsystem. Jede Binärstelle ist eine Zweierpotenz, und die Stelle ganz rechts ist $2^0 = 1$.

Beispiel:

Die Binärzahl $1011$ bedeutet $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Probiere es selbst

Ein Sensor sendet die Binärzahl $101$ , also $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Welche Zahl ist das in unserem gewohnten Dezimalsystem?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Summe der Stellenwerte:

Startwert eines Wachstumsmodells

Biologen beschreiben eine Population, die sich jede Stunde verdoppelt, mit $P = P_0 \times 2^t$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist.

Beispiel:

Für $P = 200 \times 2^t$ ist nach 3 Stunden $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , und zu Beginn $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Probiere es selbst

Eine Bakterienkultur wächst nach $P = 500 \times 2^t$ , wobei $t$ die Anzahl der Stunden seit Beginn ist.

Wie viele Bakterien gibt es zu Beginn, also bei $t = 0$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $t = 0$ in die Formel ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Für jede Zahl $a$ ungleich null gilt: $a^0 = 1$
2Muster: Jeder Schritt nach unten im Exponenten teilt durch die Basis, aus $2^1 = 2$ wird $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , und eine Zahl geteilt durch sich selbst ist $1$
4Der Exponent gehört nur zur Basis direkt davor: $5x^0 = 5$ , aber $(5x)^0 = 1$
5Klammern sind bei negativen Zahlen wichtig: $-3^0 = -1$ , aber $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ ist nie $0$ und nie $a$ ; $0^0$ bleibt auf dieser Stufe undefiniert

Häufig gestellte Fragen

Warum ist $a^0$ gleich 1 und nicht 0?

Weil jeder Schritt nach unten im Exponenten durch die Basis teilt. Von

5^1 = 5

ergibt ein weiterer Schritt nach unten

5 \div 5 = 1

. Die Division von Potenzen mit gleicher Basis sagt dasselbe:

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, und jede Zahl ungleich null geteilt durch sich selbst ist

1

Was ist $0^0$ ?

Auf dieser Stufe bleibt

0^0

undefiniert. Das Musterargument verlangt, durch die Basis zu teilen, und durch

0

kann man nicht teilen. Deshalb lautet die Regel

a^0 = 1

für

a \neq 0

Gilt die Regel auch für negative Zahlen und Brüche?

Ja, solange die Basis nicht null ist und die ganze Basis in Klammern steht:

(-8)^0 = 1

und

\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1

Warum zeigt mein Taschenrechner $-1$ für $-3^0$ ?

Der Taschenrechner hält sich an die Rechenreihenfolge: Die Potenz kommt vor dem Minuszeichen, also rechnet er

-(3^0) = -1

. Tippe

(-3)^0

mit Klammer ein, um

1

zu erhalten.

Glossar

Exponent null: Ein Exponent, der gleich $0$ ist. Für jede Basis ungleich null gilt $a^0 = 1$ .
Basis: Die Zahl, die potenziert wird. In $(-3)^0$ ist die Basis $-3$ , in $-3^0$ ist sie $3$ .
Division von Potenzen mit gleicher Basis: Beim Teilen von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Koeffizient: Die Zahl vor einer Variablen. In $5x^0$ ist der Koeffizient $5$ , und der Exponent wirkt nicht auf ihn.
Undefiniert: Ein Ausdruck, dem kein Wert zugeordnet wird. Auf dieser Stufe bleibt $0^0$ undefiniert.

Formelkarte

Regel für den Exponenten null

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Jede Zahl ungleich null hoch null ergibt 1

Warum es funktioniert

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

Die Division von Potenzen mit gleicher Basis und das Teilen einer Zahl durch sich selbst liefern dasselbe Ergebnis

Koeffizient davor

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Nur die Variable wird zu 1, der Koeffizient bleibt

Klammern und negative Zahlen

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Mit Klammer ist die Basis negativ, ohne Klammer bleibt das Minuszeichen außen

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Stellenwert und Zehnerpotenzen

Binärzahlen im Computer

Startwert eines Wachstumsmodells

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Regel für den Exponenten null

Warum es funktioniert

Koeffizient davor

Klammern und negative Zahlen

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Einführung in Potenzen

Potenzgesetze

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren